2022年山西省忻州市北方中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，則的最小值為（

）A．8

B．16

C．64

D．128參考答案：2.函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移個(gè)單位，得到的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值為

A．

B．

C．

D．參考答案：A3.下面四個(gè)條件中，使成立的充分不必要條件為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A因?yàn)椋允浅闪⒌囊粋€(gè)充分不必要條件，選A.4.設(shè)是非零向量，若函數(shù)的圖像是一條直線，則必有（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A5.在樣本的頻率分布直方圖中,共有11個(gè)小長(zhǎng)方形,若中間一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積等于其他10個(gè)小長(zhǎng)方形的面積的和的,且樣本容量為200,則中間一組有頻數(shù)為A．40

B．32

C．0.2

D．0.25參考答案：A略6.計(jì)算的值是

A．

B.

C.

D.參考答案：A7.命題“若是奇函數(shù)，則是奇函數(shù)”的否命題是（

）A.若是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)

B.若不是奇函數(shù)，則不是奇函數(shù)C.若是奇函數(shù)，則是奇函數(shù)

D.若不是奇函數(shù)，則不是奇函數(shù)參考答案：B8.復(fù)數(shù)與的積是純虛數(shù)，則…………………（

）A．且

B．或

C．且

D．或參考答案：答案：C9.設(shè)且，則的最小值是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A10.執(zhí)行如圖的程序框圖，則輸出的值等于(

)

A．91

B．55

C．54 D．30參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí)，

，若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

參考答案：-1≤t≤312.已知關(guān)于x的二項(xiàng)式的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，常數(shù)項(xiàng)為80，則a的值為

參考答案：2略13.若向量滿足，且與的夾角為，則_________．參考答案：14.已知函數(shù)的最小正周期是，則正數(shù)______.

