2011年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（陜西卷）文科數(shù)學(xué)選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1.設(shè)是向量，命題“若，則∣∣=∣∣”的逆命題是【】（A）若，則∣∣∣∣（B）若，則∣∣∣∣（C）若∣∣∣∣，則∣∣∣∣（D）若∣∣=∣∣，則=-2.設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，則拋物線的方程是【】（A）（B）(C)(D)3.設(shè)，則下列不等式中正確的是【】（A）（B）（c）(D)4.函數(shù)的圖像是【】某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是【】8-2π6.方程在內(nèi)【】(A)沒有根(B)有且僅有一個(gè)根(C)有且僅有兩個(gè)根（D）有無(wú)窮多個(gè)根7.如右框圖，當(dāng)時(shí)，等于【】(A)7(B)8(C)10（D）118.設(shè)集合M={y|x—x|,x∈R},N={x||x—|<,i為虛數(shù)單位，x∈R},則M∩N為【】(A)(0,1)(B)(0,1](C)[0,1)(D)[0,1]9.設(shè)···，是變量和的次方個(gè)樣本點(diǎn)，直線是由這些樣本點(diǎn)通過(guò)最小二乘法得到的線性回歸直線（如圖），以下結(jié)論正確的是（）(A)直線過(guò)點(diǎn)（B）和的相關(guān)系數(shù)為直線的斜率（C）和的相關(guān)系數(shù)在0到1之間（D）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，分布在兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)一定相同10.植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時(shí)需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，現(xiàn)將樹坑從1到20依次編號(hào)，為使各位同學(xué)從各自樹坑前來(lái)領(lǐng)取樹苗所走的路程總和最小，樹苗可以放置的兩個(gè)最佳坑位的編號(hào)為（）（A）(1)和（20）（B）(9)和（10）(C)（9）和（11）(D)（10）和（11）填空題。（共5道小題，每小題5分，共25分）11．設(shè)，則______.如圖，點(diǎn)（x,y)在四邊形ABCD內(nèi)部和邊界上運(yùn)動(dòng)，那么2x-y的最小值為________.觀察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此規(guī)律，第五個(gè)等式應(yīng)為__________________.設(shè)n∈,一元二次方程有整數(shù)根的充要條件是n=_____.（考生注意：請(qǐng)?jiān)谙铝腥}中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評(píng)分）A.（不等式選做題）若不等式對(duì)任意恒成立，則a的取值范圍是__________。B.（幾何證明選做題）如圖，且AB=6，AC+4，AD+12，則AE=_______.C.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）直角坐標(biāo)系xoy中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A,B分別在曲線（為參數(shù)）和曲線上，則的最小值為________.解答題：接答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟（本大題共6小題，共75分）（本小題滿分12分）如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD高，沿AD把是BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°。（Ⅰ）證明：平面ＡＤＢ

⊥平面ＢＤＣ；（Ⅱ

）設(shè)BD=1，求三棱錐D—ＡＢＣ的表面積。17.（本小題滿分12分）設(shè)橢圓C:過(guò)點(diǎn)（0，4），離心率為（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求過(guò)點(diǎn)（3，0）且斜率為的直線被C所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)18.（本小題滿分12分）敘述并證明余弦定理。19.（本小題滿分12分）如圖，從點(diǎn)做x軸的垂線交曲線于點(diǎn)曲線在點(diǎn)處的切線與x軸交于點(diǎn)，再?gòu)淖鰔軸的垂線交曲線于點(diǎn)，依次重復(fù)上述過(guò)程得到一系列點(diǎn)：記點(diǎn)的坐標(biāo)為.（Ⅰ）試求與的關(guān)系（

Ⅱ）求20.（本小題滿分13分）如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到火車站的人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：（Ⅰ）試估計(jì)40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率;（Ⅱ

