第二章

直線(xiàn)和圓的方程2.2

直線(xiàn)的方程2.2.3直線(xiàn)的一般式方程形式方程適用條件點(diǎn)斜式斜截式兩點(diǎn)式截距式

y－y0＝

k

(x－x0)y

＝

k

x

+

b

斜率存在斜率存在斜率存在且不為0斜率存在且不為0不過(guò)原點(diǎn)

同一直線(xiàn)都可以化簡(jiǎn)為：x－y＋7＝0

思考：任意一條直線(xiàn)都可以用一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程表示嗎？直線(xiàn)

l斜率存在斜率不存在y－y0＝k(x－x0)x＝x0x＋0×y－x0＝0都可以用Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)表示kx－y＋(y0－kx0)＝0

追問(wèn)：反之，任意一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程都表示一條直線(xiàn)嗎？Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)

B＝0B≠0

過(guò)點(diǎn)(，0)垂直于x軸任意一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程都表示一條直線(xiàn)k＝,b＝概念講解注意：①

A＞0；

②

A、B、C一般不出現(xiàn)分?jǐn)?shù)；

③左邊：依次為x項(xiàng)、y項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)；右邊：0一般式適用于任意直線(xiàn)方程

直線(xiàn)的一般式方程：

我們把方程

(A、B

不同時(shí)為0)稱(chēng)為直線(xiàn)的一般式方程，簡(jiǎn)稱(chēng)一般式.

例1

已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)

A(6，-4)，斜率為

，求直線(xiàn)的點(diǎn)斜式和

一般式方程.典例剖析解：由題意可得，點(diǎn)斜式方程為

y＋4=(x－6)；

化為一般式得：

4x＋3y－12＝0.練一練已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，2)，斜率為

–2，求直線(xiàn)的點(diǎn)斜式和一般式方程．解：由題意可得，點(diǎn)斜式方程為

y

–2

=–2(x

–1)；

化為一般式得：2x+y

–4=0.練一練求出直線(xiàn)

l

：3x+y–5=0的斜率以及在

y

軸上的截距．解：由題意把直線(xiàn)

l

的一般式方程化為斜截式：y=–3x+5，

故直線(xiàn)

l

的斜率

k=–3，縱截距為

5.

練一練典例剖析例2

求出直線(xiàn)

l：x?2y

+6=0的斜率以及它在

x

軸與

y

軸上的截距，

并畫(huà)出圖形.

OxyABl?22練一練

練一練

已知直線(xiàn)

l

的方程為

．(1)求直線(xiàn)

l

的斜率；(2)求直線(xiàn)

l

與兩條坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積．解：(1)將直線(xiàn)

l

的一般式方程化為斜截式，得到

(2)對(duì)于直線(xiàn)方程

，令

，得

；因此

因此直線(xiàn)

l

的斜率為

．

令

，得

．

已知直線(xiàn)

l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線(xiàn)

l2：A2x＋B2y＋C2＝0.①若l1∥l2

?A1B2－A2B1＝0.②若l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.利用一般式解決直線(xiàn)的平行與垂直問(wèn)題概念講解例3

判斷下列各對(duì)直線(xiàn)是平行還是垂直，并說(shuō)明理由.(1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0(2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0

典例剖析例4.已知直線(xiàn)

l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線(xiàn)

l2：mx＋3y－2＝0平行，

求m的值；

典例剖析已知直線(xiàn)

3x－4y＋4＝0與直線(xiàn)

ax＋8y＋7＝0平行，求實(shí)數(shù)a的值.解：∵直線(xiàn)

3x－4y＋4＝0與直線(xiàn)

ax＋8y＋7＝0平行，∴3×8－(－4)a＝0

，解得a＝－6.練一練已知直線(xiàn)

l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0與直線(xiàn)

l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0垂直，求實(shí)數(shù)

a的值.解：由直線(xiàn)l1⊥l2，得(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1.

故當(dāng)a＝1或a＝-1時(shí)，直線(xiàn)l1⊥l2.練一練概念講解①與直線(xiàn)

Ax

+By+C=0平行的直線(xiàn)方程可設(shè)為：Ax

+By+

m

=0(其中m≠C)；②與直線(xiàn)

Ax

+By+C=0垂直的直線(xiàn)方程可設(shè)為：Bx–Ay

+

m

=0直線(xiàn)系方程：典例剖析例4已知直線(xiàn)

l的方程為

3x＋4y－12＝0，求滿(mǎn)足下列條件的直線(xiàn)方程：（1）過(guò)點(diǎn)

(?1，3)且與

l平行；（2）過(guò)點(diǎn)

(?1，3)且與

l垂直．解：(1)設(shè)所求直線(xiàn)的方程為3x＋4y＋m＝0，把點(diǎn)(?1，3)代入方程

解得：m＝?9，故方程得3x＋4y－9＝0；(2)設(shè)所求直線(xiàn)的方程為4x－3y＋n＝0，把點(diǎn)

(?1，3)代入方程

解得：n＝13，故方程得3x＋4y＋13＝0.練一練

求滿(mǎn)足下列條件的直線(xiàn)的方程：(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)

A(3，2)且與直線(xiàn)

4x

+y?2=0平行；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(3，0)且與直線(xiàn)

2x

+y?5=0垂直．解：(1)由平行可知且過(guò)點(diǎn)A

(3，2)可知直線(xiàn)方程為：4x

+y

?14=0；

(2)由垂直可知且過(guò)點(diǎn)

B

(3，0)可知直線(xiàn)方程為：x

?2y

?3=0.已知點(diǎn)A(2，2)和直線(xiàn)

l：3x+4y-20=0.求：(1)過(guò)點(diǎn)A和直線(xiàn)

l平行的直線(xiàn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)A和直線(xiàn)

l垂直的直線(xiàn)方程.

解：(1)將與直線(xiàn)l平行的直線(xiàn)方程設(shè)為：3x+4y+C1=0，

又過(guò)點(diǎn)A(2，2)，所以3×2+4×2+C1=0，所以C1=-14.

所求直線(xiàn)方程為3x+4y-14=0.(2)將與l垂直的直線(xiàn)方程設(shè)為：4x-3y+C2=0，

又過(guò)點(diǎn)A(2，2)，所以4×2-3×2+C2=0，所以C2=-2，

所以直線(xiàn)方程為4x-3y-2=0.練一練直線(xiàn)方