一、高等數(shù) (一)函數(shù)、極限、連 (二)一元函數(shù)微分 (四)向量代數(shù)和空間解析幾 二、線性代 (一)行列 (三)向 三、概率論與數(shù)理統(tǒng) (二)隨量及其概率分 (三)隨量及其分 (四)隨量的數(shù)字特 經(jīng)常用到的初等數(shù)學公 平面幾 一、高等數(shù)(一)函數(shù)、極限、連考試內(nèi)公式、定理、概函數(shù)：設(shè)有兩個變量xy，變量x的定義域為D，如果對于D中的每一個x值，按照一定的法則，變量y有一yxyf基本初基本初等函數(shù)包括五類函數(shù)1冪函數(shù):yxRyaxa0a1對數(shù)函數(shù):ylogax(a0a1三角函數(shù):ysinxycosxytanx等C和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)函數(shù)的質(zhì)及其形，初函數(shù)，數(shù)關(guān)系建立limf(x)Af(x)f(x) limf(xAf(x0Aa(x其中l(wèi)ima(x3(保號定理及其性質(zhì)，函與右極設(shè)limf(xA又A0(或A0),則一個0當x(x0x0),且xx0時，f(x0(或f(x小的比設(shè)lim（x0lim(x))若lim(xc(c0),則(x)與（x是同階無窮)記為(x)若lim(x)c(c0k0,則(x)是（x)的kksin arcsinx 1cos tan arctanx (1x)n ex limf(xAlimg(xB.lim(f(x)g(x))ABlimf(x)g(x)ABlimf(x)A(B 和且lim(xlim(xA,則limf(x2單調(diào)有界定理：單調(diào)有界的數(shù)列必3sin (2)lim(1x)x a0,naxnaxn1 ax 重要公式：lim n0,nxbxmbxm1 x 4limnn limarctanx limarctan limarccotx limarccotx limex limex limxx (連續(xù)函數(shù)的有界性)設(shè)函數(shù)fx在a,b上連續(xù),則fx在a,b上有界,即常數(shù)M0，對任意的xa,b,恒fxM(最值定理)設(shè)函數(shù)fx在a,b上連續(xù),則在a,bfx至少取得最大值與最小值各一次,即,使得fmaxfx,a,bfminfx,a,b(介值定理)若函數(shù)fx在a,b上連續(xù),是介于fa與fb(Mm)之間的任一實數(shù),則在a,b上至少一個,f.ab(零點定理或根的存在性定理)設(shè)函數(shù)fx在a,b上續(xù),fafb0,則在a,b內(nèi)至少一個,使f0.a(二)一元函數(shù)微分考試內(nèi)對應(yīng)公式、定理、概物理意1導數(shù)定義f'(xlimf(x0xf(x0 f'(x)limf(x)f(x0 xx02f(xx0處的左、右導數(shù)分別定義為：f(x)limf(x0x)f(x0)limf(x)f(x0),(xx x 右導數(shù)：f(x)limf(x0xf(x0)limf(xf(x0 xTh1:f(xx0處可微f(xx0Th2:yf(xx0yf(xx0處Th3:f(x0存在f(x0f(x0設(shè)函數(shù)f(x)在xx0處可導，則f(x)在M(x0y0)切線方程：yy0f'(x0)(xx0法線方程:y-y (xx),f'(x) f'(x 0分的四運算，四則運算法則:設(shè)函數(shù)uu(x)vv(xx(uv)u d(uv)du(uv)uv d(uv)udv(3)(u)vuuv(v0) d(u)vduudv yc（常數(shù) y dyyx(為實數(shù) yx dyxy yaxln dyaxln特 (ex) d(ex)y dy xlna xlna特例ylnx (lnx)1 d(lnx)1dx ysin ycos d(sinx)cos ysin d(cosx)sinytan y sec2 d(tanx)sec2cos2ycot y csc2 d(cotx)csc2sin2ysec ysecxtan d(secx)secxtanycsc ycscxcot d(cscx)cscxcot y d(arcsinx) 1 1 y d(arccosx) 1 1 y d(arctanx) 1 1yarccot y d(arccotx) 1 1y yy yd(shx)d(chx)1反函數(shù)的運算法則:yf(xx的某鄰域內(nèi)單調(diào)連xf(x0xydy 