第三章遠(yuǎn)期與期貨定價第一節(jié)遠(yuǎn)期價格與期貨價格3.1.1遠(yuǎn)期價值、遠(yuǎn)期價格

與期貨價格遠(yuǎn)期價值是指遠(yuǎn)期合約本身的價值。關(guān)于遠(yuǎn)期價值的討論要分遠(yuǎn)期合約簽訂時和簽訂后兩種情形。

在簽訂遠(yuǎn)期合約時，如果信息是對稱的，而且合約雙方對未來的預(yù)期相同，對于一份公平的合約，多空雙方所選擇的交割價格應(yīng)使遠(yuǎn)期價值在簽署合約時等于零。

在遠(yuǎn)期合約簽訂以后，由于交割價格不再變化，多空雙方的遠(yuǎn)期價值將隨著標(biāo)的資產(chǎn)價格的變化而變化。3.1.1遠(yuǎn)期價值、遠(yuǎn)期價格

與期貨價格類似地，在期貨合約中，我們定義期貨價格（FuturesPrices）為使得期貨合約價值為零的理論交割價格。但值得注意的是，對于期貨合約來說，一般較少談及“期貨合約價值”這個概念?；谄谪浀慕灰讬C(jī)制，投資者持有期貨合約，其價值的變動來源于實(shí)際期貨報價的變化。由于期貨每日盯市結(jié)算、每日結(jié)清浮動盈虧，因此期貨合約價值在每日收盤后都?xì)w零。3.1.2遠(yuǎn)期價格與期貨價格

的關(guān)系當(dāng)無風(fēng)險利率恒定且對所有到期日都相同時，交割日相同的遠(yuǎn)期價格和期貨價格應(yīng)相等。當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格與利率呈正相關(guān)時，期貨價格高于遠(yuǎn)期價格。這是因?yàn)楫?dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格上升時，期貨價格通常也會隨之升高，期貨合約的多頭將因每日結(jié)算制而立即獲利，并可按高于平均利率的利率將所獲利潤進(jìn)行再投資。而當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格下跌時，期貨合約的多頭將因每日結(jié)算制而立即虧損，但是可按低于平均利率的利率從市場上融資以補(bǔ)充保證金。相比之下，遠(yuǎn)期合約的多頭將不會因利率的變動而受到上述影響。在此情況下，期貨多頭比遠(yuǎn)期多頭更具吸引力，期貨價格自然就大于遠(yuǎn)期價格。當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格與利率呈負(fù)相關(guān)時，遠(yuǎn)期價格就會高于期貨價格。3.1.2遠(yuǎn)期價格與期貨價格

的關(guān)系遠(yuǎn)期價格和期貨價格的差異幅度還取決于合約有效期的長短。當(dāng)有效期只有幾個月時，兩者的差距通常很小。此外，稅收、交易費(fèi)用、保證金的處理方式、違約風(fēng)險、流動性等方面的因素或差異都會導(dǎo)致遠(yuǎn)期價格和期貨價格的差異。當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格與利率呈負(fù)相關(guān)時，遠(yuǎn)期價格就會高于期貨價格。遠(yuǎn)期價格與期貨價格的定價思想在本質(zhì)上是相同的，其差別主要體現(xiàn)在交易機(jī)制和交易費(fèi)用的差異上，在很多情況下常?？梢院雎?，或進(jìn)行調(diào)整。因此在大多情況下，我們可以合理地假定遠(yuǎn)期價格與期貨價格相等，并都用F來表示。3.1.3基本假設(shè)與符號本章將要用到的符號主要有：T：遠(yuǎn)期和期貨合約的到期時間，單位為年。t：現(xiàn)在的時間，單位為年。變量T和t是從合約生效之前的某個日期開始計(jì)算的，Tt代表遠(yuǎn)期和期貨合約中以年為單位的距離到期的剩余時間。S：遠(yuǎn)期（期貨）標(biāo)的資產(chǎn)在時間t時的價格。ST：遠(yuǎn)期（期貨）標(biāo)的資產(chǎn)在時間T時的價格（在t時刻這個值是個未知變量）。K：遠(yuǎn)期合約中的交割價格。f：遠(yuǎn)期合約多頭在t時刻的價值，即t時刻的遠(yuǎn)期價值。（二）符號3.1.3基本假設(shè)與符號F：t時刻的遠(yuǎn)期合約和期貨合約中的理論遠(yuǎn)期價格和理論期貨價格，在本書中如無特別注明，我們分別簡稱為遠(yuǎn)期價格和期貨價格。r：T時刻到期的以連續(xù)復(fù)利計(jì)算的t時刻的無風(fēng)險利率（年利率），在本書中，如無特別說明，利率均為連續(xù)復(fù)利的年利率。（二）符號第二節(jié)無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價3.2.1無套利定價法與無收

