云南省昆明市北大村中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知lga+lgb=0（a＞0，b＞0且a≠1，b≠1），則函數(shù)f（x）=ax與函數(shù)g（x）=﹣logbx的圖象可能是（）A． B． C．

D．參考答案：B【考點】對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【分析】由lga+lgb=0（a＞0，b＞0且a≠1，b≠1），得ab=1，從而得到g（x）=logax，與f（x）=ax互為反函數(shù)，從而得到答案．【解答】解：∵lga+lgb=0（a＞0，b＞0且a≠1，b≠1），∴ab=1，∴b=，∴g（x）=﹣logbx的=﹣=logax，函數(shù)f（x）=ax與函數(shù)g（x）=﹣logbx互為反函數(shù)，∴二者的圖象關(guān)于直線y=x對稱，故選B．2.下列四組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是（

） A. B.C.

D.參考答案：D3.已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，則M∩N=（）A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣2，3）參考答案：B【考點】交集及其運算．【分析】根據(jù)集合的基本運算即可得到結(jié)論．【解答】解：M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，則M∩N={x|﹣1＜x＜1}，故選：B4.函數(shù)的大致圖像是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C5.（5分）已知函數(shù)f（x）=，若關(guān)于x的方程f（x）=t有3個不等根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，則x3﹣x1的取值范圍為（） A． （2，] B． （2，] C． （2，] D． （2，3）參考答案：B考點： 根的存在性及根的個數(shù)判斷．專題： 計算題；作圖題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 作函數(shù)f（x）=與y=t的圖象，從而可得0＜t＜1，x1=﹣t，x3==1+；從而可得x3﹣x1=1++t=﹣（﹣）2+；從而解得．解答： 解：作函數(shù)f（x）=與y=t的圖象如下，結(jié)合圖象可知，0＜t＜1；x1=﹣t，x3==1+，故x3﹣x1=1++t=﹣（﹣）2+；故2＜x3﹣x1≤；故選：B．點評： 本題考查了學(xué)生作圖的能力及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時考查了配方及換元法的應(yīng)用，屬于中檔題．6.下列函數(shù)同時具有“最小正周期是，圖象關(guān)于點（，0）對稱”兩個性質(zhì)的函數(shù)是（

） A． B． C． D．參考答案：B7.已知是三角形的一個內(nèi)角且，則此三角形是（

）A．銳角三角形

B．直角三角形

C．鈍角三角形

D．等腰三角形參考答案：C略8.設(shè)，且，則下列說法正確的是（

）A.B.C.D.參考答案：B9.關(guān)于的二次方程=0沒有實數(shù)根，則向量與的夾角的范圍為

A.

B.

C.

D.參考答案：D10.已知，則不等式的解集為（

）A．(－∞,－3]

B．[－3,+∞)

C.

D．參考答案：C設(shè)，則不等式等價為，作出的圖象，如圖，由圖象可知時，，即時，，若，由得，解得，若，由，得，解得，綜上，即不等式的解集為，故選C.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)奇函數(shù)的定義域為，若當(dāng)?shù)膱D象如右圖,則不等式≤0解集是______________.參考答案：略12.函數(shù)的定義域為．參考答案：[2，+∞）【考點】函數(shù)的定義域及其求法．【分析】直接由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0求解即可．【解答】解：由x﹣2≥0得，x≥2．∴原函數(shù)的定義域為[2，+∞）．故答案為[2，+∞）．13.不等式2x﹣2＜1的解集是．參考答案：{x|x＜2}【考點】指、對數(shù)不等式的解法．【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，把不等式化為x﹣2＜0，求出解集即可．【解答】解：由不等式2x﹣2＜1，得x﹣2＜0，解得x＜2，所以不等式的解集是{x|x＜2}．故答案為：{x|x＜2}．14.已知函數(shù)是（﹣∞，+∞）上的減函數(shù)，那么a的取值范圍為．參考答案：（0，2]【考點】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】由f（x）在R上單調(diào)減，確定2a，以及a﹣3的范圍，再根據(jù)單調(diào)減確定在分段點x=1處兩個值的大小，從而解決問題．【解答】解：依題意有2a＞0且a﹣3＜0，解得0＜a＜3又當(dāng)x≤1時，（a﹣3）x+5≥a+2，當(dāng)x＞1時，因為f（x）在R上單調(diào)遞減，所以a+2≥2a，即a≤2綜上可得，0＜a≤2故答案為：（0，2]【點評】本題考查分段函數(shù)連續(xù)性問題，關(guān)鍵根據(jù)單調(diào)性確定在分段點處兩個值的大小．15.在四面體ABCD中，已知棱AC的長為，其余各棱長都為2，則二面角A﹣BD﹣C的大小為_________．參考答案：16.在等差數(shù)列{an}中，，則

.參考答案：18因為數(shù)列為等差數(shù)列，，而，故答案是18.