2復(fù)合函數(shù)的運算法則:(xx可導,yf()((x)可導,yf((xx可導,yf((x)3dyx的復(fù)合函數(shù).1y2lnyeyx的復(fù)合函數(shù)yx求導應(yīng)按復(fù)合函數(shù)連鎖法則做公式法.F(xy)0知dyFx(x,y),F(xy F(x, yFy(xy)F(xyxy(ax)(n)axlnna(a(sinkx)(n)knsin(kxn2(coskx)(n)kncos(kxn2(ex)(n)e（4）(xm)(n)m(m- (m-n+1)xm-（5）(lnx)(n)(1)(n1)(n（6）萊布尼茲公式：若u(x,v(xnn(uv)(n)ciu(iv(n-i)，其中u(0)=uv(0)n泰勒公Th1(費馬定理)f(xf(xx0f(xf(x0f(xf(x0f(xx0處可導,則有f(x0Th2(羅爾定理)f(x在閉區(qū)間[ab在(a,b)內(nèi)可導，則在(a,b)內(nèi)一個， f()Th3(拉格朗日中值定理)f(x在[ab上連續(xù)；(2)在(ab內(nèi)可導；則在(ab內(nèi)， f(b)f(a)f(bTh4(柯西中值定理)f(xg(x在[ab上連續(xù)；(2)在(abf(x，g(x)且g(x)0則在(a,b)內(nèi)一個， f(b)f(a)f(g(b) g(法則Ⅰ0型)fxgx0limfx0limgx0;fxgxx0(x處可除外)gx0limfx存在(或). xxgfx fx lim xxgx xxgx法則I0型)fxgx0limfx0limgx0X0,x 時,fxgx可導,gx0;limfx存在(或).xxgfx fx lim xxgx xxgx法則Ⅱ型)fxgxlimfxlimgx fxgxx0導(x處可除外)gx0limfx存在(或). xxglimfxlimfx同理法則II型)仿法則Ixxg xxg 泰勒公式:f(xx0n1階導x0xx0x之間至少一個f(x)f(x)f(x)(xx)1f(x)(xx)2 f(n)(x 0(x x)n R(x) 其 f(n1)( n1稱為f(x)在點x處的Rn(x)(n1)!(xx0 n階泰勒余項.x00nf(x)f(0)f(0)x1f(0)x2 (0)xnR 其 f(n1)()n1，在0與x之間.(1)式稱為麥Rn(x)(n1)!x00 e1x x x (n或1x1x2 1xno(xn 13 n1sinxx x sin( (n 或 1 nx x o(x) n1cosx1 x cos( (n 1 1 x o(x) 1 1 n1 (1)nln(1x)x x x n x1x21x3 (1)n1xo(xn (1x)m1mxm(m1)x2 m(m (mn1) m(m (mn1xn1(1)mn1(n(1x)m1mxm(m1)x2m(m (mn1)xno(xn1Th1f(x在(ab區(qū)間內(nèi)可導，如果對x(a,b)，都f'(x)0（f'(x)0f(x在(ab內(nèi)是單調(diào)增Th2（取極值的必要條件）f(xx0x0f'(x00Th3（取極值的第一充分條件）f(xx0的某一鄰f'(x0)0（f(xx0f'(x0不xx0f'(x由“+”變“-f(x0為極大”變“+(3)f'(xxx0f(x0不是極值Th4(取極值的第二充分條件)f(xx0f''(x0，f'(x0)0f''(x0)0f(x0)為極大值；f''(x0)0f(x0為極小值.注：如果f''(x0＝0，此方法失效.2水平漸近 若limf(x)b，或limf(x)b，則y yf(x的水平漸近線鉛直漸近 若limf(x)或limf(x)則x yf(x的鉛直漸近線斜漸近 若alimf(x),blim[f(x)ax]，x yaxbyf(x3Th1凹凸性的判別定理）If''(x0（f''(x0則f(x)I上是凸的（或凹的）.Th21)x0f''(x0（f''(x不存在xx0f''(x變號，則(x0,f(x0為拐點Th32)f(xx0f''(x)0f'''(x)0，則(x0,f(x01.1.dS1y'22.yf(x在點(xyky(1y'2.對于參數(shù)方程x(t)k,y['(t)'22.1k考試內(nèi)對應(yīng)公式、定理、概kf(x)dxkf （k0為常數(shù)[f1(x)f2(x) fk(x)]dxf1(x)dxf2(x)dx fk求導：[f(x)dx]'f 或微分：df(x)dxf4F'(x)dxF(xC或dF(xF(xC（C是任意常數(shù)xkdx1xk1Ck11dx1C （k1dx2xC1dxlnxC