益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價值例如，為了給無收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約定價，我們構(gòu)建如下兩個組合：組合A：一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為Ker(Tt)的現(xiàn)金；組合B：一單位標(biāo)的資產(chǎn)。遠(yuǎn)期合約現(xiàn)金組合A標(biāo)的資產(chǎn)組合B3.2.1無套利定價法與無收

益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價值在組合A中，Ker(Tt)的現(xiàn)金以無風(fēng)險利率投資，投資期為(Tt)。到T時刻，其金額將達(dá)到K。這是因?yàn)椋篕er(Tt)er(Tt)

=K在遠(yuǎn)期合約到期時，這筆現(xiàn)金剛好可用來交割換來一單位標(biāo)的資產(chǎn)。這樣，在T時刻，兩種組合都等于一單位標(biāo)的資產(chǎn)。根據(jù)無套利原則：終值相等，則其現(xiàn)值一定相等，這兩種組合在t時刻的價值必須相等。即：

f+Ker(Tt)

=S

f=S－Ker(Tt)（3.1）

該公式表明，無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約多頭的價值等于標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格與交割價格現(xiàn)值的差額?；蛘哒f,一單位無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約多頭等價于一單位標(biāo)的資產(chǎn)多頭和Ker(Tt)單位無風(fēng)險負(fù)債的資產(chǎn)組合。由于遠(yuǎn)期價格就是使遠(yuǎn)期合約價值為零的交割價格K，即當(dāng)f0時，K

F。據(jù)此可令式（3.1）中的f=0，則F

Ser(Tt)(3.2)這就是無收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價定理(Spot-ForwardParityTheorem)，或稱現(xiàn)貨期貨平價定理(Spot-FuturesParityTheorem)3.2.2無收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨—

遠(yuǎn)期平價定理若K<Ser(Tt)

，即交割價值小于現(xiàn)貨價格的終值。套利者就可進(jìn)行反向操作，即賣空標(biāo)的資產(chǎn)，將所得收入以無風(fēng)險利率進(jìn)行投資，期限為Tt，同時買進(jìn)一份該標(biāo)的資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約，交割價格為K。在T時刻，套利者收到投資本息Ser(Tt)

，并以K現(xiàn)金購買一單位標(biāo)的資產(chǎn)，用于歸還賣空時借入的標(biāo)的資產(chǎn)，從而實(shí)現(xiàn)Ser(Tt)K的利潤。3.2.2無收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨—

遠(yuǎn)期平價定理3.2.1風(fēng)險中性定價法與無收

益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價值風(fēng)險中性定價。所有資產(chǎn)的價格是未來現(xiàn)金流在風(fēng)險中性概率下的期望值的現(xiàn)值，貼現(xiàn)率為無風(fēng)險利率。例3.1無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的價值2007年8月31日，美元6個月期的無風(fēng)險利率為4.17%。有一標(biāo)的資產(chǎn)為貼現(xiàn)債券、剩余期限為6個月的遠(yuǎn)期合約，其交割價格為970美元，債券的現(xiàn)價為960美元。問該遠(yuǎn)期合約的多頭和空頭的遠(yuǎn)期價值是多少？解：根據(jù)題意，有

S960，K970，r4.17%，Tt0.5根據(jù)f=S－Ker(Tt)，該遠(yuǎn)期合約多頭的價值為，f=S－Ker(Tt)=960970e4.17%0.510.02美元。空頭的價值為－f=－10.02美元。3.2.3遠(yuǎn)期價格的期限結(jié)構(gòu)遠(yuǎn)期價格的期限結(jié)構(gòu)描述的是不同期限遠(yuǎn)期價格之間的關(guān)系。設(shè)F為在T時刻交割的遠(yuǎn)期價格，F(xiàn)*為在T*時刻交割的遠(yuǎn)期價格，r為T時刻到期的無風(fēng)險利率，r*為T*時刻到期的無風(fēng)險利率。對于無收益資產(chǎn)而言，從無收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價公式可知,F

