2022廣東省汕頭市澄海外砂中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在平行四邊形ABCD中，,E為CD的中點．若，則AB的長為

A.

B.1

C．

D．2參考答案：D2.若集合A={x|x＜4}，集合B={x∈Z|x＞﹣1}，則A∩B等于（）A．{0，1} B．{1，2，3} C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}參考答案：C【考點】交集及其運算．【專題】計算題；定義法；集合．【分析】先用描述法可得A∩B={x∈Z|﹣1＜x＜4}，再列舉法表示出來即可．【解答】解：∵A={x|x＜4}，B={x∈Z|x＞﹣1}，∴A∩B={x∈Z|﹣1＜x＜4}={0，1，2，3}，故選C．【點評】本題考查了集合的表示方法的應(yīng)用．3.已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈（﹣∞，0]時，f（x）為減函數(shù)，若a=f（20.3），，c=f（log25），則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a(chǎn)＞c＞b參考答案：B【考點】對數(shù)值大小的比較．【分析】由題意可知f（x）在[0，+∞）為增函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷．【解答】解：函數(shù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈（﹣∞，0]時，f（x）為減函數(shù)，∴f（x）在[0，+∞）為增函數(shù)，∵=f（﹣2）=f（2），1＜20.3＜2＜log25，∴c＞b＞a，故選：B．4.在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，“塹堵”指的是底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱.如圖，網(wǎng)絡(luò)圖中小正方形的邊長為1，圖中粗實線畫出的是某塹堵的正視圖與俯視圖，則該塹堵的表面積為（

）A．

B．6

C.

D．10參考答案：C5.若a、b為實數(shù)，則“”是“”的（

）A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：【知識點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．L4

【答案解析】B

解析：若a、b為實數(shù)，，令a=﹣1，b=1，ab=﹣1＜1，推不出，若，可得b＞0，∴0＜，?，∴”是“必要不充分條件，故選B．【思路點撥】令a=﹣1，b=1特殊值法代入再根據(jù)必要條件和充分條件的定義進(jìn)行判斷.6.右圖中陰影部分表示的集合是（

）A．

B．

C．（）

D．（）參考答案：答案：A

7.（多選題）關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（

）A.是f(x)的極大值點B.函數(shù)有且只有1個零點C.存在正實數(shù)k，使得成立D.對任意兩個正實數(shù)，，且，若，則.參考答案：BD【分析】A.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)極值的定義進(jìn)行判斷B.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和零點個數(shù)進(jìn)行判斷即可C.利用參數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)g（x），求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和極值進(jìn)行判斷即可D.令g（t）＝f（2+t）﹣f（2﹣t），求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明即可【詳解】A.函數(shù)的的定義域為（0，+∞），函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），∴（0，2）上，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，（2，+∞）上，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，∴x＝2是f（x）的極小值點，即A錯誤；B.y＝f（x）﹣xlnx﹣x，∴y′10，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減，且f（1）﹣1ln1﹣1=1>0，f（2）﹣2ln2﹣2=ln2﹣1<0，∴函數(shù)y＝f（x）﹣x有且只有1個零點，即B正確；C.若f（x）＞kx，可得k，令g（x），則g′（x），令h（x）＝﹣4+x﹣xlnx，則h′（x）＝﹣lnx，∴在x∈（0，1）上，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增，x∈（1，+∞）上函數(shù)h（x）單調(diào)遞減，∴h（x）≤h（1）＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）上函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)無最小值，∴不存在正實數(shù)k，使得f（x）＞kx恒成立，即C不正確；D.令t∈（0，2），則2﹣t∈（0，2），2+t＞2，令g（t）＝f（2+t）﹣f（2﹣t）ln（2+t）ln（2﹣t）ln，則g′（t）0，∴g（t）在（0，2）上單調(diào)遞減，則g（t）＜g（0）＝0，令x1＝2﹣t，由f（x1）＝f（x2），得x2＞2+t，則x1+x2＞2﹣t+2+t＝4，當(dāng)x2≥4時，x1+x2＞4顯然成立，∴對任意兩個正實數(shù)x1，x2，且x2＞x1，若f（x1）＝f（x2），則x1+x2＞4，故D正確故正確的是BD，故選：BD．【點睛】本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)的單調(diào)性和極值，函數(shù)零點個數(shù)的判斷，以及構(gòu)造法證明不等式，綜合性較強(qiáng)，運算量較大，有一定的難度．8.若（是虛數(shù)單位，是實數(shù)），則的值是