adx

(a0,a edxecosxdxsinx sinxdxcosx1cos211sin21

dxsec2xdxtanxCdxcsc2xdxcotxC 1dxcscxdxlncscxcotx sin 1dxsecxdxlnsecxtanx secxtanxdxsecxtanxdxlncosx

cscxcotxdxcscxcotxdxlnsinx1a21

1arctanxC

1

arctanxa2 arcsina2aaa

arcsinxC

1

1ln1xa2

1

1x2x2 x2x2重要公 lf(x)dx0[f(x)f f ff f(x)dx0f(x)dxTf22 a2x2dx1a n1n 1 2sinnxdx2cosnxdx n 2 n1n n ,n cosnxcosmxdx2cosnxcosmxdx0,n 0,n1．定積分的基 af(x)dxaf(t)dtaf(u)du af(x)dxbfbadxb a[f(x)g(x)]dxaf(x)dxa則 akf(x)dxkaf(x)dx(k為常數(shù) af(x)dxaf(x)dxcf 比較定理：設(shè)f(x)g(xx[ab],則af(x)dxab推論：1.當f(x0,x[ab]時，af(x)dx 2.|af(x)dx|a|f(x)估值定理：設(shè)mf(xMx[ab其中mMbm(ba)af(x)dxM(b積分中值定理：設(shè)f(x)在[ab]上連續(xù)，則在[ab]上至少一個b使af(x)dx(baf(f()1bf(x)dxbafx且有F'(x)dF(x)d(xf(t)dt)f(x) (推論1設(shè) f(t)dt,則F'(x)f[(x)]( 推論2(x)f(t)dt)xf[(x)]'(xf[(x( (推論3 f(t)g(x)dt)' f (g f(t)dtg(x)f[(x)]xf(x)dt是f(x)在[a,b]上的一個原函a是f(x的原函數(shù)，則bf(x)dxF(x|bF(b 部積分1分部積分法：udvuvvdu選擇u，dv的原則：積分容易者選作dv，求導簡單者選為u換元積分法設(shè)f(u)duF(u則f[(x)]'(x)dxf設(shè)u(x)f(u)duF(uCF[(x2定積f af(x)dxf[(t)]分部積分公uv u(x)v'(x)dxu(x)v(x)|av(x)u 3．定積分不等式證明中常用的不等(1)a2b2 (2)a0,a1a(f(x)g(x)dx)2f2(x)dxg2(x)dx, f），（）1．三角函數(shù)代f(xa2xasina2xatanx2xa有理函數(shù)積AdxAln|xa|Cxa dxA C(n1)(xa)n n1(xa)n1p (x2px p 4q (u2a2[(x)2 4 x dx (a (x2px 2(n1)(x2px (x2px（p24q04廣義積（1）無窮限的廣義積分（無窮積分 f f(x)dx=limaf -f(x)dx=limaf f(x)dxf(x)dx f（2）函數(shù)的廣義積分（瑕積分 f(x)dxlim f(x)dx,(當xb時，f(x 0 f(x)dxlim f 0 ３.af(x)dxlim f(x)dxlimcf f(四)向量代數(shù)和空間解析幾考試內(nèi)對應(yīng)公式、定理、概a的大小.aaxiyjzk{xyz，則ax2y24 設(shè)有矢量a{x1,y1,z1}，b{x2,y2,z2}，則ab{x1x2,y1y2,z1z2}.Ⅱ.數(shù)乘運 數(shù)乘運算矢量a與一數(shù)量之積aa 0,即與aa =0,即為零矢 設(shè)a{x,y,z}， 11aa00,即與aa{x1,y1,1矢量的數(shù)積（點積，內(nèi)積a與bababcosabax1y1z1}b{x2y2z2}，則abx1x2y1y2z1z22矢量的向量積（叉積，外積a與b，若ccabsin(a,b)cacbcab（3）a，b，c成右手系.則稱矢量ca與b的矢量積，記cab.ax1y1z1}b{x2y2z2 jabxy y1z1ix1z1jx1y11 x xx 3abcab的叉積ab，c作點積(abca，b，的混合積，記為(abc)，即(a,bc)abc.ax1,y1z1}b{x2y2z2c{x3y3z3x1y1則(abc)x2y2x3y31ax1y1z1}b{x2y2z2cx3y3（1）abab0x1x2y1y2z1z20（2）a//bab0x1y1z1 0ab不共線不全為零的數(shù)使ab0矢量a與bcos(ab) x1x2y1y2z1 x2y2z2x2y2z abc共面不全為零的數(shù),vabvc0或者(a,bc)21的向量.向量aa0a0a , , x2y2z2 x2y2z2 x2y2z2 3cos ,cos ,cos x2y2 x2y2 x2y2其中,a與各坐標軸正向的夾角4a0coscoscoscos2cos2cos2線的距1AxCzD0y軸平面的點法式方程A(xx0Byy0C(zz0M(x0,y0z0n{AB,Cxx1yy1z三點式方程x2x1y2y1z2x3x1y3y1z3M1(x1y1z1)M2(x2y2z2M3(x3y3z3)截距式方 xyz1，a,b,c分別為平面上坐標軸 (a,0,0),(0,b,0),(0,0,2 ：AxByCxD0平面 平面1與平面2n1{A1 jn2A2B2,C2}sn1n2A1B1A2B2xx0yy0z M(xyz 0s{lmn兩點式方 xx1yy1zx2 y2 z2M1(x1y1z1)M2(x2y2z2xx0參數(shù)式方程yy M(x,y,z)為直線上已 0zz s{lmn1：A1xB1yC1zD10平面2平面//平面A1B1 平面1平面2A1A2B1B2C1C2平面1與平面2的夾角cos A2B2C2A2B2C 直線L:xx0yy0z 平面1A1xB1yC1zD1L// BmCnLAB L與的夾角sin