Ser(Tt)

兩式消除掉S后，例3.3無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的遠(yuǎn)期價格期限結(jié)構(gòu)2007年8月31日，美元3個月期與6個月期的無風(fēng)險利率分別為3.99%與4.17%。某一不支付紅利股票的3個月遠(yuǎn)期合約的遠(yuǎn)期價格為20美元，問該股票6個月的遠(yuǎn)期合約的遠(yuǎn)期價格為多少？解：根據(jù)題意，有

F20，r3.99%，r*4.17%，Tt0.25，T*t0.5根據(jù)該股票6個月期遠(yuǎn)期價格為第三節(jié)支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價組合A在T時刻的價值等于一單位標(biāo)的證券。在組合B中，由于標(biāo)的證券的現(xiàn)金收益剛好可以用來償還負(fù)債的本息，因此在T時刻，該組合的價值也等于一單位標(biāo)的證券。因此，在t時刻，這兩個組合的價值應(yīng)相等，即于是(3.4)組合的角度考慮，式(3.4)說明一單位支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約多頭可由一單位標(biāo)的資產(chǎn)和(I+Ke

–r(T-t))單位無風(fēng)險負(fù)債構(gòu)成。支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價值3.3.1例3.4支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的價值2007年8月31日，美元6個月期與1年期的無風(fēng)險利率分別為4.17%與4.11%。市場一種10年期國債現(xiàn)貨價格為990美元，該債券剩余期限為1年的遠(yuǎn)期合約的交割價格為1001美元，該債券在6個月和12個月后都將收到60美元的利息，且第二次付息日在遠(yuǎn)期合約交割日之前，求該合約的價值。解：根據(jù)已知條件，可以先算出該債券已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值I=60e4.17%0.560e4.11%1

=116.35美元，該遠(yuǎn)期合約多頭的價值為，f=S－I－Ker(Tt)=990116.35e4.11%1

=87.04美元根據(jù)遠(yuǎn)期價格的定義，我們可從式fSIKer(Tt)中求得：F(SI)er(Tt)(3.5)這就是支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價公式。式(3.5)表明，支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價格等于標(biāo)的證券現(xiàn)貨價格與已知現(xiàn)金收益現(xiàn)值差額的終值。支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價格3.3.2支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價格3.3.2如果K(SI)er(Tt)，即交割價格低于遠(yuǎn)期理論價格。則套利者可以進(jìn)行反向操作：借入標(biāo)的資產(chǎn)賣掉，得到現(xiàn)金收入S以無風(fēng)險利率貸出，同時買入一份交割價為K的遠(yuǎn)期合約。在T時刻，套利者可得到貸款本息收入Ser(Tt)，同時付出現(xiàn)金F換得一單位標(biāo)的證券，用于歸還標(biāo)的證券的原所有者，并把該標(biāo)的證券在Tt期間的現(xiàn)金收益的終值Ier(Tt)同時歸還原所有者。這樣，該套利者在T時刻可實(shí)現(xiàn)無風(fēng)險利潤(SI)er(Tt)

K。例3.5支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的期貨價格假設(shè)黃金現(xiàn)價為每盎司733美元，其存儲成本為每年每盎司2美元，一年后支付，美元一年期無風(fēng)險利率為4%。則一年期黃金期貨的理論價格為F=(S－I)er(Tt)=(733I)e4%1美元由于I=－2e4%1=1.92，所以F=(S－I)er(Tt)=(7331.92)e4%1=764.91美元/盎司第四節(jié)支付已知收益率資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價為了給支付已知收益率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期定價，我們可以構(gòu)建如下兩個組合：組合A：一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為

Ker(Tt)的現(xiàn)金；組合B：eq(Tt)單位證券并且所有收入都再投資于該證券，其中q為該資產(chǎn)按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的已知收益率。組合A在T時刻的價值等于一單位標(biāo)的證券。組合B由于獲得的紅利收入全部都再投資于該證券，擁有的證券數(shù)量隨著獲得紅利的不斷發(fā)放而增加，所以在時刻T，正好擁有一單位標(biāo)的證券。支付已知收益率資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價3.4因此在t時刻兩個組合的價值也應(yīng)相等，即：

