1.3不等式測試卷一、單選題1．已知，，設(shè)，則（

）A． B． C． D．2．已知為互不相等的正數(shù)，，則下列說法正確的是（

）A．與同號(hào) B．與異號(hào)C．與異號(hào) D．與同號(hào)3．若，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．4．下列結(jié)論正確的是（

）A．時(shí), B．時(shí),的最大值是,C．的最小值為 D．時(shí)一定有5．若且，則的最小值等于（

）A． B． C． D．6．下列命題是真命題的是（

）A．若，則； B．若，則；C．若，則； D．若，則．7．已知關(guān)于的不等式的解集為，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．a(chǎn)b的最大值為C．的最小值為4 D．的最小值為8．已知實(shí)數(shù)?滿足，有結(jié)論：①若，，則有最大值；②若，，則有最小值；正確的判斷是（

）A．①成立，②成立 B．①不成立，②不成立C．①成立，②不成立 D．①不成立，②成立二、多選題9．若，且，在下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．10．已知a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則11．以下說法正確的有（

）A．實(shí)數(shù)是成立的充要條件B．不等式對恒成立C．命題“，”的否定是“，”D．若，則12．下列命題中為真命題的是（

）A．設(shè),若,則B．若,則C．若正數(shù)滿足,且,則D．若,則三、填空題13．已知，利用等式的性質(zhì)比較與的大小關(guān)系：________(填“”“”或“”)．14．當(dāng)m>1時(shí)，m3與m2－m＋1的大小關(guān)系為________.15．一個(gè)盒子中紅、白、黑三種球分別為個(gè)、個(gè)、個(gè)，黑球個(gè)數(shù)至少是白球個(gè)數(shù)的一半，至多是紅球個(gè)數(shù)的，白球與黑球的個(gè)數(shù)之和至少為，則用不等式（組）將題中的不等關(guān)系表示為________．16．若實(shí)數(shù)a、b、c滿足，則的最大值為__________．四、解答題17．已知，，.(1)求的最小值并說明取得最小值時(shí)，滿足的條件；(2)，恒成立，求的取值范圍.18．（1）若正數(shù)滿足，求的最小值．（2）已知，求的最小值．19．若，求的最小值．20．已知實(shí)數(shù)，，且(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值，并指出取最小值時(shí)的值；(2)當(dāng)時(shí)，求的最小值，并指出取最小值時(shí)的值.21．（1）設(shè)，，求，，的范圍；（2）已知，求證：.22．為了抗擊新冠，某區(qū)需要建造隔離房間．如圖，每個(gè)房間是長方體，且有一面靠墻，底面積為平方米，側(cè)面長為x米，且x不超過8，房高為4米．房屋正面造價(jià)400元/平方米，側(cè)面造價(jià)150元/平方米．如果不計(jì)房屋背面、屋頂和地面費(fèi)用，問：當(dāng)x為多少時(shí)，總價(jià)最低．參考答案1．A【分析】利用作差法判斷的正負(fù)即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；即.故選：A2．D【分析】利用基本不等式判斷出，由的大小不確定，判斷出A、B不正確；分類討論在和時(shí)，都有與同號(hào).即可判斷C、D.【詳解】因?yàn)闉榛ゲ幌嗟鹊恼龜?shù)，所以.因?yàn)椋?，所?所以.因?yàn)榈拇笮〔淮_定，所以的符號(hào)不確定.故A、B不正確；若，則，所以，，所以與同號(hào).若，則，所以.因?yàn)闉榛ゲ幌嗟鹊恼龜?shù)，所以.所以與同號(hào).綜上所述：與同號(hào).故C錯(cuò)誤，D正確.故選：D3．C【分析】利用基本不等式“1”的妙用求得的最小值，即可得到的最大值.【詳解】因?yàn)?，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立；所以，即的最大值為，故選：C.4．B【分析】取,即可判斷選項(xiàng)A,由,可得,,將寫為再用基本不等式,即可判斷選項(xiàng)B,計(jì)算基本不等式中取等條件是否滿足,即可判斷選項(xiàng)C,取,即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】解:由題知對于A:取,則,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;對于B:,,,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),故選項(xiàng)B正確;對于C:,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)成立,顯然等式不能成立,即取不到的最小值為,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;對于D:取,則,但是,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:B5．D【分析】巧用常數(shù)的關(guān)系即可求解的最小值.【詳解】因?yàn)榍?，所以?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.故選：D.6．D【分析】舉反例排除A，B，C，利用不等式的基本性質(zhì)判斷D.【詳解】對于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，滿足，但，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，滿足，但，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，滿足，但，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以，所以，則，故D正確.故選：D.7．C【分析】根據(jù)不等式的解集與方程根的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理，求得，，可判定A正確；結(jié)合基本不等式和“1”的代換，可判斷B正確，C錯(cuò)誤，D正確.【詳解】由題意，不等式的解集為，可得，且方程的兩根為和，所以，所以，，所以，所以A正確；因?yàn)?，，所以，可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為，所以B正確；由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，所以C錯(cuò)誤；由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，所以D正確．故選：C．8．C【分析】由已知結(jié)合基本不等式及其應(yīng)用條件分別檢驗(yàn)①②即可判斷．【詳解】解：因?yàn)椋?