AlBmA2A2B2C2l2L:xx1yy1z1

:xx2yy2zz2

l1m1n1 L1L2l1l2m1m2n1n2L1L2的夾角l1l2l1l2m1m2l2m2n2l2m2 6M(x0y0z0AxByCzD0A2A2B2Ax0By0Cz07M(x0y0z01L:xx1yy1zz11 x0x1y0y1z0z1M1M0M1P d l2m2準線為fx,y0,母線z軸的柱面方程 fx,y0準線為: ,母線//y軸的柱面方程 x,z0 y,z0fx,y,z準線為: ,母線的方向矢量為l,m,gx,y,z首先,在準線上任取一點x,y,z,則過點x,y,z的母線方程XxYyZz 其中X,YZ為母線上任一點的流動坐標消去方程組fx,y,zgx,y,zX Y Z xyz常用的次曲面程及其x2y2形，空2y1曲線的數(shù)方程一般程，空2y1曲線在標面上投影曲方程xzyx22py,p標準二次方程及其圖x yx2y2z2 a,bc均為正數(shù)x2y2z2 a,bc均為正數(shù) xyz a,bc均為正數(shù)x2y2 2面a,b,p為正數(shù)x2y2 2a,b,p均為正數(shù)x2y2z2 a,bc為正數(shù)z x(五)多元函數(shù)微分考試內(nèi)對應(yīng)公式、定理、概多元函zf(x,y（兩偏導存在可導可微zf'(x,y)xf'(x, 的概念二元函的幾何義，二函數(shù)的限和連的概念有界閉基本原Th1(求偏導與次序無關(guān)定理設(shè)zf(xy)的兩個混合偏導數(shù)fxy),f''(x 在區(qū)域D內(nèi)連續(xù),則有fxyfx Th2(可微與偏導存在的關(guān)系定理)若zf(x,y)在P(x,點處可微,則在該點處zz必存在,且有dzzdxzx 域上多連續(xù)函的性質(zhì)多元函偏導數(shù)全微分全微分在的必條件和分條件若zf(xy)zz在P(xx上的某領(lǐng)域內(nèi)存在,且在P(x,y)則zf(xy)在P(xy)1zzuz設(shè)zf(u,v),u(x,y),v(x,y),則 u v z z u v設(shè)zf(uvu(xv則dzzduzdv稱之為zdxu v設(shè)zf(xuvu(xyv(xzffuf則 u v f f 0 u v1，2，3……表示更簡潔.2隱函數(shù)微分設(shè)F(xy)0,則dyF'x(x F'y(x,F(xyz)0,則zF'x(xyzzF'y(xy F'z(x,y,z) F'z(x,y,設(shè)由方程組F(x,y,z)=0確定的隱函數(shù)yy(xzdydzdydzdx dxF'F'dyF'dz F'dyF'dzF' y z y z G'G'dyG'dz G'dyG'dzG y z y z Th1zf(xy)M0(x0y0)處可微，則f(xy)在點M0(x0,y0)沿任意方向l(coscos)f(x0,y0)f(x0,y0)cosf(x0,y0)cos 在平面上ll(cos,sin)是l的極角，[02此時相應(yīng)的方向?qū)?shù)的計算公式為f(x0y0)f(x0y0cosf(x0y0sin Th2設(shè)三元函數(shù)uf(xyzM0(x0y0z0uf(x,yzM0(x0,y0z0lcoscoscos)f(x0,y0,z0)f(x0,y0,z0)cosf(x0,y0,z0)cos f(x0,y0,z0)coszf(xy)M0f(x0,y0)(f(x0,y0),f(x0,y0))(cos,cos grad(f(x0,y0))lgradf(x0,y0)cosgrad(f(x0,y0gradf(xy)(f(x0y0f(x0y0)) zf(xy)M0的梯度(向量f(x0y0隨llgradf(x0y0)即沿梯度方向時， grad(f(x0,y0gradf(x0y01．曲線的切線及法平面方x曲線yy(t)在(xyz)t 0 z處的切線方程xx0yy0z：x'(t0 y'(t0 z'(t0法平面方程：x'(t0)(xx0y'(t0yy0z'(t0)(zz0)G(x,y,z)（x0切線方程：x yy0 z(F, (F, (F,(y, (z, (x, 法線方程(F,G)（xx)(F,G)(yy)(F,G)(zz)(y, (z, (x, 2．空間曲面在其上某點處的切平面和切平面方程z(xxzyyzz) x y法線方程xx0yy0z： x p切平面方程：F'x(xx0Fyyy0Fz(zz0 法線方程xx0yy0z：F'x F'y F'z簡單應(yīng)1多元函數(shù)的極值設(shè)函數(shù)zf(xy)在P(x0y0的某鄰域內(nèi)有定義若對于該鄰內(nèi)異P(x0y0)點Q(xy)f(xyf(x0y0)(或f(x0y0)1設(shè)zf(xy)在P(x0y0)點的一階偏導數(shù)存在f'(x,y)P(x,y)是zf(x,y)的極值點，則 fy(x0,y0)T2函數(shù)取極值的充分條件設(shè)zf(x,y)在P(x0,y0)點的某鄰域內(nèi)連續(xù)的二階偏導數(shù),且f'x(x0y0)0,f'y(x0y0)[f"(x,y)]2f"2(x,y)f"2(x,y)xy 則P(x0y0)是zf(xy)的一個極值若f2xy0(或f"2xy0),則P(xy) 若f2xy0(或f"2xy0),則P(xy) 2無條件極值求出zf(xy)的駐點（x0y0用Th2判別(x0y0)則f(x0y0)為zf(x,y)的極值。