于是(3.6)根據(jù)遠(yuǎn)期價格的定義，我們可根據(jù)式(3.6)算出支付已知收益率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價格：(3.7)這就是支付已知紅利率資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價公式。式(3.7)表明，支付已知收益率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價格等于按無風(fēng)險利率與已知收益率之差計(jì)算的現(xiàn)貨價格在T時刻的終值。支付已知收益率資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價3.4例3.6S&P股指期貨定價2007年9月20日，美元3個月期的無風(fēng)險利率為3.77%，S&P500指數(shù)預(yù)期紅利收益率為1.66%。當(dāng)S&P500指數(shù)為1518.75點(diǎn)時，2007年12月到期的S&P500指數(shù)期貨SPZ7相應(yīng)的理論價格為多少？由于S&P500指數(shù)期貨總是在到期月的第三個星期五到期，所以2007年9月20日距SPZ7到期時間為3個月，根據(jù)F=Se(rq)(Tt)SPZ7的理論價格為F=Se(rq)(Tt)

=1518.75e(3.77%1.66%)0.25=1526.78第五節(jié)遠(yuǎn)期與期貨價格的一般結(jié)論完美市場條件下的持有成本模型3.5.1從直覺上理解，假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)無收益，投資者A計(jì)劃出售一單位標(biāo)的資產(chǎn)，以下兩種方法應(yīng)該是等價的：1.在當(dāng)前t時刻賣出一份遠(yuǎn)期價格為F的遠(yuǎn)期合約，合約到期T時刻交割必定能獲得F；2.在當(dāng)前t時刻立刻出售獲得S，并以無風(fēng)險利率r貸出，這樣在T時刻可以獲得確定性收入Ser(Tt)。由于t時刻兩種投資的價值都為S，T時刻的兩種確定性收入應(yīng)相等：F

Ser(Tt)如果實(shí)際價格高于或低于上述理論價格F，市場上就存在著套利機(jī)會。注意，這里所謂的完美市場，就是我們在本章第一節(jié)中所討論的基本假設(shè)成立的市場。通俗地說，由于遠(yuǎn)期價格是A未來可獲得的現(xiàn)金收入，一個合理的遠(yuǎn)期價格應(yīng)使得A現(xiàn)在出售現(xiàn)貨和未來出售遠(yuǎn)期所獲得的確定性收入相等，無風(fēng)險利率r實(shí)際上反映了A現(xiàn)在不出售而在未來出售標(biāo)的資產(chǎn)所承擔(dān)的確定性成本。推而廣之，I和q則反映了A現(xiàn)在不出售而在未來出售標(biāo)的資產(chǎn)所能獲得的確定性收益，因此應(yīng)該從其收到的遠(yuǎn)期價格中扣減。我們可以用持有成本（Cost-of-Carry）的概念來概括遠(yuǎn)期價格與現(xiàn)貨價格的關(guān)系。持有成本的基本構(gòu)成如下：持有成本＝保存成本＋無風(fēng)險利息成本－標(biāo)的資產(chǎn)在合約期限內(nèi)提供的收益

完美市場條件下的持有成本模型3.5.1完美市場條件下的持有成本模型3.5.1舉例來說，不支付紅利的股票沒有保存成本和收益，所以持有成本就是利息成本r；股票指數(shù)的資產(chǎn)紅利率為q，其持有成本就為r

q；貨幣的收益率為rf，所以其持有成本是rrf；對黃金和白銀等投資性商品而言，若其存儲成本與現(xiàn)貨價格的比例為u，則其持有成本就為ru；依此類推。所以，如果我們用c表示持有成本，遠(yuǎn)期價格就為:

F

Ser(Tt)(3.8)相應(yīng)地：

fSe(r

c)(Tt)Ker(Tt)(3.9)

非完美市場條件下的遠(yuǎn)期定價3.5.21.