A． B． C． D．參考答案：D略9.下列推理是歸納推理的是（

）

Ａ．A，B為定點，動點P滿足|PA|＋|PB|＝2a＞|AB|，則P點的軌跡為橢圓B．由，求出猜想出數(shù)列的前n項和Sn的表達(dá)式Ｃ．由圓的面積，猜想出橢圓的面積D．科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇參考答案：B10.已知雙曲線M：﹣=1和雙曲線N：﹣=1，其中b＞a＞0，雙曲線M和雙曲線N交于A，B，C，D四個點，且四邊形ABCD的面積為4c2，則雙曲線M的離心率為（）A． B．+3 C． D．+1參考答案：C【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)四邊形ABCD的面積為4c2，可得雙曲線M與N的交點在兩坐標(biāo)軸上的射影恰好是兩雙曲線的焦點，得交點坐標(biāo)為：（c，c），其中c是兩個雙曲線公共的半焦距．將點（c，c）代入雙曲線M（或雙曲線N）的方程，結(jié)合b2=c2﹣a2化簡整理，得e4﹣3e2+1=0，解之得到雙曲線M的離心率．【解答】解：雙曲線M：﹣=1和雙曲線N：﹣=1，∴兩個雙曲線的焦距相等，∵四邊形ABCD的面積為4c2，∴雙曲線M與N的交點在兩坐標(biāo)軸上的射影恰好是兩雙曲線的焦點，∴交點坐標(biāo)為：（c，c），代入雙曲線M（或雙曲線N）的方程，得：=1，去分母，得c2（c2﹣a2）﹣a2c2=a2（c2﹣a2），整理，得c4﹣3a2c4+a4=0，所以e4﹣3e2+1=0，∵e＞1，∴解之得e=，故選C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，，是的三邊，，，，則的取值范圍為

.參考答案：由正弦定理，，，由余弦定理，，由，，.12.已知隨機(jī)變量的分布列如右表，12Pm則m=

；

.參考答案：，13.二項式展開式中的常數(shù)項是

(用具體數(shù)值表示)參考答案：二項展開式的通項公式為，由，得，所以常數(shù)項為。10.在中，若的面積是

．【答案】【解析】由正弦定理得，因為,所以，所以。所以，所以。14.在實數(shù)范圍內(nèi)，不等式的解集為

．

參考答案：15.已知直線與圓則圓上各點到距離的最大值為_____________;參考答案：16.若函數(shù)為奇函數(shù)，且在（0,+∞)上是增函數(shù)，又，則<0的解集為

.參考答案：（-2,0)∪(0,2)17.已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（，k），若﹣2與垂直，則k=．參考答案：﹣1【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】由已知向量的坐標(biāo)求出的坐標(biāo)，再由與垂直列式求得k值．【解答】解：∵，，∴=（），又，且與垂直，∴，解得：k=﹣1．故答案為：﹣1．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本大題滿分15分）省環(huán)保研究所對市中心每天環(huán)境放射性污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)與時刻（時）的關(guān)系為，其中是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且，若用每天的最大值為當(dāng)天的綜合放射性污染指數(shù)，并記作．（Ⅰ）令，，求t的取值范圍；（Ⅱ）省政府規(guī)定，每天的綜合放射性污染指數(shù)不得超過2，試問目前市中心的綜合放射性污染指數(shù)是否超標(biāo)？參考答案：（Ⅰ）當(dāng)x=0時，t=0

當(dāng)0<x≤24時，

故t的取值范圍是

……4分（Ⅱ）當(dāng)時，記則……8分∵在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且．故.

……10分∴當(dāng)且僅當(dāng)時，.故當(dāng)時不超標(biāo)，當(dāng)時超標(biāo)．

……15分19.（本小題滿分14分）

已知函數(shù).（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍.（2）記函數(shù)，若的最小值是，求函數(shù)的解析式.參考答案：⑴

∴在上恒成立…………2分令∵恒成立

∴…………4分

…………6分∴

…………7分(2)∵

…………9分易知時,恒成立∴無最小值,不合題意

∴…………11分令,則(舍負(fù))

列表如下,(略)可得,在(上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則是函數(shù)的極小值點。