）分別求通過(guò)路徑L1和L2所用時(shí)間落在上表中各時(shí)間段內(nèi)的頻率;（Ⅲ

）現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站，為了盡量大可能在允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑。21.（本小題滿分14分）設(shè)。（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；（Ⅱ）討論與的大小關(guān)系；（Ⅲ）求的取值范圍，使得＜對(duì)任意＞0成立。2011年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試·陜西卷(文科)全解全析一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的（本大題共10小題，每小題5分，共50分）．1．設(shè)，是向量，命題“若，則”的逆命題是（）（A）若，則（B）若，則（C）若，則（D）若，則【分析】首先確定原命題的條件和結(jié)論，然后交換條件和結(jié)論的位置即可得到逆命題?！窘狻窟xD原命題的條件是，作為逆命題的結(jié)論；原命題的結(jié)論是，作為逆命題的條件，即得逆命題“若，則”，故選D．2．設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，則拋物線的方程是（）（A）（B）（C）（D）【分析】由準(zhǔn)線確定拋物線的位置和開口方向是判斷的關(guān)鍵．【解】選C由準(zhǔn)線方程得,且拋物線的開口向右（或焦點(diǎn)在軸的正半軸），所以．3.設(shè)，則下列不等式中正確的是（）（A）（B）（c）(D)【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合作差法，放縮法，基本不等式或特殊值法等進(jìn)行比較．【解】選B（方法一）已知和，比較與，因?yàn)椋?，同理由得；作差法：，所以，綜上可得；故選B．（方法二）取，，則，，所以．4.函數(shù)的圖像是（）【分析】已知函數(shù)解析式和圖像，可以用取點(diǎn)驗(yàn)證的方法判斷．【解】選B取，，則，，選項(xiàng)B，D符合；取，則，選項(xiàng)B符合題意．某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是（）8-2π【分析】根據(jù)已知的三視圖想象出空間幾何體，然后由幾何體的組成和有關(guān)幾何體體積公式進(jìn)行計(jì)算．【解】選A由幾何體的三視圖可知幾何體為一個(gè)組合體，即一個(gè)正方體中間去掉一個(gè)圓錐體，所以它的體積是.6.方程在內(nèi)（）(A)沒有根(B)有且僅有一個(gè)根(C)有且僅有兩個(gè)根（D）有無(wú)窮多個(gè)根【分析】數(shù)形結(jié)合法，構(gòu)造函數(shù)并畫出函數(shù)的圖象，觀察直觀判斷．【解】選C構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)和，在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)畫出它們的圖像，如圖所示，觀察知圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以已知方程有且僅有兩個(gè)根．7.如右框圖，當(dāng)時(shí)，等于（）(A)7(B)8(C)10（D）11【分析】按照程序框圖的邏輯順序進(jìn)行計(jì)算．【解】選B∵∴；又，，顯然不成立，即為“否”，∴有，即，此時(shí)有，解得，符合題意，故選B．8.設(shè)集合，，為虛數(shù)單位，R，則為（）(A)(0,1)(B)(0,1](C)[0,1)(D)[0,1]【分析】確定出集合的元素是關(guān)鍵。本題綜合了三角函數(shù)、復(fù)數(shù)的模，不等式等知識(shí)點(diǎn)?！窘狻窟xC，所以；因?yàn)?，即，所以，又因?yàn)镽，所以，即；所以，故選C.9．設(shè)···，是變量和的個(gè)樣本點(diǎn)，直線是由這些樣本點(diǎn)通過(guò)最小二乘法得到的線性回歸直線（如圖），以下結(jié)論正確的是（）(A)直線過(guò)點(diǎn)（B）和的相關(guān)系數(shù)為直線的斜率（C）和的相關(guān)系數(shù)在0到1之間（D）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，分布在兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)一定相同【分析】根據(jù)最小二乘法的有關(guān)概念：樣本點(diǎn)的中心，相關(guān)系數(shù)線，性回歸方程的意義等進(jìn)行判斷．【解】選A選項(xiàng)具體分析結(jié)論A回歸直線一定過(guò)樣本點(diǎn)中心；由回歸直線方程的計(jì)算公式可知直線必過(guò)點(diǎn)正確B相關(guān)系數(shù)用來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量之間的相關(guān)程度，直線的斜率表示直線的傾斜程度；它們的計(jì)算公式也不相同不正確C相關(guān)系數(shù)的值有正有負(fù)，還可以是0；當(dāng)相關(guān)系數(shù)在0到1之間時(shí)，兩個(gè)變量為正相關(guān)，在到0之間時(shí)，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)不正確D兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)分布與的奇偶性無(wú)關(guān)，也不一定是平均分布不正確10．