3條件極值（拉格朗日乘數(shù)法解題程序令F(x,y)=f(x,f'x(x,y)'x(x,y)解方程組f'(x,y)'(x,y) 求駐點(x,y (x,y)f(x0y0)即為f(xy)的極值（存在的話由條件(x,y,z)=0,求uf(xyz)的極值。解題程序：f'x(x,y，z)'x(x,y,z)f'(x,y,z)'(x,y,z)解方程組 f'(x,y,z)'(x,y,z) 若（x0,y0z0)為其解f(x0,y0z0)即為f(xyz)的極值（若存在的話由條件xyz)0.2(xyz)0求函數(shù)uf(xyz)的極值以下1）2）(六)多元函數(shù)積分考試內(nèi)對應(yīng)公式、定理、概分的概1nI=f(x,y)d=limf(i,i)i,其中dmaxdid i 幾何意義nnI=F(xyz)dvlimf(i,i,i)vi其中dmaxdid i di為vi的直徑（i12,物理意義三重積分I表示體密度為f(x,yz)的空間形體的質(zhì)性質(zhì)(只敘述二重積分的性質(zhì)，三重積分類似f [f(x,y)g(x,y)]df(x,y)dg(x, nf(xy)df(xy)d其中DiD i1 ,D(5)（比較定理若在D上恒有f(x,y)g(x,y),則f(x,y)dg(x, D則在D上至少一點（，），使f(xy)d=f(,D(8)二重積分的對稱性原如果積分域D關(guān)于x軸對稱，f(x,y)為y的奇偶函數(shù)，則二重積分f(x,y)dD0,f關(guān)于y為奇函數(shù)，即f(xy)f(x2f(xy)d,f關(guān)于y為偶函數(shù)，即f(xy)f(x,則二重積分f(xD0,f關(guān)于x的奇函數(shù)，即f(xy)f(x2f(xy)d,f關(guān)于x為偶函數(shù)，即f(xy)f(xD2為D在右半平面部則二重積分f(xD0,f關(guān)于x,y的奇函數(shù)，即f(xy)f(x2f(xy)d,f關(guān)于x，y為偶函數(shù)，即f(xyf(x4）如果D關(guān)于直線yx對稱，則f(xy)df(x 注：注意到二重積分積分域Df(x,y)要特別注意的是僅當積分域Df(x,y)平面曲線積分與路徑無關(guān)的四個等P(xy),Q(xyD上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則LPdxQdy與路徑無關(guān)QP,(x,y) LPdxQdy0L存在函數(shù)u(x,y),(x,yDdu(x,y)PdxQdy(x,u(x,y)(x,y)PdxDP(x,y),Q(x,yD(QP)dxdyPdxD 或者(Q或者(QP)dxdyPdxD 公式1高斯(Gauss)設(shè)SP(xyz),Q(x,yzR(x,yz)在由連續(xù)的一階偏(PQR)dVPdydzQdzdxRdxdy (PQR)dV（PcosQcosRcos 這里S()，cos,cos,cosS上點(x,yz)處的外法向量的方向余弦.2斯托克斯公式設(shè)為分段光滑的又向閉曲線，S是以為邊界的分塊光滑有向曲面的正向與S的側(cè)(即法向量的指向)符合右手法P(xyz),Q(xyzR(xyzS的一個空間區(qū)(RQ)dydz(PR)dzdx(QP)dxdyPdxS dzdx( PdxQdyRdzS (RQ)cos(PR)cos(QP)cosS PdxQdy1P(xyzdivAPQ 2AP(xyz)iQ(xyzjR(xyz)k，其P,QRrotA分的應(yīng)ijkPQRrotA(七)無窮級rotA考試內(nèi)對應(yīng)公式、定理、概1級數(shù)un的性質(zhì) (1)設(shè)c0的常數(shù)，則un與cun 若unsvn,則(unvns 若unvn均發(fā)散則(unvn)斂散性不定 注：添加或去消有限項不影響一個級數(shù)的斂散性設(shè)級數(shù)un正項級數(shù)un（un0）的判斂比較判斂法：設(shè)0unvn un收斂，則vn收 un發(fā)散，則vn發(fā) 比較法的極限形式：設(shè)un及vn 且limunA(vn n 若0A,且vn收斂，則un 若0A,且vn發(fā)散，則un 兩個常用的 a,|r|等比級數(shù)arn1 | 收斂，p1p級數(shù)np 發(fā)散，p1(3)比值判別法（達朗貝爾準則（適用于通項un中含有n的若干連乘積形式 對于un來 時，n n若limun11時，方法失n 收斂與件收斂1錯級數(shù)(1)n1uu0 萊布尼茲準若交錯級數(shù)(1)n1uu0)滿足條件 );(2)limunSu1其n項余和的絕對值|Rn|斂域級數(shù)的1冪級數(shù)：aaxax2 axn a 收斂半徑，若liman1,則R1n 2．