2021-2022學年福建省南平市松溪第三中學高三數學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，點P、Q、R、S分別在正方體的四條棱上，并且是所在棱的中點，則直線PQ與RS是異面直線的一個圖是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】異面直線的判定．【分析】利用一面直線的定義和正方體的性質，逐一分析各個選項中的2條直線的位置關系，把滿足條件的選項找出來．【解答】解：A中的PQ與RS是兩條平行且相等的線段，故選項A不滿足條件．B中的PQ與RS是兩條平行且相等的線段，故選項B也不滿足條件．D中，由于PR平行且等于SQ，故四邊形SRPQ為梯形，故PQ與RS是兩條相交直線，它們和棱交與同一個點，故選項D不滿足條件．C中的PQ與RS是兩條既不平行，又不相交的直線，故選項C滿足條件．故選C2.函數的大致圖象如右圖所示，則函數的圖象可能是()參考答案：D3.下列有關命題的敘述錯誤的是(

)

（A）對于命題p：x∈R，，則為：x∈R，

（B）命題“若－3x+2=0，則x=1”的逆否命題為“若x≠1，則－3x+2≠0”

（C）若p∧q為假命題，則p，q均為假命題

（D）“x>2”是“－3x+2>0”的充分不必要條件參考答案：C4.已知集合A={x|1＜x2＜4}，B={x|x﹣1≥0}，則A∩B=（）A．（1，2） B．[1，2） C．（﹣1，2） D．[﹣1，2）參考答案：A【考點】1E：交集及其運算．【分析】解不等式化簡集合A、B，根據交集的定義寫出A∩B．【解答】解：集合A={x|1＜x2＜4}={x|﹣2＜x＜﹣1或1＜x＜2}，B={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，則A∩B={x|1＜x＜2}=（1，2）．故選：A．5.已知是上的減函數，那么的取值范圍是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略6.已知數列是以為公差的等差數列，是其前項和，若是數列中的唯一最小項，則數列的首項的取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：C略7.(2009山東卷理)設x，y滿足約束條件

，若目標函數z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值為12，則的最小值為(

).A.

B.

C.

D.4參考答案：A解析：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當直線ax+by=z（a>0，b>0）過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點（4,6）時,目標函數z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6,而=,故選A.8.已知某個幾何體的三視圖如下，根據圖中標出的尺寸，那么可得這個幾何體最長的棱長是(

)A．2 B． C．2 D．2參考答案：C【考點】由三視圖求面積、體積．【專題】對應思想；數形結合法；空間位置關系與距離．【分析】根據幾何體的三視圖，得出該幾何體是底面是等腰三角形，且側面垂直于底面的三棱錐，畫出圖形，結合圖形即可求出該三棱錐中最長棱是多少．【解答】解：根據幾何體的三視圖，得；該幾何體為底面是等腰三角形，且側面垂直于底面的三棱錐，如圖所示；且三棱錐的高為SD=2，底面三角形邊長BC=2，高AD=2；∴該三棱錐的最長棱是SA===2．故選：C．【點評】本題考查了空間幾何體三視圖的應用問題，解題的關鍵是根據三視圖得出幾何體的結構特征，是基礎題目．9.21個人按照以下規(guī)則表演節(jié)目：他們圍坐一圈，按順序從1到3循環(huán)報數，報數字“3”的人出來表演節(jié)目，并且表演過的人不再參加報數，那么在僅剩兩個人沒有表演過節(jié)目的時候，共報數的次數為（）A．19 B．38 C．51 D．57參考答案：D【考點】排列、組合的實際應用．【分析】首先求出每輪報數完畢后剩下的人數，以及報數的次數各是多少；然后把每輪報數的次數求和，求出僅剩兩個人沒有表演過節(jié)目的時候，共報數多少次即可【解答】解：根據題意，在第一輪報數中，有=7人表演節(jié)目，則第一輪報完數后剩下14人，一共報數21次；在第二輪報數中，14=3×4+2，有4人表演節(jié)目，則這一輪報完數后剩下10人，一共報數14次；在第三輪報數中，10=3×3+1，有3人表演節(jié)目，則這一輪報完數后剩下7人，一共報數10次；在第四輪報數中，7=3×2+1，有2人表演節(jié)目，則這一輪報完數后剩下5人，一共報數7次；在第五輪報數中，5=3×1+2，有1人表演節(jié)目，則這一輪報完數后剩下4人，一共報數5次；此時僅剩兩個人沒有表演過節(jié)目，一共報數：21+14+10+7+5=57次；故選：D．【點評】此題考查合情推理的運用，關鍵是求出每輪報數完畢后剩下的人數，以及報數的次數各是多少．10.已知滿足不等式組,則目標函數的最大值為A.4