17.半徑為4的球O中有一內(nèi)接圓柱．當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時，球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是_________．參考答案：32π三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在中，，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角．動點的斜邊上．（I）求證：平面平面；（II）求與平面所成角的正弦的最大值．參考答案：（I）證明：由題意，，，是二面角的平面角，又二面角是直二面角，，又，平面，又平面．平面平面．

（II）解：由（I）知，平面，是與平面所成的角，且．當(dāng)最小時，最大，這時，，垂足為，，

，與平面所成角的正弦值的最大值為．略19.（8分）已知.(1)求與的夾角；

(2)若,且,求及.參考答案：(1)(2a-3b)·(2a+b)=61,解得a·b=-6

(2)

,（8分）20.2019年春節(jié)期間，由于人們?nèi)挤艧熁ū?，致使一城?zhèn)空氣出現(xiàn)污染，須噴灑一定量的去污劑進(jìn)行處理.據(jù)測算，每噴灑1千克的去污劑，空氣中釋放的濃度y（單位：毫克/立方米）隨著時間x（單位：天）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為，若多次噴灑，則某一時刻空氣中的去污劑濃度為每次投放的去污劑在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和.經(jīng)測試，當(dāng)空氣中去污劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時，它才能起到去污作用.（1）若一次噴灑4千克的去污劑，則去污時間可達(dá)幾天？（2）若第一次噴灑2千克的去污劑，6天后再噴灑千克的去污劑，要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效去污，試求a的最小值.參考答案：（1）7天；(2).【分析】(1)空氣中釋放的濃度為,時，,時，,分別解不等式即可；（2）設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)天，濃度=，由不等式得到最值.【詳解】（1）因為一次噴灑4個單位的去污劑，所以空氣中釋放的濃度為當(dāng)時，，解得，，當(dāng)時，，解得，，綜上得，即一次投放4個單位的去污劑，有效去污時間可達(dá)7天.(2)設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)天，濃度===，即，,當(dāng)時，，滿足題意，所以的最小值為.【點睛】本題考查了實際應(yīng)用問題，涉及到不等式求最值，在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.21.已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象兩相鄰對稱軸之間的距離是，若將y=f（x）的圖象向右平移個單位，所得函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）的解析式及單調(diào)增區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)y的最小值φ（m）．參考答案：【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】分類討論；換元法；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】（1）先求出ω=2，由所得函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，可求得φ的值，從而確定f（x）的解析式；從而求得f（x）的單調(diào)增區(qū)間．（2）利用換元法，將函數(shù)最化為一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行討論即可．【解答】解：（1）由題意函數(shù)f（x）的圖象兩相鄰對稱軸之間的距離是，可得函數(shù)的周期為π，即=π，ω=2，故函數(shù)為f（x）=sin（2x+φ）．將函數(shù)f（x）圖象向右平移個單位，得到函數(shù)g（x）的解析式為g（x）=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x﹣+φ），∵函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．∴﹣+φ=kπ，φ=kπ+，k∈Z．不妨令k=0，則φ取值為．故有f（x）=sin（ωx+φ）=sin（2x+）．∵函數(shù)y=sin（2x+），∴令2kπ﹣≤2x+≤+2kπ

k∈Z，即kπ﹣≤x≤+kπ（k∈Z），即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：[kπ﹣，+kπ]，k∈Z．（2）∵x∈[0，]，∴2x∈[0，π]，0≤sin2x≤1，由（1）得g（x）=sin2x，且，設(shè)t=g（x），則0≤t≤1，則函數(shù)等價為y=3t2+mt+2，0≤t≤1，對稱軸為t=﹣，若0＜﹣＜1，得﹣6＜m＜0，則當(dāng)t=﹣時，y取最小值φ（m）=2﹣，若﹣≤0，得m≥0，則當(dāng)t=0時，y取最小值φ（m）=2，若﹣≥1，得m≤﹣6，則當(dāng)t=1時，y取最小值φ（m）=5+m，即φ（m）=．【點評】本題主要考查三角