2021-2022學年湖南省長沙市大湖中學高一數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.一個幾何體的三視圖如圖1所示，它的體積為（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：B2.已知函數(shù)f(2)=A.3

B,2

C.1

D.0參考答案：C略3.直線與在同一直角坐標系中的圖象可能是 A B C D參考答案：C4.下列說法正確的是

（

）A、若都是單位向量，則B、方向相同或相反的非零向量叫做共線向量C、若，，則D、若，則A,B,C,D四點構(gòu)成一個平行四邊形參考答案：B5.如圖為二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象，則下列說法：①a＞0

②2a+b=0

③a+b+c＞0

④當﹣1＜x＜3時，y＞0其中正確的個數(shù)為（）A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：C6.已知角α，β均為銳角，且cosα=，tan（α﹣β）=﹣，tanβ=（）A． B． C． D．3參考答案：D【考點】兩角和與差的正切函數(shù)．【分析】由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得tanα的值，再根據(jù)tan（α﹣β）=﹣，利用兩角差的正切公式求得tanβ的值．【解答】解：∵角α，β均為銳角，且cosα=，∴sinα=，tanα=，又tan（α﹣β）===﹣，∴tanβ=3，故選：D．7.若正數(shù)x，y滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.參考答案：B【分析】由已知可整理得：，解得，將所求式子轉(zhuǎn)化后利用基本不等式即可計算得其最大值．【詳解】解：∵正數(shù)滿足，∴，解得，∴，當且僅當時，等號成立，∴的最大值為．故選：B．【點睛】本題主要考查了基本不等式的應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．8.已知點A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，則A、B兩點距離的最小值為()A.

B.C.

D．2

參考答案：C略9.半徑為的圓中，有一條弧長度為，則此弧所對的圓心角為（

）Ａ．

B．

C．

D．參考答案：A10.若則是()第一象限角第二象限角

第三象限角

第四象限角參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)x，y∈R+且x+y=2，則+的最小值為．參考答案：【考點】7F：基本不等式．【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵x，y∈R+且x+y=2，∴+===，當且僅當=時取等號．∴+的最小值為．故答案為：．12.已知函數(shù)在[5，20]上具有單調(diào)性，實數(shù)k的取值范圍是

參考答案：13.在等差數(shù)列{an}中,，公差為d，前n項和為Sn，當且僅當時，Sn取最大值,則d的取值范圍是

．參考答案：14.如圖，曲線對應的函數(shù)是

A．y=|sinx| B．y=sin|x| C．y=－sin|x| D．y=－|sinx|參考答案：C略15.若變量x，y滿足約束條件，則的最小值為

．參考答案：

－6

16.先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子（它們的六個面分別標有點數(shù)1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的點數(shù)分別為、，則的概率為________.參考答案：1/12略17..如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為，動點P在對角線BD1上，過點P作垂直于BD1的平面，記這樣得到的截面多邊形（含三角形）的周長為y，設(shè)，則當時，函數(shù)的值域__________．參考答案：【分析】根據(jù)已知條件，所得截面可能是三角形，也可能是六邊形，分別求出三角形與六邊形周長的取值情況，即可得到函數(shù)的值域.【詳解】如圖：∵正方體的棱長為，∴正方體的對角線長為6，∵（i）當或時，三角形的周長最小.設(shè)截面正三角形的邊長為，由等體積法得：∴∴，（ii）或時，三角形的周長最大，截面正三角形的邊長為，∴（iii）當時，截面六邊形的周長都為∴∴當時，函數(shù)的值域為.【點睛】本題考查多面體表面的截面問題和線面垂直，關(guān)鍵在于結(jié)合圖形分析截面的三種情況，進而得出與截面邊長的關(guān)系.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題12分）設(shè)數(shù)列的前項n和為，若對于任意的正整數(shù)n都有.（1）設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出的通項公式。（2）求數(shù)列的前n項和.

