2021-2022學(xué)年湖北省黃石市大冶第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知直線的斜率，且直線不過(guò)第一象限，則直線的方程可能是（

）A．

B． C．

D． 參考答案：B2.下列命題中正確的是

(

)

A．當(dāng)

B．當(dāng)，C．當(dāng)，的最小值為

D．當(dāng)無(wú)最大值參考答案：B3.雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為（

）A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：B【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a的值，即可求出雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)．【詳解】雙曲線中，a2＝1，∴a＝1，∴2a＝2，即雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)2．故選B．【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查雙曲線的幾何性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確理解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題．4.甲射擊一次命中目標(biāo)的概率是，乙射擊一次命中目標(biāo)的概率是，丙射擊一次命中目標(biāo)的概率是，現(xiàn)在三人同時(shí)射擊目標(biāo)一次，則目標(biāo)被擊中的概率為（）A．

B.C．

D．參考答案：A略5.復(fù)數(shù)的值是（）A. B.1 C. D.i參考答案：A試題分析：==-1，故選A。考點(diǎn)：本題主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算。點(diǎn)評(píng)：簡(jiǎn)單題，直接按代數(shù)公式展開(kāi)。6.已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（）A．（0，1） B．（0，] C．（0，） D．[，1）參考答案：C【考點(diǎn)】橢圓的應(yīng)用．【分析】由?=0知M點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)O為圓心，半焦距c為半徑的圓．又M點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，∴c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．由此能夠推導(dǎo)出橢圓離心率的取值范圍．【解答】解：設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸、半短軸、半焦距分別為a，b，c，∵?=0，∴M點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)O為圓心，半焦距c為半徑的圓．又M點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，∴該圓內(nèi)含于橢圓，即c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．∴e2=＜，∴0＜e＜．故選：C．7.過(guò)拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F作兩條相互垂直的射線，分別與拋物線相交于點(diǎn)M，N，過(guò)弦MN的中點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線PQ，垂足為Q，則的最大值為（）A．1 B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】設(shè)|MF|=a，|NF|=b，由拋物線定義，2|PQ|=a+b．再由勾股定理可得|MN|2=a2+b2，進(jìn)而根據(jù)基本不等式，求得|MN|的范圍，即可得到答案．【解答】解：設(shè)|MF|=a，|NF|=b．由拋物線定義，結(jié)合梯形中位線定理可得2|PQ|=a+b，由勾股定理得，|MN|2=a2+b2配方得，|MN|2=（a+b）2﹣2ab，又ab≤，∴（a+b）2﹣2ab≥（a+b）2﹣2，得到|MN|≥（a+b）．∴≤=，即的最大值為．故選A．8.已知等差數(shù)列{an}中，有+1＜0，且該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn有最大值，則使得Sn＞0成立的n的最大值為（）A．11 B．19 C．20 D．21參考答案：B【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；數(shù)列的函數(shù)特性．【分析】由題意可得＜0，公差d＜0，進(jìn)而可得S19＞0，S20＜0，可得答案．【解答】解：由+1＜0可得＜0又∵數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn有最大值，∴可得數(shù)列的公差d＜0，∴a10＞0，a11+a10＜0，a11＜0，∴a1+a19=2a10＞0，a1+a20=a11+a10＜0．∴S19＞0，S20＜0∴使得Sn＞0的n的最大值n=19，故選B9.已知數(shù)列是等差數(shù)列,且,則的值為 （）A． B． C． D．參考答案：A,∴,∴,∴,10.過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)F作圓的切線，切點(diǎn)為M，又直線FM與直線相交于第一象限內(nèi)一點(diǎn)P，若M為線段FP的中點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為(

)A.

B．2

C.

D．3參考答案：B因?yàn)?/p>

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知是夾角為的兩個(gè)單位向量，向量若，則實(shí)數(shù)的值為

．參考答案：略12.在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，則AC=．參考答案：2【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】由A與B的度數(shù)分別求出sinA與sinB的值，再由BC的長(zhǎng)，利用正弦定理即可求出AC的長(zhǎng)．【解答】解：∵∠A=60°，∠B=45°，BC=3，∴由正弦定理=得：AC===2．故答案為：213.一個(gè)直徑為厘米的圓柱形水桶中放入一個(gè)鐵球，球全部沒(méi)入水中后，水面升高厘米則此球的半徑為_(kāi)________厘米.參考答案：

