北京房山區(qū)中院中學(xué)2022高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.不等式表示的平面區(qū)域（用陰影表示）是（

）A. B.C. D.參考答案：B【分析】畫(huà)出直線,取點(diǎn)代入不等式驗(yàn)證，即可求解.【詳解】畫(huà)出直線，如下圖所示取點(diǎn)代入不等式，滿(mǎn)足不等式則不等式表示的不等式區(qū)域，如下圖所示故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了畫(huà)二元一次不等式表示的平面區(qū)域，屬于基礎(chǔ)題.2..“”是“直線與直線互相垂直”的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：C【分析】利用兩直線垂直時(shí)它們的一般方程的系數(shù)間的關(guān)系可求的值.【詳解】若直線與直線互相垂直，則，解得.所以“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件，選C.【點(diǎn)睛】如果直線，，（1）若，則；（2）若，則且或；（2）若重合，則，，.3.若曲線在點(diǎn)處的切線與平行,則a的值為（

）A．-2

B．0

C．

1

D．2參考答案：D4.某程序框圖如圖所示，則輸出的結(jié)果為A． B．2 C． D．參考答案：B5.三棱錐O﹣ABC中，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，若OA=OB=a，OC=b，D是該三棱錐外部（不含表面）的一點(diǎn)，則下列命題正確的是(

)①存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)D，使OD⊥面ABC；②存在唯一點(diǎn)D，使四面體ABCD為正三棱錐；③存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)D，使OD=AD=BD=CD；④存在唯一點(diǎn)D，使四面體ABCD有三個(gè)面為直角三角形．A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②④參考答案：B考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用．專(zhuān)題：綜合題；運(yùn)動(dòng)思想；空間位置關(guān)系與距離；簡(jiǎn)易邏輯．分析：①取AB的中點(diǎn)M，連接OM，CM，過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥CM，可得OQ⊥平面ABC，則直線OQ上除去線段OQ上的點(diǎn)取為D，則OD⊥面ABC，因此存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)D，使OD⊥面ABC，即可判斷出才正誤；②以線段AB為邊作一個(gè)正△DAB，使得點(diǎn)C在△ABD內(nèi)的射影為△ABD的中心，這樣的點(diǎn)D至少有兩個(gè)，分別位于平面ABC的兩側(cè)，即可判斷出正誤；③由已知：可以將此四面體補(bǔ)成一個(gè)以O(shè)A，OB，OC為鄰邊的長(zhǎng)方體，其對(duì)角線的中點(diǎn)為此長(zhǎng)方體外接球的球心D且唯一，即可判斷出正誤；④取點(diǎn)O關(guān)于平面ABC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，則四面體ABCD有三個(gè)面為直角三角形，此D點(diǎn)唯一，即可判斷出正誤．解答：解：①取AB的中點(diǎn)M，連接OM，CM，過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥CM，可得OQ⊥平面ABC，則直線OQ上除去線段OQ上的點(diǎn)取為D，則OD⊥面ABC，因此存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)D，使OD⊥面ABC；②以線段AB為邊作一個(gè)正△DAB，使得點(diǎn)C在△ABD內(nèi)的射影為△ABD的中心，則四面體ABCD為正三棱錐，這樣的點(diǎn)D至少有兩個(gè)，分別位于平面ABC的兩側(cè)，因此不正確；③∵OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，∴可以將此四面體補(bǔ)成一個(gè)以O(shè)A，OB，OC為鄰邊的長(zhǎng)方體，其對(duì)角線的中點(diǎn)為此長(zhǎng)方體外接球的球心D，滿(mǎn)足OD=AD=BD=CD，因此有唯一的一個(gè)點(diǎn)D，使OD=AD=BD=CD，故不正確；④取點(diǎn)O關(guān)于平面ABC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，則四面體ABCD有三個(gè)面為直角三角形，此D點(diǎn)唯一，因此正確．綜上可知：①④正確．故選：B．點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)定理、直三棱錐、長(zhǎng)方體與外接球的性質(zhì)、特殊的四面體性質(zhì)，考查了空間想象能力、推理能力，屬于中檔題6.已知等比數(shù)列{an}的公比q=﹣，則等于（） A．﹣ B．﹣3 C． D．3參考答案：B【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)． 【專(zhuān)題】計(jì)算題． 【分析】根據(jù)====，進(jìn)而可知=，答案可得． 【解答】解：∵====， ∴==﹣3． 故選B 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)．屬基礎(chǔ)題． 7.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【專(zhuān)題】計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是一正方體去掉一個(gè)三棱錐，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求出它的體積．【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖，得；該幾何體是一棱長(zhǎng)為1的正方體，去掉一三棱錐，如圖所示；∴該幾何體的體積是V幾何體=13﹣×12×1=．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用空間幾何體的三視圖求體積的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．8.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是(