植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時(shí)需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，現(xiàn)將樹坑從1到20依次編號(hào)，為使各位同學(xué)從各自樹坑前來(lái)領(lǐng)取樹苗所走的路程總和最小，樹苗可以放置的兩個(gè)最佳坑位的編號(hào)為（）（A）①和（B）⑨和⑩(C)⑨和(D)⑩和【分析】根據(jù)選項(xiàng)分別計(jì)算四種情形的路程和；或根據(jù)路程和的變化規(guī)律直接得出結(jié)論．【解】選D（方法一）選項(xiàng)具體分析結(jié)論A①和：比較各個(gè)路程和可知D符合題意B⑨：⑩：=2000C：=2000D⑩和：路程和都是2000（方法二）根據(jù)圖形的對(duì)稱性，樹苗放在兩端的樹坑旁邊，所得路程總和相同，取得一個(gè)最值；所以從兩端的樹坑向中間移動(dòng)時(shí)，所得路程總和的變化相同，最后移到第10個(gè)和第11個(gè)樹坑旁時(shí)，所得的路程總和達(dá)到另一個(gè)最值，所以計(jì)算兩個(gè)路程和進(jìn)行比較即可。樹苗放在第一個(gè)樹坑旁，則有路程總和是；樹苗放在第10個(gè)（或第11個(gè)）樹坑旁邊時(shí)，路程總和是，所以路程總和最小為2000米.填空題：把答案填在答題卡相應(yīng)題號(hào)后的橫線上（本大題共5小題，每小題5分，共25分）11．設(shè)，則______.【分析】由算起，先判斷的范圍，是大于0，還是不大于0,；再判斷作為自變量的值時(shí)的范圍，最后即可計(jì)算出結(jié)果．【解】∵，∴，所以，即．【答案】12．如圖，點(diǎn)在四邊形ABCD內(nèi)部和邊界上運(yùn)動(dòng)，那么的最小值為________.【分析】本題為線性規(guī)劃問(wèn)題，采用數(shù)形結(jié)合法解答，解答本題的關(guān)鍵是確定目標(biāo)函數(shù)過(guò)哪一個(gè)點(diǎn)時(shí)取得最小值．【解】目標(biāo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)取得最大值時(shí)，的值最??；移動(dòng)直線，當(dāng)直線移動(dòng)到過(guò)點(diǎn)A時(shí)，最大，即的值最小，此時(shí)．【答案】113．觀察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此規(guī)律，第五個(gè)等式應(yīng)為__________________.【分析】歸納總結(jié)時(shí)，看等號(hào)左邊是子的變化規(guī)律，右邊結(jié)果的特點(diǎn)，根據(jù)以上規(guī)律寫出第五個(gè)等式，注意行數(shù)、項(xiàng)數(shù)及其變化規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．【解】把已知等式與行數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)，則每一個(gè)等式的左邊的式子的第一個(gè)數(shù)是行數(shù)，加數(shù)的個(gè)數(shù)是；等式右邊都是完全平方數(shù)，行數(shù)等號(hào)左邊的項(xiàng)數(shù)1=1112+3+4=9233+4+5+6+7=25354+5+6+7+8+9+10=4947則第5行等號(hào)的左邊有9項(xiàng)，右邊是9的平方，所以，即．【答案】（或）14．設(shè)，一元二次方程有整數(shù)根的充要條件是．【分析】直接利用求根公式進(jìn)行計(jì)算，然后用完全平方數(shù)、整除等進(jìn)行判斷計(jì)算．【解】，因?yàn)槭钦麛?shù)，即為整數(shù)，所以為整數(shù)，且，又因?yàn)?，取?yàn)證可知符合題意；反之時(shí)，可推出一元二次方程有整數(shù)根．【答案】3或415．（考生注意：請(qǐng)?jiān)谙铝腥}中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評(píng)分）A．（不等式選做題）若不等式對(duì)任意R恒成立，則的取值范圍是．【分析】先確定的取值范圍，則只要不大于的最小值即可．【解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上可得，所以只要，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】B．（幾何證明選做題）如圖，∠B=∠D，，，且AB=6，AC=4，AD=12，則AE=．【分析】尋找兩個(gè)三角形相似的條件，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求解．【解】因?yàn)?，所以∠AEB=，又因?yàn)椤螧=∠D，所以△AEB∽△ACD，所以,所以．【答案】2C．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A，B分別在曲線：（為參數(shù)）和曲線：上，則的最小值為．【分析】利用化歸思想和數(shù)形結(jié)合法，把兩條曲線轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的方程．【解】曲線的方程是，曲線的方程是，兩圓外離，所以的最小值為．【答案】1解答題：接答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟（本大題共6小題，共75分）（本小題滿分12分）如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°。（1）證明：平面ＡＤＢ⊥平面ＢＤＣ；（2