函數(shù)項級數(shù)un(x)收斂域的求lim|un1(x|(x)(或limn|u(x|n|u(x)| 函數(shù)) a() 1 設(shè)axnf(xbxng(x),其收斂半徑分別 ), axnbxn(ab)xnf(xg(x（- (axn)(bxn)(abab abab)xn 0n 1n1 n11 n0 f設(shè)b00,則在x0f(x)aax axn 0 CxC C bbx bxn Ca0Ca1b0a0b1 2nfn axn可逐項微分，且f=(axn)' (axn)'naxn1 axn可逐項積分，且xft）dt=xatn)dt (xatndt)an0 n 3ff(n)(x f"(x 0(xx)nf(x)f'(x)(xx) 0(xx)2 f(n)(x 0(xx 稱為fx）在xx0處的泰勒級數(shù)f(n)(0) f xf(0)f'(0)x 2!x (0)xnTh設(shè)f(x)在xx0f(n)(x 0(xx 收斂于f(x)的充分條件limRn(x其中R(x) f(n1)[x(xx)](xx)n1,0 (n 411uu2 un un,(1,1)1u 11uu2 (1)nun (1)nun,(1,1)1u e1u ,(, n0 n nsinuu (1) (1) (2n1)! (2n1)! n ncosu12!4! (1)(2n)! (1)(2n),(, n nln(1u)u , n n(1u)a1aua(a1)u2 a(a (an1) (a的不同而不同，但在(-1，1)總有意義在[la=1f(x)cosnxdx12f(x)cosnxdx,(n0,1,2,n b1f(x)sinnxdx12f(x)sinnxdx,(n1,2, 稱為f(x)的傅立葉系2f(x)的傅立葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù)1a(acosnxbsin2 0 a (acosnxbsina1lf(x)cosnxdx,(n0,1,2 l b1lf(x)sinnxdx,(n0,1,2 l 2 為系數(shù)的三角級數(shù)a (a xb 20 a (a xb 3f(x)在[-,]只有有限個極值點，則f(x)的傅立葉級數(shù)在[-，f(xx為f(x)的連續(xù)點 0(acosxbsinnxf(x0f(x0x為fx）的第一類間斷點 n 函數(shù)在[0l]f(x)為[0lf(x),0x F(x)f(xlx0f(x~2ancoslx（余弦 數(shù)，其中a2lf(xcosnxdx l f(x)為[0lF(x)f(x0x F(x)除x=0外在區(qū)間[,f(x),lxf(x~bsinnx（正弦級數(shù) b2lf(x)sinnxdx l (八)常微分方考試內(nèi)對應(yīng)公式、定理、概常微分常微分方程含有自變量、未知函數(shù)及未知函數(shù)的某些導f1(x)g1y)dxf2(x)g2y)dygyf(x)0，得f1(x)dxg2ydy f g( f1(x)dxg2(y)dyCf2(x) g1(y)程的基概念，量可分的微分程奇次微齊次方程yfyx解法：令uyyuxyuxdu uxduf(u)du dxdu lnxC f(u)u f(u)u可化為齊次型的方程dyfa1xb1yc1 axbyc 2解法：(1)當c1c20abydyfa1xb1yf 1xgy)屬于 axby y 2 a2 x(2)a1b10a1b1 方程，階線性分方程伯努利程，全分方程dyf(a2xb2y)c1g(axby) axbyc 2axbyu，則duabf(u屬于 (3)．a(chǎn)1b10,c,c不全為 解方程組a1xb1yc1 1 axbyc 求交點(xXyY則原方程dyX)屬于 3y'p(xyy'p(xy0yCepyC(x)epp( p(C q(x)C(x) 原方程通 y[q(x)ep(x)dxdxC]ep(貝努里方程y'p(xyq(xyn，其中n解法：令Zy1n，則方程 1dzp(x)zq(x)1ndz1np(x)z(1n)q(x屬于M(x,y)dxN(x,y)dy0MN.