) A.B.C.D.參考答案：C9.已知（1+x）10=a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+…+a10（1﹣x）10，則a8=（）A．﹣180 B．180 C．45 D．﹣45參考答案：B【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理．【分析】將1+x寫(xiě)成2﹣（1﹣x）；利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，令1﹣x的指數(shù)為8，求出a8．【解答】解：∵（1+x）10=[2﹣（1﹣x）]10∴其展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=（﹣1）r210﹣rC10r（1﹣x）r令r=8得a8=4C108=180故選B10. A． B． C． D．參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.用反證法證明命題：“已知a,b∈N，若ab可被5整除，則ab中至少有一個(gè)能被5整除”時(shí)，應(yīng)將結(jié)論反設(shè)為

.參考答案：a,b都不能被5整除由題意得當(dāng)時(shí)，根據(jù)的關(guān)系，可將分為如下情況：①中有一個(gè)能被5整除；②都能被5整除；③都不能被5整除．所以“中至少有一個(gè)能被整除”包括①②兩種可能．故用反證法證明時(shí)，所作的反設(shè)是“都不能被5整除”．

12.已知空間四邊形，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，且，用，，表示，則=_______________。參考答案：

解析：13.已知an=log2（1+），我們把滿(mǎn)足a1+a2+…+an（n∈N*）的和為整數(shù)的數(shù)n叫做“優(yōu)數(shù)”，則在區(qū)間（0,2017）內(nèi)的所有“優(yōu)數(shù)”的和為_(kāi)__________.參考答案：2036由題意得an=log2（1+），所以a1+a2+…+an，要為整數(shù)，只需所以和為，填2036【點(diǎn)睛】log2（1+）可以裂項(xiàng)是解本題的一個(gè)關(guān)鍵，所以求和是一個(gè)裂項(xiàng)求和。14.曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1(－1,0)和F2(1,0)的距離的積等于常數(shù)a2(a>1)的點(diǎn)的軌跡．給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；②曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；③若點(diǎn)P在曲線C上，則△F1PF2的面積不大于a2.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________．參考答案：②③15.若，，，，則向量在向量上的投影為

.參考答案：略16.過(guò)點(diǎn)（2，－2）與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程為

參考答案：略17.某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸，B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸，B原料3噸，銷(xiāo)售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)5萬(wàn)元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)3萬(wàn)元．該企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過(guò)13噸，B原料不超過(guò)18噸．那么該企業(yè)可獲得最大利潤(rùn)是