，①，，，?dāng)且時(shí)取等號(hào)，所以，解得，即取到最大值2；①正確；②，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)不符合，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)此時(shí)取得最大值，沒有最小值，②錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在用基本不等式求最值時(shí)，應(yīng)具備三個(gè)條件：一正二定三相等.①一正：關(guān)系式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：關(guān)系式中，含變量的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；③三相等：含變量的各項(xiàng)均相等，取得最值.9．AB【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，即可求解.【詳解】對于A，∵，，∴，故A正確，對于B，，，∴，故B正確，對于C，令，則，故C錯(cuò)誤，對于D，令，，滿足，但，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10．BC【分析】利用特殊值、不等式的性質(zhì)、差比較法等知識(shí)確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，，，但，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，由于，，所以，所以，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，由于，，所以，，，所以，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，由于，，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC11．BCD【分析】對于A，舉反例排除即可；對于B，利用作差法與完全平方公式即可判斷；對于C，根據(jù)特稱命題否定的方法判斷即可；對于D，直接解方程得到，代入即可判斷.【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，可能，不能得到，故A錯(cuò)誤；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以對恒成立，故B正確；對于C，特稱命題的否定是全稱命題，其否定方法為“改量詞，否結(jié)論”，所以命題“，”的否定是“，”，故C正確；對于D，因?yàn)?，所以，則，即，故，所以，故D正確.故選：BCD.12．BCD【分析】對于A,取一個(gè)反例即可,對于B,分情況討論大小即可,對于C,根據(jù)等式化簡,根據(jù)不等式找范圍,求值,對于D,將寫成的形式,然后分別用基本不等式,注意取等條件.【詳解】解:由題知,對于選項(xiàng)A,當(dāng)時(shí),滿足,但是,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤;對于選項(xiàng)B,當(dāng)時(shí),可化為,即,所以成立,當(dāng)時(shí),不等式成立,也成立,當(dāng)時(shí),不等式不成立,舍,當(dāng)時(shí),不等式可化為,即,即,所以成立,當(dāng)時(shí),要想成立,,此時(shí)成立,當(dāng)時(shí),要想成立,,此時(shí)成立,綜上,成立,所以選項(xiàng)B正確;對于選項(xiàng)C,,,,即,即,此時(shí)若想成立,,故選項(xiàng)C正確;對于選項(xiàng)D,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等,故,選項(xiàng)D正確,故選:BCD.13．【分析】化簡得到，得到答案.【詳解】，故，即，故.故答案為：14．m3>m2－m＋1##m2－m＋1<m3【分析】應(yīng)用作差法求比較大小即可.【詳解】∵m3－(m2－m＋1)＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)＝(m－1)(m2＋1)，又m>1，∴(m－1)(m2＋1)>0，即m3>m2－m＋1.故答案為：m3>m2－m＋1.15．【分析】根據(jù)已知條件可得出不等式組.【詳解】由題意可得．故答案為：．16．##0.5【分析】利用基本不等式得到，把轉(zhuǎn)化為，利用二次函數(shù)求出最大值.【詳解】因?yàn)?，所以，?所以.因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值.故答案為：.17．(1)最小值，當(dāng)，滿足時(shí)取得最小值.(2)實(shí)數(shù)的取值范圍是.【分析】（1）將化為，展開后由基本不等式進(jìn)行求解；（2）將化為，使用基本不等式求出最小值即可求解【詳解】（1）∵，∴，∵，，∴，，∴由基本不等式，有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，∴，即的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值.（2）由已知，，當(dāng)時(shí)，由基本不等式，有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∴，即已知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值，，又∵恒成立，∴，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.18．（1）；（2）．【分析】（1）由題得，又得即可解決；（2）令，得即可解決.【詳解】由題得，正數(shù)滿足，因?yàn)?，所以所以?dāng)且僅當(dāng)，得，即時(shí)，等號(hào)成立；所以的最小值為.（2）因?yàn)?，所以，令，所以，所以?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；所以時(shí)，的最小值為．19．12【分析】利用換元法將換成（要注意變量的取值），則函數(shù)變成，利用均值不等式即可求解.【詳解】設(shè)，則，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，也即時(shí)取等號(hào)）所以的最小值為12．20．(1)最小值為，此時(shí)(2)最小值為4，此時(shí).【分析】（1）變形得到，利用基本不等式“1”的妙用，求出最小值及此時(shí)的值；（2）變形得到，利用得到關(guān)于，求出的最小值及此時(shí)的值.【詳解】（1）時(shí)，，因?yàn)?，所以，故，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，（2）時(shí)，，變形為，即，，其中，故，因?yàn)?，解得：，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為4，此時(shí).21．（1），，；（2）證明見解析.【分析】（1）結(jié)合不等式的基本性質(zhì)即可求解；（2）利用基本不等式的性質(zhì)可知，，，從而可得，再結(jié)合即可得證.【詳解】（1），，，，，，，，.故，，.（2）證明：由，兩邊平方得