通解為xM(xy)dxyN(xy)dy yp(xyq(xyf (8.1)其中p(xq(x),f(x)均為連f(x0時，稱為二階線性齊次方程，否解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)(以下性質(zhì)可推廣到任意高階的線性方程1y1(xy2(xyp(xyq(xy0(8.2)的兩y(xy(x線性無關(guān)(y1(x)(常數(shù)，則(8.2) y2y(x)C1y1(xC2y22y1(xy2(x為非線性方程(8.1)y1(xy2(x為相應(yīng)齊次方程(8.2)3yx)為非齊次方程(8.1)y(x)(8.2)yxy(x)為(8.1)的解，特別地，y1(x),y2(x為(8.2)兩個線性無關(guān)的特解，則(8.1)的通解為y(xyxCy(xCy(x，其中CC為任意常數(shù)1 2 數(shù)奇次性微分1二階常系數(shù)線性齊次方程y''py'qy (1)其中p,微分方2pq當12為相異的特征根時，方程(1)y(x)CexCe 當y(x)(CC 當i（復(fù)根）y(x)ex(CcosxCsin 2n階常系數(shù)齊次線性方程y(n)pyn1)pyn2) py0(＊)，其 pi(i1 nnp(n1)p(n2) p 若1,2 ,n是個n相異實根，則方程(＊)的通解y(x)CexCex C 若0為特征方程的k(kn)重實根，則(＊)的通解中含有：(CCx Cxk1)ex 若ik(2kn)的通ex[(CCxCxk1)cosx(DDxDxk1)sin 1二階常系數(shù)線性非齊次方程y''py'qyf(x)(2)其中pq(1)．求對應(yīng)齊次方程的通解Y(x)(2)．求出(2)y*(x)(3)．方程(2)yY(xy方程(2)y*x)待定系數(shù)法2形如xny(n)axn1y(n1) axyay0的方程成為 拉方程二、線性代(一)行列考試內(nèi)對應(yīng)公式、定理、概行列式按行（列）設(shè)A(a ,則aAaA aAA,iij i1 i2j in 0,i或aAaA aAA,i1i1 2i2 ni 0,i AA*A*AAE,其 A n1A* A(A)(A n2 A nnAB為n階方陣，則ABABBAABAB不一定成|kA|kn|A|A為nA A A |A||B|，A,B為方陣， (6)范德蒙行列式D (xx 1jin xn1 設(shè)A是n階方陣，i(i1, ,n)是A的n個特征值，n|A|i(二)矩考試內(nèi)對應(yīng)公式、定理、概的乘法 a1n 2n a mnA,或(aij)mn.若mAn階方陣1A(aijB(bijmnm矩陣C(cij)aijbijABAB2A(aijmnkmn矩陣(kaij)kAkA3Aaijmn矩陣，Bbij)nsms矩陣C(cij)ncijai1b1jai2b2j k積，記為C1)(AT)TA,(AB)TBTAT,(kA)TkAT,(AB)TAT2A1)1AAB)1B1A1kA)11A1kAB)1A1B13)(A*)*|A|n2A(n3)，(AB)*B*(kA)*kn1A*(n2).但AB)*A*B*4)(A1)T(AT)1,(A1)*(A*)1,(A*)T(AT)*2A*AA*A*A|A||A*||A|n1(n2),(kA)*kn1A*,(A*)*|A|n2A(nAA*|A|A1A*)*1|An,r(A)AnrA*),rA)n0,r(A)n3A1的結(jié)A可逆ABE|A|0rAA可以表示為初等矩陣的乘積及其運12）r(Amn)min(mn);3）A0r(A)14）r(AB)r(A)rAr(Bnr(AB)min(rAr(B)),ABrAr(B)若A1存在r(AB) 若B1存r(AB)r(rAmnnr(ABrAmsnrABrr(AmsnAx0只有零2分塊求逆公AO O B B1 AC A1CB1OB AO O B1 A B1BO O A，B (三)向考試內(nèi)對應(yīng)公式、定理、概1有關(guān)向量組的線性表1,2, ,s線性相關(guān)至少有一個向量可以用其余向若1,2 ,s線性無關(guān)，1,2 ,s，線性相關(guān)可以由1,2 ,s惟一線性表示可以由1,2 ,s線性表r(1,2 ,s)r(1,2 ,s,2有關(guān)向量組的線性相關(guān)部分相關(guān)，整體相關(guān)；整體無關(guān)，部分無關(guān)n個n n線性無關(guān)|[1，2，，n|n個n維向量1 n線性相|[1,2 ,n]|n+1個n維向量線性相關(guān)③若1 S線性無關(guān)，則添加分量后仍線性無關(guān)1有關(guān)向量組的線性表1,2, ,s線性相關(guān)至少有一個向量可以用其余向若1,2 ,s線性無關(guān)，1,2 ,s，線性相關(guān)可以由1,2 ,s惟一線性表示可以由 ,s線性表 ,s)r(1,2 ,s,1rAmnrArAA的行列向量組的線性rAmnrmA的行向量組線性無關(guān)rAmnrmA的行向量組線性相關(guān)rAmnrnA的列向量組線性無關(guān)rAmnrnAn維向量標變換過渡矩1若1,2, ,n與1,2, ,n是向量空間V的兩組基，則基c11 c1n c(,,,)(,,,) 2n(,,,1 1 n 1 c nn其中C是可逆矩陣，稱為由基1,2 ,n到基1,2 ,2若向量在基1,2 ,n與基1,2 ,n的坐標分別X(xx x)TYyy y)T1 1 x11x22 xnny11y22 ynn變換公式為XCY或YC1X其中C是從基1,2 ,n到基1,2 ,n的過渡矩內(nèi)積：(,)abab abT1 2 nSidt正交若1,2, ,s線性無關(guān)，則可構(gòu)造1,2, ,s使其兩兩正交，且i僅是1,2 ,i的線性組合(i1, ,n)，再把單位化，記i，則, ,是規(guī)范正交向量組.