解析：14.某程序的框圖如圖所示，則運(yùn)行該程序后輸出的的值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A15.已知雙曲線右支上有一點(diǎn)A，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，雙曲線的右焦點(diǎn)為F，滿足，且，則雙曲線的離心率e的值是______．參考答案：【分析】運(yùn)用三角函數(shù)的定義可得，，取左焦點(diǎn)，連接，可得四邊形為矩形，由雙曲線的定義和矩形的性質(zhì)，可得，由離心率公式可得結(jié)果．【詳解】，可得，在中，，，在直角三角形中，，可得，，取左焦點(diǎn)，連接，可得四邊形為矩形，，，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率的求法以及雙曲線的應(yīng)用，屬于中檔題．離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來(lái)求解．16.已知平面α∥平面β，P是α、β外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線m與α、β分別交于A、C，過(guò)點(diǎn)P的直線n與α、β分別交于B、D且PA＝6，AC＝9，PD＝8，則BD的長(zhǎng)為

；參考答案：24或17.數(shù)列{an}中的前n項(xiàng)和Sn=n2﹣2n+2，則通項(xiàng)公式an=．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【分析】由已知條件利用公式求解．【解答】解：∵數(shù)列{an}中的前n項(xiàng)和Sn=n2﹣2n+2，∴當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=1；當(dāng)n＞1時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2﹣2n+2）﹣[（n﹣1）2﹣2（n﹣1）+2]=2n﹣3．又n=1時(shí)，2n﹣3≠a1，所以有an=．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.城市公交車的數(shù)量太多容易造成資源的浪費(fèi)，太少又難以滿足乘客需求，為此，本市公交公司在某站臺(tái)的60名候車乘客中隨機(jī)抽取15人進(jìn)行調(diào)查，將他們的候車時(shí)間作為樣本分成5組，如下表所示（單位：min）：（Ⅰ）估計(jì)這60名乘客中候車時(shí)間少于10分鐘的人數(shù)；（Ⅱ）若從上表第三、四組的6人中選2人作進(jìn)一步的問(wèn)卷調(diào)查

①用列舉法列出上述所有可能情況；②求抽到的兩人恰好來(lái)自不同組的概率．參考答案：略19.設(shè){an}是一個(gè)公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，它的前10項(xiàng)和S10＝110且a1，a2，a4成等比數(shù)列．(1)證明a1＝d；(2)求公差d的值和數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.參考答案：解析：(1)證明：因a1，a2，a4成等比數(shù)列，故＝a1a4，而{an}是等差數(shù)列，有a2＝a1＋d，a4＝a1＋3d，于是(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，即＋2a1d＋d2＝＋3a1d．d≠0，化簡(jiǎn)得a1＝d．(2)由條件S10＝110和S10＝10a1＋，得到10a1＋45d＝110，由(1)，a1＝d，代入上式得55d＝110，故d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n．因此，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n(n＝1，2，3，…)．20.已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x﹣y+=0相切．A、B是橢圓C的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，直線y=kx（k＞0）與橢圓相交于E、F兩點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程；（2）當(dāng)四邊形AEBF面積取最大值時(shí)，求k的值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系．【分析】（1）通過(guò)橢圓的離心率，直線與圓相切，求出a，b即可求出橢圓的方程．（2）設(shè)E（x1，kx1），F(xiàn)（x2，kx2），其中x1＜x2，將y=kx代入橢圓的方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合點(diǎn)E，F(xiàn)到直線AB的距離分別，表示出四邊形AEBF的面積，利用基本不等式求出四邊形AEBF面積的最大值時(shí)的k值即可．【解答】解：（1）由題意知：=∴=，∴a2=4b2．…又∵圓x2+y2=b2與直線相切，∴b=1，∴a2=4，…故所求橢圓C的方程為…（2）設(shè)E（x1，kx1），F(xiàn)（x2，kx2），其中x1＜x2，將y=kx代入橢圓的方程整理得：（k2+4）x2=4，故．①…又點(diǎn)E，F(xiàn)到直線AB的距離分別為，．…所以四邊形AEBF的面積為==…===，…當(dāng)k2=4（k＞0），即當(dāng)k=2時(shí)，上式取等號(hào)．所以當(dāng)四邊形AEBF面積的最大值時(shí)，k=2．…21.（本小題滿分12分）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，焦點(diǎn)為,拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，且。（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn),求證:.參考答案：（Ⅰ）由題設(shè)拋物線的方程為：，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)為， 2分∵，∴， 4分∴，∴，∴. 6分（Ⅱ）設(shè)、兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，法一：因?yàn)橹本€當(dāng)?shù)男甭什粸?，設(shè)直線當(dāng)?shù)姆匠虨榉匠探M得，因?yàn)樗?0，所以.法二：①當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，的方程為，此時(shí)即有所以.……8分2