參考答案：（1）a=3-3（2）S=62-n-n-619.提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況，在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)，當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明：當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．（Ⅰ）當0≤x≤200時，求函數(shù)v（x）的表達式；（Ⅱ）當車流密度x為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時）f（x）=x?v（x）可以達到最大，并求出最大值．（精確到1輛/小時）．參考答案：【考點】函數(shù)模型的選擇與應用；基本不等式在最值問題中的應用．【專題】應用題．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意，函數(shù)v（x）表達式為分段函數(shù)的形式，關(guān)鍵在于求函數(shù)v（x）在20≤x≤200時的表達式，根據(jù)一次函數(shù)表達式的形式，用待定系數(shù)法可求得；（Ⅱ）先在區(qū)間（0，20]上，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，得最大值為f=1200，然后在區(qū)間[20，200]上用基本不等式求出函數(shù)f（x）的最大值，用基本不等式取等號的條件求出相應的x值，兩個區(qū)間內(nèi)較大的最大值即為函數(shù)在區(qū)間（0，200]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由題意：當0≤x≤20時，v（x）=60；當20＜x≤200時，設(shè)v（x）=ax+b再由已知得，解得故函數(shù)v（x）的表達式為．

（Ⅱ）依題并由（Ⅰ）可得當0≤x＜20時，f（x）為增函數(shù)，故當x=20時，其最大值為60×20=1200當20≤x≤200時，當且僅當x=200﹣x，即x=100時，等號成立．所以，當x=100時，f（x）在區(qū)間在區(qū)間[0，200]上取得最大值為，即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大值，最大值約為3333輛/小時．答：（Ⅰ）函數(shù)v（x）的表達式（Ⅱ）當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大值，最大值約為3333輛/小時．【點評】本題主要考查函數(shù)、最值等基礎(chǔ)知識，同時考查運用數(shù)學知識解決實際問題的能力，屬于中等題．20.如圖為一簡單組合體，其底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2，N為線段PB的中點．（Ⅰ）證明：NE⊥PD；（Ⅱ）求三棱錐E﹣PBC的體積．參考答案：【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；LO：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）連結(jié)AC與BD交于點F，則F為BD的中點，連結(jié)NF，由三角形中位線定理可得NF∥PD，，在結(jié)合已知得四邊形NFCE為平行四邊形，得到NE∥AC．再由PD⊥平面ABCD，得AC⊥PD，從而證得NE⊥PD；（Ⅱ）由PD⊥平面ABCD，得平面PDCE⊥平面ABCD，可得BC⊥CD，則BC⊥平面PDCE．然后利用等積法把三棱錐E﹣PBC的體積轉(zhuǎn)化為B﹣PEC的體積求解．【解答】（Ⅰ）證明：連結(jié)AC與BD交于點F，則F為BD的中點，連結(jié)NF，∵N為線段PB的中點，∴NF∥PD，且，又EC∥PD且，∴NF∥EC且NF=EC．∴四邊形NFCE為平行四邊形，∴NE∥FC，即NE∥AC．又∵PD⊥平面ABCD，AC?面ABCD，∴AC⊥PD，∵NE∥AC，∴NE⊥PD；（Ⅱ）解：∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PDCE，∴平面PDCE⊥平面ABCD，∵BC⊥CD，平面PDCE∩平面ABCD=CD，BC?平面ABCD，∴BC⊥平面PDCE．三棱錐E﹣PBC的體積=．21.若函數(shù)是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)，并且在區(qū)間[0,+∞)上是單調(diào)遞增的函數(shù).（1）研究并證明函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)上的單調(diào)性；（2）若實數(shù)a滿足不等式，求實數(shù)a的取值范圍.參考答案：解：（1）設(shè)，顯然恒成立.設(shè)，則，，則，所以又在區(qū)間上是單調(diào)遞增，所以即，所以函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)（直接利用復合函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論證明扣去步驟分2分）（2）因為是定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)，所以又因為在區(qū)間上是單調(diào)遞增的函數(shù)，所以當時，當時，，所以當，有.設(shè)，則，所以即，所以所以在區(qū)間上是單調(diào)遞增的函數(shù).綜上所述，在區(qū)間上是單調(diào)遞增的函數(shù).所以由得即所以.（第（2）問學生直接寫“由圖象可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，扣除步驟分3分.）

22.已知正項等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若，且成等比數(shù)列.（1）求{an}的通項公式；（2）設(shè)，記數(shù)列{bn}的前n項和為，求Tn.參考答案：（1）；（2）【分析】（1）利用等差數(shù)列S3=12,等差中項的性質(zhì)，求得a2=4，結(jié)合2a1，a2，a3+1成等比數(shù)列，得a22=2（a2-d）（a2+d+1），進而求得的通項公式；（2）確定數(shù)列的通項，利用錯位相減法求數(shù)列的和.【詳解】設(shè)公差為d，則∵S3=12，，