…………13分解得

…………14分20.（1）已知函數(shù)f（x）=mlnx與函數(shù)h（x）=（x＞0）的圖象有且只有一條公切線，求實數(shù)m的值．（2）已知函數(shù)y=lnx﹣（ax+b）有兩個不同的零點x1，x2，求證：＜x1x2＜．參考答案：【考點】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）f（x）在點（a，mlna）處的切線為y=（x﹣a）+mlna，h（x）在點（b，）處的切線為y=（x﹣b）+，由這兩條切線重合知，問題即當(dāng)m在什么范圍內(nèi)時，關(guān)于（a，b）的方程有唯一一組解，由此入手能求出m．（2）問題等價于有兩個不同的零點x1，x2，求證1+b﹣lna＜x1+x2＜﹣2lna，嘗試使用構(gòu)造函數(shù)的方法證明極值點偏移不等式．由此能證明＜x1x2＜．【解答】解：（1）f（x）在點（a，mlna）處的切線為y=（x﹣a）+mlna，h（x）在點（b，）處的切線為y=（x﹣b）+，由這兩條切線重合知，問題即當(dāng)m在什么范圍內(nèi)時，關(guān)于（a，b）的方程有唯一一組解，∵a，b的值一一對應(yīng)，如果在方程組中消去b，得到mlna+﹣m﹣=0，此方程組對a＞0有唯一解，不好計算；如果在方程組中消去a，得到mln（2m）﹣m+2mlnb+=0，對b＞0有唯一解，記左邊為g（b），則有g(shù)′（b）=，方程組有解時，有m＞0，∴g（b）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（b）min=g（）=m﹣﹣mln（2m），而當(dāng)b→0與b→+∞時，均有g(shù)（b）→+∞，∴當(dāng)且僅當(dāng)這個最小值等于0時，方程g（b）=0有唯一解．最后解方程m﹣﹣mln（2m）=0，由題意知m=是它的解，考慮h（m）=m﹣﹣mln（2m），有h′（m）=﹣ln（2m），∴h（m）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，+∞）上單調(diào)遞減，∴是h（m）=0的唯一解，∴m=．（2）問題等價于有兩個不同的零點x1，x2，求證1+b﹣lna＜x1+x2＜﹣2lna，嘗試使用構(gòu)造函數(shù)的方法證明極值點偏移不等式．右邊不等式：∵，∴a＞0，其極值點為x=﹣lna，又∵函數(shù)f1（x）的二階導(dǎo)函數(shù)，∴構(gòu)造函數(shù)，則h1（x）=f1（x）﹣g1（x）的二階導(dǎo)數(shù)：，∴在（﹣∞，﹣lna）上，，在（﹣lna，+∞）上，，結(jié)合，在R上，，結(jié)合h1（﹣lna）=0，在（﹣∞，﹣lna）上，h1（x）＞0，在（﹣lna，+∞）上，h1（x）＜0，如圖，∴二次函數(shù)的零點x3，x4（x3＜x4）滿足：x1＜x3＜x2＜x4，∴x1+x2＜x3+x4=﹣2lna，左邊不等式：此時無法通過構(gòu)造二次函數(shù)證明，設(shè)f2（x）=lnx﹣（ax+b），則其導(dǎo)函數(shù)，∴其極大值點為x=，欲證明的不等式為：lnx1+lnx2＞1+b﹣lna，即，構(gòu)造函數(shù)，其中g(shù)2（x）與f2（x）在x=處的函數(shù)值、導(dǎo)數(shù)值和二階導(dǎo)函數(shù)值均相等，則可以求得，此時h2（x）=f2（x）﹣g2（x）的導(dǎo)函數(shù)：≥0，結(jié)合，得h2（x）在x=的兩側(cè)異號，如圖，∵函數(shù)g2（x）的零點x5，x6（x5＜x6）即方程=0的兩根，有，∴x5＜x1＜x6＜x2，∴．綜上：＜x1x2＜．21.（本題滿分15分）已知定義域為R，滿足：①；②對任意實數(shù)，有.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）判斷函數(shù)的奇偶性與周期性，并求的值；（Ⅲ）是否存在常數(shù)，使得不等式對一切實數(shù)成立.如果存在，求出常數(shù)的值；如果不存在，請說明理由.參考答案：解：（Ⅰ）取，得，即.因為，所以.

…………2分取，得.因為，所以.取，得，所以.………………3分（Ⅱ）在中取，得.即所以，即周期為4.