第四章第3節(jié)

動圓相切（二）01.交點(diǎn)個數(shù)的分析02.相切構(gòu)造最值目錄1、交點(diǎn)個數(shù)的分析圓與線段或圖形交點(diǎn)個數(shù)問題，考慮交點(diǎn)個數(shù)變化的位置，當(dāng)：①圓與線段相切②圓過線段端點(diǎn)時(shí)交點(diǎn)個數(shù)會發(fā)生改變．確定整個運(yùn)動過程中的所有特殊位置是解題關(guān)鍵．1、交點(diǎn)個數(shù)的分析引例1：如圖，在坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，3），以點(diǎn)P（m，0）（m<0）為圓心，4為半徑作圓，若⊙P與線段AB只有1個交點(diǎn)，求m的取值范圍．2、相切構(gòu)造最值（1）角度最值（米勒問題）【問題背景】1471年，德國數(shù)學(xué)家米勒向諾德爾提出這樣一個問題：如圖，點(diǎn)A、B直線l的同一側(cè)，在直線l上取一點(diǎn)P，使得∠APB最大，求P點(diǎn)位置．2、相切構(gòu)造最值【知識鋪墊】圓外角：如圖，像∠APB這樣頂點(diǎn)在圓外，兩邊和圓相交的角叫圓外角．相關(guān)結(jié)論：圓外角等于這個角所夾兩條弧的度數(shù)差（大減小）的一半．換句話說，對同一個圓而言，同弧所對的圓周角>圓外角．2、相切構(gòu)造最值問題結(jié)論當(dāng)點(diǎn)P不與A、B共線時(shí)，作△PAB的外接圓，當(dāng)圓與直線l相切時(shí)，∠APB最大．2、相切構(gòu)造最值特別地，若點(diǎn)A、B與P分別在一個角的兩邊，如下圖，則有OP2=OA·OB．2、相切構(gòu)造最值引例2：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（1，0）、B（5，0）直線l經(jīng)過點(diǎn)C（-1，2），點(diǎn)P是直線l上的動點(diǎn)，若∠APB的最大值為45°，求直線l的解析式．2、相切構(gòu)造最值（2）線段最值引例3：（2011·河池）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC是直角，AB=3，BC=4，P是BC邊上的動點(diǎn)，設(shè)BP=x，若能在AC邊上找到一點(diǎn)Q，使∠BQP=90°，則x的取值范圍是__________．真題演練1．（2017·吳中區(qū)一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，動點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿著AB方向以1個單位長度/秒的速度勻速運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿著對角線BD方向也以1個單位長度/秒的速度勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒（0<t≤5），以P為圓心，PB長為半徑的⊙P與BD、AB的另一個交點(diǎn)分別為E、F，連結(jié)EF、QE．（1）填空：FB=______（用t的代數(shù)式表示）；真題演練（2）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)F相遇？（3）當(dāng)線段QE與⊙P有兩個公共點(diǎn)時(shí)，求t的取值范圍．真題演練2．（2013·連云港）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（8，0）、（0，6）．動點(diǎn)Q從點(diǎn)O、動點(diǎn)P從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，分別沿著OA方向、AB方向均以1個單位長度/秒的速度勻速運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間為t（秒）（0<t≤5）．以P為圓心，PA長為半徑的⊙P與AB、OA的另一個交點(diǎn)分別為C、D，連接CD、QC．（1）求當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合？真題演練（2）設(shè)△QCD的面積為S，試求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；（3）若⊙P與線段QC只有一個交點(diǎn)，請直接寫出t的取值范圍．真題演練

真題演練（2）當(dāng)x=4時(shí)，如圖2，⊙O與AC交于點(diǎn)Q，求∠CAP的度數(shù)，并通過計(jì)算比較弦AP與劣弧PQ長度的大??；（3）當(dāng)⊙O與線段AD只有一個公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出x的取值范圍．真題演練

真題演練（2）以P為圓心、PQ長為半徑作圓，請問：在整個運(yùn)動過程中，t為怎樣的值時(shí)，⊙P與邊BC分別有1個公共點(diǎn)和2個公共點(diǎn)？真題演練5．如圖1，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，點(diǎn)P在邊AD上運(yùn)動，以P為圓心，PA為半徑的圓P與對角線AC交于A、E兩點(diǎn)．（1）如圖2，當(dāng)圓P與邊CD相切于點(diǎn)F時(shí)，求AP的長；真題演練（2）不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)圓P與邊CD相切時(shí)，圓P與平行四邊形ABCD的邊有三個公共點(diǎn)，隨著AP的變化，圓P與平行四邊形ABCD的邊的公共點(diǎn)的個數(shù)也在變化，若公共點(diǎn)的個數(shù)為4，直接寫出相對應(yīng)的AP的值的取值范圍___________．真題演練6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，D是BC上一動點(diǎn)，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于點(diǎn)F，則CF的最大值是_________．真題演練7．（2020·郴州改編）如圖1，在等腰直角△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，以DE為邊作正方形DEFG，連接AG、CE．將正方形DEFG繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°<α<90°）．延長CE交直線AG于點(diǎn)P，在旋轉(zhuǎn)過程中