存在交易成本的時候，假定每一筆交易的費(fèi)率為Y，那么不存在套利機(jī)會的遠(yuǎn)期價格就不再是確定的值，而是一個區(qū)間：[S(1Y)er(Tt),S(1Y)er(Tt)]2.借貸存在利差的時候，如果用rb表示借入利率，用rl表示借出利率，對非銀行的機(jī)構(gòu)和個人，一般是rb>rl。這時遠(yuǎn)期和期貨的價格區(qū)間為：非完美市場條件下的遠(yuǎn)期定價3.5.23.存在賣空限制的時候，因?yàn)橘u空會給經(jīng)紀(jì)人帶來很大風(fēng)險，所以幾乎所有的經(jīng)紀(jì)人都扣留賣空客戶的部分所得作為保證金。假設(shè)這一比例為X，那么均衡的遠(yuǎn)期和期貨價格區(qū)間應(yīng)該是：[(1X)Ser(Tt),Ser(Tt)]如果上述三種情況同時存在，遠(yuǎn)期和期貨價格區(qū)間應(yīng)該是：完全市場可以看成是X0,Y0,

rl

rb

r的特殊情況。本書的討論焦點(diǎn)是金融標(biāo)的資產(chǎn)的衍生產(chǎn)品，金融標(biāo)的資產(chǎn)屬于投資性資產(chǎn)。所謂投資性資產(chǎn)是指投資者主要出于投資目的而持有的資產(chǎn)，如股票、債券等金融資產(chǎn)和黃金、白銀等資產(chǎn)。由于投資性資產(chǎn)的投資決策不受消費(fèi)等其他目的的影響，投資者所關(guān)注的是金融資產(chǎn)中所蘊(yùn)涵的風(fēng)險收益特征而非金融產(chǎn)品本身，因此標(biāo)的資產(chǎn)及其期貨之間存在高度的可替代性，只要相對價格水平不合理，投資者隨時可在這兩者之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換。所以，在這樣的市場上，只要沒有其他的制度制約套利行為，期貨的定價就成為一個純粹的風(fēng)險收益問題，相應(yīng)地?zé)o套利原則和持有成本模型就成為遠(yuǎn)期定價的基本原理。消費(fèi)性資產(chǎn)的遠(yuǎn)期定價3.5.3消費(fèi)性資產(chǎn)則是指那些投資者主要出于消費(fèi)目的而持有的資產(chǎn)，如石油、銅、農(nóng)產(chǎn)品等。對于消費(fèi)性資產(chǎn)來說，遠(yuǎn)期定價公式F

Sec(Tt)不再適用，而是轉(zhuǎn)化為：F

Sec(Tt)

原因在于消費(fèi)性的標(biāo)的資產(chǎn)具有消費(fèi)價值，而遠(yuǎn)期卻無法即時消費(fèi)，消費(fèi)性的標(biāo)的資產(chǎn)與其遠(yuǎn)期之間并不具有完全的可替代性。因此即使在遠(yuǎn)期相對價值偏低的時候投資者也不會輕易出售現(xiàn)貨，購買遠(yuǎn)期，從而使得單純基于風(fēng)險收益考慮的金融無套利原則不再完全有效。消費(fèi)性資產(chǎn)的遠(yuǎn)期定價3.5.3第六節(jié)無套利條件下，F(xiàn)

Sec(Tt)?？梢詮娜齻€角度分析F和S之間的關(guān)系：

第一，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)在遠(yuǎn)期（期貨）存續(xù)期內(nèi)沒有收益、已知現(xiàn)金收益較小、或已知收益率小于無風(fēng)險利率時，當(dāng)前遠(yuǎn)期（期貨）價格應(yīng)高于標(biāo)的資產(chǎn)的當(dāng)前現(xiàn)貨價格；當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)在遠(yuǎn)期（期貨）存續(xù)期內(nèi)的已知現(xiàn)金收益較大或已知收益率大于無風(fēng)險利率時，當(dāng)前遠(yuǎn)期（期貨）價格應(yīng)小于標(biāo)的資產(chǎn)的當(dāng)前現(xiàn)貨價格。在遠(yuǎn)期（期貨）到期日，遠(yuǎn)期（期貨）價格將收斂于標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價格（這是套利行為決定的）。同一時刻遠(yuǎn)期（期貨）價格與標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格的關(guān)系3.6.1

第二，標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價格對同一時刻的遠(yuǎn)期（期貨）價格起著重要的制約關(guān)系，正是這種制約關(guān)系決定了遠(yuǎn)期（期貨）是無法炒作的。但是，如果現(xiàn)貨市場規(guī)模不夠大，現(xiàn)貨價格無法形成對遠(yuǎn)期（期貨）價格的有效制約，遠(yuǎn)期（期貨）市場就遲早會因惡性投機(jī)而出問題。（案例3.7國債期貨事件）

同一時