參考答案：2略15.在三角形ABC中，點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，，則______.參考答案：【分析】根據(jù)可以判斷出為直角三角形且為斜邊且長(zhǎng)度為，從而可求斜邊上的中線的長(zhǎng).【詳解】因?yàn)?，故，化?jiǎn)得到，故為直角三角形且為斜邊.又，故，因?yàn)闉樾边吷系闹芯€，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】向量的數(shù)量積有兩個(gè)應(yīng)用：（1）計(jì)算長(zhǎng)度或模長(zhǎng)，通過用；（2）計(jì)算角，．特別地，兩個(gè)非零向量垂直的等價(jià)條件是.16.圓心在直線上的圓C與x軸交于兩點(diǎn)，則圓C的方程為___．參考答案：試題分析：先由條件求得圓心C的坐標(biāo)，再求出半徑r=|AC|，從而得到圓C的方程．因?yàn)橹本€AB的中垂線方程為x=-3，代入直線x-2y+7=0，得y=2，故圓心的坐標(biāo)為C（-3，2），再由兩點(diǎn)間的距離公式求得半徑r=|AC|=∴圓C的方程為．故答案為．考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．17.已知函數(shù)f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個(gè)實(shí)數(shù)根，則t的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】函數(shù)f（x）=|xex|是分段函數(shù)，通過求導(dǎo)分析得到函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，在（﹣∞，﹣1）上為增函數(shù)，在（﹣1，0）上為減函數(shù)，求得函數(shù)f（x）在（﹣∞，0）上，當(dāng)x=﹣1時(shí)有一個(gè)最大值，所以，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個(gè)實(shí)數(shù)根，f（x）的值一個(gè)要在內(nèi)，一個(gè)在內(nèi)，然后運(yùn)用二次函數(shù)的圖象及二次方程根的關(guān)系列式求解t的取值范圍．【解答】解：f（x）=|xex|=當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）=ex+xex≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)；當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）=﹣ex﹣xex=﹣ex（x+1），由f′（x）=0，得x=﹣1，當(dāng)x∈（﹣∞，﹣1）時(shí)，f′（x）=﹣ex（x+1）＞0，f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x∈（﹣1，0）時(shí)，f′（x）=﹣ex（x+1）＜0，f（x）為減函數(shù)，所以函數(shù)f（x）=|xex|在（﹣∞，0）上有一個(gè)極大值為f（﹣1）=﹣（﹣1）e﹣1=，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個(gè)實(shí)數(shù)根，令f（x）=m，則方程m2+tm+1=0應(yīng)有兩個(gè)不等根，且一個(gè)根在內(nèi)，一個(gè)根在內(nèi)，再令g（m）=m2+tm+1，因?yàn)間（0）=1＞0，則只需g（）＜0，即，解得：t＜﹣．所以，使得函數(shù)f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個(gè)實(shí)數(shù)根的t的取值范圍是．故答案為．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）當(dāng)a=﹣3時(shí)，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法；帶絕對(duì)值的函數(shù)．【分析】（1）不等式等價(jià)于，或，或，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集即得所求．（2）原命題等價(jià)于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)a=﹣3時(shí)，f（x）≥3即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈?，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集為{x|x≤1或x≥4}．（2）原命題即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等價(jià)于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等價(jià)于|x+a|≤2，等價(jià)于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故當(dāng)1≤x≤2時(shí)，﹣2﹣x的最大值為﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值為0，故a的取值范圍為[﹣3，0]．19.設(shè)m個(gè)正數(shù)a1，a2，…，an（m≥4，m∈N*）依次圍成一個(gè)圓圈．其中a1，a2，a3，…，ak﹣1，ak（k＜m，k∈N*）是公差為d的等差數(shù)列，而a1，am，am﹣1，…，ak+1，ak是公比為q的等比數(shù)列．（1）若a1=d=1，q=2，k=8，求數(shù)列a1，a2，…，am的所有項(xiàng)的和Sm；（2）若a1=d=q=3，m＜2015，求m的最大值；（3）當(dāng)q=2時(shí)是否存在正整數(shù)k，滿足a1+a2+…+ak﹣1+ak=3（ak+1+ak+2+…+am﹣1+am）？若存在，求出k值；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】等比關(guān)系的確定；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【專題】分類討論；轉(zhuǎn)化思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）由題意可得：ak=8，因此數(shù)列a1，a2，…，am為1，2，3，4，5，6，7，8，4，2共10個(gè)數(shù)，即可得出．（2）由于a1，a2，a3，…，ak﹣1，ak（k＜m，k∈N*）是首項(xiàng)為3，公差為3的等差數(shù)列，可得ak=3k．而a1，am，am﹣1，…，ak+1，ak是公比為q的等比數(shù)列，可得ak=3m+2﹣k，因此3k=3m+2﹣k，要使m最大，則k必須最大．又k＜m＜2015，即可得出；（3）由a1，a2，a3，…，ak﹣1，ak（k＜m，k∈N*）是公差為d的等差數(shù)列，可得ak=a1+（k﹣1）d．而a1，am，am﹣1，…，ak+1，ak是公比為2的等比數(shù)列，可得ak=．故a1+（k﹣1）d=，（k﹣1）d=a1（2m+1﹣k﹣1）．又a1+a2+…+ak﹣1+ak=3（ak+1+ak+2+…+am﹣1+am），am=2a1，化簡(jiǎn)整理即可得出．【解答】解：（1）由題意可得：ak=8，因此數(shù)列a1，a2，…，am為1，2，3，4，5，6，7，8，4，2共10個(gè)數(shù)，此時(shí)m=10，Sm=42．（2）∵a1，a2，a3，…，ak﹣1，ak（k＜m，k∈N*）是首項(xiàng)為3，公差為3的等差數(shù)列，∴ak=3k．而a1，am，am﹣1，…，ak+1，ak是公比為q的等比數(shù)列，∴ak=3m+2﹣k，因此3k=3m+2﹣k，∴k?3k=3m+1，要使m最大，則k必須最大．又k＜m＜2015，故k的最大值為36，可得36?3729=3m+1，解得m的最大值是734．（3）由a1，a2，a3，…，ak﹣1，ak（k＜m，k∈N*）是公差為d的等差數(shù)列，可得ak=a1+（k﹣1）d．而a1，am，am﹣1，…，ak+1，ak是公比為2的等比數(shù)列，∴ak=．故a1+（k﹣1）d=，∴（k﹣1）d=a1（2m+1﹣k﹣1）．又a1+a2+…+ak﹣1+ak=3（ak+1+ak+2+…+am﹣1+am），am=2a1，∴=3×2a1×，則ka1+=6（2m﹣k﹣1），則+k=6（2m﹣k﹣1），即k?2m+1﹣k+k=6×2m+1﹣k﹣12，k≠6，則2m+1﹣k==﹣1+，∴k＜6，代入驗(yàn)證可得：當(dāng)k=4時(shí)，上式等式成立，此時(shí)m=6．綜上可得：當(dāng)且僅當(dāng)m=6時(shí)，存在k=4滿足等式．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．20.設(shè)函數(shù)，其中常數(shù)a＞1．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)大于0對(duì)應(yīng)的為原函數(shù)的增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0對(duì)應(yīng)的為原函數(shù)的減區(qū)間，即可求f（x）的單調(diào)性；（2）由（1）知，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）在x=2a或x=0處取得最小值，所以須滿足最小值大于0，解不等式組即可求a的取值范圍．【解答】解：（1）f′（x）=x2﹣2（1+a）x+4a=（x﹣2）（x﹣2a），由已知a＞1，∴2a＞2，∴令f′（x）＞0，解得x＞2a或x＜2，令f′（x）＜0，解得2＜x＜2a，故當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在區(qū)間（﹣∞，2）和（2a，+∞）上是增函數(shù)，在區(qū)間（2，2a）上是減函數(shù)．（2）由（1）知，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）在x=2a或x=0處取得最小值．=，f（0）=24a．則即解得1＜a＜6，故a的取值范圍是（1，6）．21.

已知f(x)是定義在(0，+∞)上的增函數(shù)，且滿足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(2)＝1.(1）求證：f(8)＝3

(2)求不等式f(x)－f(x－2)>3的解集.參考答案：（1）由題意得f(8)＝f(4×2)＝f(4)＋f(2)＝f(2×2)＋f(2)＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝3f(2)又∵f(2)＝1

∴f(8)＝3