）設(shè)BD=1，求三棱錐D—ＡＢＣ的表面積?！痉治觥浚?）確定圖形在折起前后的不變性質(zhì)，如角的大小不變，線段長(zhǎng)度不變，線線關(guān)系不變，再由面面垂直的判定定理進(jìn)行推理證明；（2）充分利用垂直所得的直角三角形，根據(jù)直角三角形的面積公式計(jì)算．【解】（1）∵折起前ＡＤ是ＢＣ邊上的高，∴

當(dāng)Δ

ＡＢＤ折起后，AD⊥ＤＣ，AD⊥ＤＢ，又DBＤＣ＝Ｄ，∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ，又∵AD平面BDC.∴平面ABD⊥平面BDC．（2）由（1）知，DA,,,DB=DA=DC=1，AB=BC=CA=,∴三棱錐D—ＡＢＣ的表面積是17.（本小題滿分12分）設(shè)橢圓:過(guò)點(diǎn)（0，4），離心率為．（1）求的方程；（2）求過(guò)點(diǎn)（3，0）且斜率為的直線被所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)．【分析】（1）由橢圓過(guò)已知點(diǎn)和橢圓離心率可以列出方程組，解方程組即可，也可以分步求解；（2）直線方程和橢圓方程組成方程組，可以求解，也可以利用根與系數(shù)關(guān)系；然后利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解．【解】（1）將點(diǎn)（0，4）代入的方程得,

∴b=4,又得，即，

∴

∴的方程為（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線方程為，設(shè)直線與Ｃ的交點(diǎn)為Ａ，Ｂ，將直線方程代入Ｃ的方程，得，即，解得，，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，，即所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為．注：用韋達(dá)定理正確求得結(jié)果，同樣給分．18.（本小題滿分12分）敘述并證明余弦定理。【分析】本題是課本公式、定理、性質(zhì)的推導(dǎo)，這是高考考查的常規(guī)方向和考點(diǎn)，引導(dǎo)考生回歸課本，重視基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)和鞏固．【解】敘述：余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩遍平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦之積的兩倍?；颍涸凇鰽BC中，a，b，c為A，B，C的對(duì)邊，有，，.證明：（證法一）如圖，即同理可證，（證法二）已知中，所對(duì)邊分別為，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，則，∴，即同理可證，19.（本小題滿分12分）如圖，從點(diǎn)做x軸的垂線交曲線于點(diǎn)曲線在點(diǎn)處的切線與x軸交于點(diǎn)，再?gòu)淖鰔軸的垂線交曲線于點(diǎn)，依次重復(fù)上述過(guò)程得到一系列點(diǎn)：記點(diǎn)的坐標(biāo)為.（Ⅰ）試求與的關(guān)系（

Ⅱ）求．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求切線方程，然后再求切線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）嘗試求出通項(xiàng)的表達(dá)式，然后再求和．【解】（Ⅰ）設(shè)，由得點(diǎn)處切線方程為由得。（

Ⅱ），得，20.（本小題滿分13分）如圖，A地到火車站共有兩條路徑和，現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到達(dá)火車站的人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：所用時(shí)間（分鐘）10202030304040505060選擇的人數(shù)612181212選擇的人數(shù)0416164（1）試估計(jì)40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率；（2

）分別求通過(guò)路徑和所用時(shí)間落在上表中各時(shí)間段內(nèi)的頻率；（3）現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站，為了盡量大可能在允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑．【分析】（1）讀懂?dāng)?shù)表，確定不能趕到火車站的人數(shù)所在的區(qū)間，用相應(yīng)的頻率作為所求概率的估計(jì)值；（2）根據(jù)頻率的計(jì)算公式計(jì)算；（3）計(jì)算選擇不