．參考答案：27萬(wàn)元【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用．【專(zhuān)題】綜合題．【分析】先設(shè)該企業(yè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品為x噸，乙產(chǎn)品為y噸，列出約束條件，再根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，設(shè)z=5x+3y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=5x+3y過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)時(shí)，從而得到z值即可．【解答】解：設(shè)該企業(yè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品為x噸，乙產(chǎn)品為y噸，則該企業(yè)可獲得利潤(rùn)為z=5x+3y，且，聯(lián)立，解得x=3y=4，由圖可知，最優(yōu)解為P（3，4），∴z的最大值為z=5×3+3×4=27（萬(wàn)元）．故答案為：27萬(wàn)元．【點(diǎn)評(píng)】在解決線性規(guī)劃的應(yīng)用題時(shí)，其步驟為：①分析題目中相關(guān)量的關(guān)系，列出不等式組，即約束條件?②由約束條件畫(huà)出可行域?③分析目標(biāo)函數(shù)Z與直線截距之間的關(guān)系?④使用平移直線法求出最優(yōu)解?⑤還原到現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C：+=1，（a＞b＞0）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，A，B為兩個(gè)頂點(diǎn)，已知橢圓C上的點(diǎn)（1，）到焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和為4．（1）求橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過(guò)橢圓C的焦點(diǎn)F2作AB的平行線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，求△F1PQ的面積．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專(zhuān)題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）由橢圓定義可得a=2，將點(diǎn)代入橢圓方程求得b2=3，從而得到c=1，寫(xiě)出橢圓方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由條件求出直線PQ的方程，聯(lián)立橢圓方程，消去x，得到y(tǒng)的二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，可求|y1﹣y2|，再由面積公式|F1F2|?|y1﹣y2|計(jì)算即得．【解答】解：（1）由題設(shè)知：2a=4，即a=2，將點(diǎn)代入橢圓方程得，得b2=3∴c2=a2﹣b2=4﹣3=1，故橢圓方程為，焦點(diǎn)F1、F2的坐標(biāo)分別為（﹣1，0）和（1，0）．（2）由（1）知，∴，∴PQ所在直線方程為，由得設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則，∴，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立消去一個(gè)未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理求解的方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．19.

試說(shuō)明圖中的算法流程圖的設(shè)計(jì)是求什么？參考答案：求非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根．20.已知，分別用“For”語(yǔ)句和“While”語(yǔ)句描述計(jì)算S這一問(wèn)題的算法過(guò)程。參考答案：21.橢圓E：+=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，離心率e=．過(guò)F1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長(zhǎng)為8．（1）求橢圓E的方程．（2）在橢圓E上，是否存在點(diǎn)M（m，n）使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點(diǎn)P，Q，且△POQ的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及相對(duì)應(yīng)的△POQ的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專(zhuān)題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）由已知得e=，4a=8，由此能求出橢圓E的方程．（2）當(dāng)∠POQ=90°時(shí)，S△POQ有最大值，求出點(diǎn)O到直線AB的距離，從而得到m2+n2=2，又，兩式聯(lián)立，無(wú)解，故在橢圓E上，不存在點(diǎn)M（m，n）使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點(diǎn)P，Q，且△POQ的面積最大．【解答】（本小題滿(mǎn)分12分）解：（1）∵橢圓E：+=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，離心率e=，∴，e=，∴3a2=4b2，∵△ABF2的周長(zhǎng)為8，∴4a=8，解得a=2，b=，c=1，∴橢圓E的方程為：．…（2）不存在，理由如下：在△POQ中，|OP|=|OQ|=1，S△POQ=|OP|×|OQ|×sin∠POQ當(dāng)且僅當(dāng)∠POQ=90°時(shí)，S△POQ有最大值，當(dāng)∠POQ=90°時(shí)，點(diǎn)O到直線AB的距離為d=，∴d==，∴m2+n2=2，又，兩式聯(lián)立，解得：無(wú)解，故在橢圓E上，不存在點(diǎn)M（m，n）使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點(diǎn)P，Q，且△POQ的面積最大．…【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程的求法，考查滿(mǎn)足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、點(diǎn)到直線距離公式的合理運(yùn)用．22.如圖1，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D為側(cè)棱PC上一點(diǎn)，它的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖如圖2所示．（1）證明：AD⊥BC；（2）求三棱錐D﹣ABC的體積．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；由三視圖求面積、體積．【分析】（1）先證明BC⊥平面P