函數(shù)模型及其應(yīng)用幾類(lèi)不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型.在教科書(shū)第三章的章頭圖中，有一大群喝水、嬉戲的兔子，但是這群兔子曾使澳大利亞傷透了腦筋．1859年，有人從歐洲帶進(jìn)澳洲幾只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且沒(méi)有兔子的天敵，兔子數(shù)量不斷增加，不到100年，兔子們占領(lǐng)了整個(gè)澳大利亞，數(shù)量達(dá)到75億只．可愛(ài)的兔子變得可惡起來(lái)，75億只兔子吃掉了相當(dāng)于75億只羊所吃的牧草，草原的載畜率大大降低，而牛羊是澳大利亞的主要牲口．這使澳大利亞頭痛不已，他們采用各種方法消滅這些兔子，直至二十世紀(jì)五十年代，科學(xué)家采用載液瘤病毒殺死了百分之九十的野兔，澳大利亞人才算松了一口氣．材料：澳大利亞兔子數(shù)“爆炸”.例1

、假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)在有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：方案一、每天回報(bào)40元；方案二、第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；方案三、第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番。請(qǐng)問(wèn)，你會(huì)選擇哪種投資方案？下面我們先來(lái)看兩個(gè)具體問(wèn)題。.解：設(shè)第x天所得回報(bào)是y元方案一可以用函數(shù)進(jìn)行描述；方案二可以用函數(shù)進(jìn)行描述；方案三可以用函數(shù)進(jìn)行描述.例、1

假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)在有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：方案一、每天回報(bào)40元；方案二、第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；方案三、第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番。請(qǐng)問(wèn)，你會(huì)選擇哪種投資方案？分析：2、如何建立日回報(bào)效益與天數(shù)的函數(shù)模型？1、依據(jù)什么標(biāo)準(zhǔn)來(lái)選取投資方案？日回報(bào)效益，還是累計(jì)回報(bào)效益？.分析：2、如何建立日回報(bào)效益與天數(shù)的函數(shù)模型？1、依據(jù)什么標(biāo)準(zhǔn)來(lái)選取投資方案？日回報(bào)效益，還是累計(jì)回報(bào)效益？解：設(shè)第x天所得回報(bào)是y元方案一可以用函數(shù)進(jìn)行描述；方案二可以用函數(shù)進(jìn)行描述；方案三可以用函數(shù)進(jìn)行描述.3、三個(gè)函數(shù)模型的增減性如何？4、要對(duì)三個(gè)方案作出選擇，就要對(duì)它們的增長(zhǎng)情況進(jìn)行分析，如何分析？..圖-1我們看到，底為2的指數(shù)函數(shù)模型比線(xiàn)性函數(shù)模型增長(zhǎng)速度要快得多。從中你對(duì)“指數(shù)爆炸”的含義有什么新的理解？函數(shù)圖象是分析問(wèn)題的好幫手。為了便于觀(guān)察，我們用虛線(xiàn)連接離散的點(diǎn)。.根據(jù)以上的分析，是否應(yīng)作這樣的選擇：投資5天以下先方案一，投資5~8天先方案二，投資8天以上先方案三？

由表-1和圖-1可知，方案一的函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，方案二、方案三的函數(shù)都是增函數(shù)，但是方案三的函數(shù)與方案二的函數(shù)的增長(zhǎng)情況很不同。可以看到，盡管方案一、方案二在第1天所得回報(bào)分別是方案三的100倍和25倍，但它們的增長(zhǎng)量是成倍增加的，從第7天開(kāi)始，方案三比其他兩個(gè)方案增長(zhǎng)得快得多，這種增長(zhǎng)速度是方案一、方案二所無(wú)法企及的，從每天所得回報(bào)看，在第1~4天，方案一最多，在5~8天，方案二最多；第9天開(kāi)始，方案三比其他兩個(gè)方案所得回報(bào)多得多，到第30天，所得回報(bào)已超過(guò)2億元。.

因此，投資8天以下(不含8天)，應(yīng)選擇第一種投資方案；投資8~10天，應(yīng)選擇第二種投資方案；投資11天(含11天)以上，剛應(yīng)選擇第三種投資方案。.

例2、某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬(wàn)元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷(xiāo)售部門(mén)的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷(xiāo)售利潤(rùn)達(dá)到10萬(wàn)元時(shí)，按銷(xiāo)售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y(單位：萬(wàn)元)隨銷(xiāo)售利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，但資金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)利潤(rùn)的25%,現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？.例2、某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬(wàn)元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷(xiāo)售部門(mén)的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷(xiāo)售利潤(rùn)達(dá)到10萬(wàn)元時(shí)，按銷(xiāo)售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y(單位：萬(wàn)元)隨銷(xiāo)售利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，但資金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)利潤(rùn)的25%,現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？分析：某個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型符合公司要求，就是依據(jù)這個(gè)模型進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元，

由于公司總的利潤(rùn)目標(biāo)為1000萬(wàn)元，所以部門(mén)銷(xiāo)售利潤(rùn)一般不會(huì)超過(guò)公司總的利潤(rùn)。同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的25%，

于是，只需在區(qū)間[10,1000]上，檢驗(yàn)三個(gè)模型是否符合公司要求即可。

不妨先作出函數(shù)圖象，通過(guò)觀(guān)察函數(shù)的圖象，得到初步的結(jié)論再通過(guò)具體計(jì)算，確認(rèn)結(jié)果。(圖略）.解：借助計(jì)算機(jī)作出函數(shù)

的圖象(圖3.2-2)。

觀(guān)察圖象發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間[10,1000]上，模型的圖象都有一部分在直線(xiàn)的上方，只有模型的圖象始終在的下方，這說(shuō)明只有按模型進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)才符合公司的要求，下面通過(guò)計(jì)算確認(rèn)上述判斷。.首選計(jì)算哪個(gè)模型的獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)。對(duì)于模型，對(duì)于模型，對(duì)于模型，它在區(qū)間[10,1000]上遞增，當(dāng)時(shí)，因此該模型不符合要求；，由函數(shù)圖象，并利用計(jì)算器，可知在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足，由于它在區(qū)間[10,1000]上遞增，因此當(dāng)時(shí)，因此該模型也不符合要求；它在區(qū)間[10,1000]上遞增，而且當(dāng)時(shí)，，所以它符合獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元的要求。.

令。利用計(jì)算機(jī)作出函數(shù)的圖象（圖），由圖象可知它是遞減的，因此即所以當(dāng)時(shí)，。說(shuō)明按模型獎(jiǎng)金不會(huì)超過(guò)利潤(rùn)的25%。再計(jì)算按模型獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金是否不超過(guò)利潤(rùn)的25%，即當(dāng)時(shí)，是否有

成立。綜上所述，模型確實(shí)能很符合公司要求。.小結(jié)與反思：通過(guò)實(shí)例和計(jì)算機(jī)作圖體會(huì)、認(rèn)識(shí)直線(xiàn)上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)模型的增長(zhǎng)的含義，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活、與其他學(xué)科的密切聯(lián)系，從而體會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，享受數(shù)學(xué)的應(yīng)用美．.1、四個(gè)變量隨變量變化的數(shù)據(jù)如下表：練習(xí)：1.0051.01511.04611.14071.42952.310751551301058055305337331758.294.47854505313020051130505130