B.6

C.8

D.10參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若直線的圓心，則的最小值是________________參考答案：1612.方程2－x＋x2＝3的實數解的個數為________．參考答案：213.函數的定義域為

。參考答案：略14.已知是兩個單位向量，若向量，則向量與的夾角是________.參考答案：15.記不等式組所表示的平面區(qū)域為D．若直線y=a（x+1）與D有公共點，則a的取值范圍是．參考答案：[，4]【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】本題考查的知識點是簡單線性規(guī)劃的應用，我們要先畫出滿足約束條件

的平面區(qū)域，然后分析平面區(qū)域里各個角點，然后將其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）對應的a的端點值即可．【解答】解：滿足約束條件

的平面區(qū)域如圖示：因為y=a（x+1）過定點（﹣1，0）．所以當y=a（x+1）過點B（0，4）時，得到a=4，當y=a（x+1）過點A（1，1）時，對應a=．又因為直線y=a（x+1）與平面區(qū)域D有公共點．所以≤a≤4．故答案為：[，4]【點評】在解決線性規(guī)劃的小題時，我們常用“角點法”，其步驟為：①由約束條件畫出可行域?②求出可行域各個角點的坐標?③將坐標逐一代入目標函數?④驗證，求出最優(yōu)解．16.已知變量，滿足，則的最大值為

．參考答案：1217.若函數的圖像與直線交于點，且在點處的切線與軸交點的橫坐標為，則的值為

．參考答案：-1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數有極值，且曲線處的切線斜率為3。

（1）求函數的解析式；

（2）求在[－4，1]上的最大值和最小值。參考答案：解：（1）由題意，得所以，（2）由（1）知令x－4（－4，－2）－2（－2，）（，1）1

+0－0+

↗極大值↘極小值↗

函數值－11

13

4上的最大值為13，最小值為－11。略19.已知橢圓C：的左右焦點與其短軸的一個端點是正三角形的三個頂點，點D在橢圓C上，直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A、P兩點，與x軸、y軸分別相交于點N和M，且PM=MN，點Q是點P關于x軸的對稱點，QM的延長線交橢圓于點B，過點A、B分別作x軸的垂涎，垂足分別為A1、B1（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在直線l，使得點N平分線段A1B1？若存在，求求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】直線與橢圓的位置關系．【分析】（1）由橢圓的左右焦點與其短軸的一個端點是正三角形的三個頂點，點D在橢圓C上，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．（2）假設存在這樣的直線l：y=kx+m，則直線QM的方程為y=﹣3kx+m，由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，由，得（3+36k2）x2﹣24kmx+4（m2﹣3）=0，由此利用根的判別式、韋達定理、中點坐標公式，結合已知條件，能求出直線l的方程．【解答】解：（1）∵橢圓C：的左右焦點與其短軸的一個端點是正三角形的三個頂點，點D在橢圓C上，∴由題意得，解得a2=4，b2=3，∴橢圓C的方程為．（2）假設存在這樣的直線l：y=kx+m，∴M（0，m），N（﹣，0），∵PM=MN，∴P（，2m），Q（），∴直線QM的方程為y=﹣3kx+m，設A（x1，y1），由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，∴，∴，設B（x2，y2），由，得（3+36k2）x2﹣24kmx+4（m2﹣3）=0，∴x2+=，∴x2=﹣，∵點N平分線段A1B1，∴，∴﹣=﹣，∴k=，∴P（±2m，2m），∴，解得m=，∵|m|=＜b=，∴△＞0，符合題意，∴直線l的方程為y=．20.（本小題滿分13分）設，函數，的最大值為1，最小值為，求a,b的值。參考答案：求導得：當x變化時，之間的變化如下表：x-1(-1,0)0(0,a)a(a,1)1

+0－0+

↗極大值b↘極小值↗由上表可知：比較的大小，，所以最大值比較的大小，所以為最小值，，解得

所以，b=121.在直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建坐標系,已知曲線（a＞0），已知過點P（－2，－4）的直線L的參數方程為：，直線L與曲線C分別交于M，N．⑴寫出曲線C的直角坐標方程和直線L的普通方程；⑵若|PM|，|MN|，|PN|成等比數列，求a的值．參考答案：⑴⑵直線的參數方程為（t為參數）,代入得到,則有因為，所以解得略22.（本小題滿分15分）設函數的定義域是，對于任意正實數恒有，且當時，。（1）求的值；（2）求證：在上是增函數；（3）求方程的根的個數。參考答案：解：（1）令，則，…………2分令