其 1 i11(2,1) (,)1 3,1(3,2) ( ) (, (s,1) (,)1性1(四)線性方程考試內(nèi)對應(yīng)公式、定理、概1 a1nxnaxax ax線性方程組21 22 2n 2，如果系數(shù)行列 annxnDA0xD1xD2 xDnDDj 成方程組右端的常數(shù)列所得的行列式 nA可逆Ax0只有零解bAxb總有唯r(AmnnAx0只有零解非奇次1A為mnrAmn)mAxbrA)rAb)mAxb有解2設(shè)x1,x2 xs為Axb的解，則k1x1k2x2 ksxsk1k2 ks1時仍為Axb的解但當k1k2 ksAx0的解.x1x2Axb的解；2xxx Ax0的解3非齊次線性方程組Axb無解r(A)1r(A)b不能由A的列向量1,2, ,n線性表示.性方程有解的分必要件，線方程組的性質(zhì)解的結(jié)奇次線1Ax0恒有解(必有零解).當有非零解時，由于Ax0空間，解空間的維數(shù)是nr(A)，解空間的一組基稱為齊次21,2 ,tAx0 ,tAx0 ,tAx0的任一解都可以由1,2 ,t線性表出k11k22 ktt是Ax0的通解，其中k1,k2, ,kt是任意方程組基礎(chǔ)解和通解解空間非奇次性方程的通解(五)矩陣的特征值和特征向考試內(nèi)對應(yīng)公式、定理、概1設(shè)AkAaAbE,A2Am,fA),AT,A1,A*kab2m,f(1|A|且對應(yīng)特征向量相同（例外 2若1,2 ,n為A的n個特征值則iaii,i|Ai i i從而|A|0A沒有特征值3設(shè)1,2 ,s為A的s個特征值，對應(yīng)特征向量1,2 ,sk11k22 kssAnkAnkAn kAnknkn k 11 22 ss1AB BT, B1, B i i|EA||EB|對AnA可對角化kiinr(iEAA可對角化，則由P1AP,APP1，從而AnPn3若 B, D，則AO BOOC 若AB，則f f(B),f f(B)，其中f(A)為nA的多項式計算)＝秩(A)1ABnPBP1APA與BAB2AB似對角 ( Bk(k為正整數(shù)(4)EAEB,從而AB(六)二次考試內(nèi)對應(yīng)公式、定理、概二次型1n個變量x1,x2 ,xn的二次齊次函nf(x1,x2 ,xn)aijxiyj其中aijaji(i,j1, ,n)i1jn元二次型，簡稱二次型.x1 a1nx ax2A 2nf x an nn向量形式fxTAx其中A稱為二次型矩陣，因為aijaji(i,j1 n)A的秩稱為二次型的二次型f(x,x ,x)xTAx經(jīng)過合同變換xCy化1 rfxTAxyTCTACydy2iif(rn)的標準形.在一般的數(shù)域內(nèi)，二次型的標準形不是rA的秩唯一確定3任一實二次型f都可經(jīng)過合同變換化為規(guī)范形fz2z2 z2z2 z2r為Ap rp為負慣性指數(shù)，且規(guī)范型唯一1A正定kA(k0)ATA1A*|A|0A可逆aii0，且|Aii|2A，B正定A+BAB，BA3A正定f(xxTAx0xAAAPAPT 存在正交矩陣Q，使QTAQQ1AQ , n其中0,i1, ,n.正定kA(k0),AT,A1,A*正定i|A|0,Aaii0，且|Aii|三、概率論與數(shù)理統(tǒng)(一)隨機事件和概考試內(nèi)對應(yīng)概念、定理、公全事件1(1)ABAB發(fā)生.(2)相等事件：A=BABBA(3)和事件：A A+B，A(4)差事件：A-B，A發(fā)生但B不發(fā)生. AB，A(6)互斥事件（互不相容：A B=.：AB,且AB,記AB或B2交換律：AB A，AB 結(jié)合律：（AB）CA（B（AB）CA（B3德摩根律：AB BA 4完全事件組: n件，即 Aj，i 念，概的基本1概率：事件發(fā)生的可能性大小的度量，其嚴格定義如下：（為定義在事件集合上的滿足下面3個條件的函數(shù)：何型概 ,若AiAj(ij),則P(Ai)i i2P(A)1P(P(AB)P(A)P(P BPAP(BPAB特別BA時PABPAP(BP(BPAP(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P( Ai)(P(Ai 古典型概率:PA事件A幾何型概率:樣本空間為歐氏空間中的一個區(qū)域，1概率的基本公式條件概率（B（A），（） Bii iBayes公式：P(B|A)P(A|Bj)P(Bj),j1, , P(A|Bi)P(Bii 2AB相互獨立PAB)PA，B，CP(AB)P(A)P(B);P(BC)P(B)P(C);P(AC)P(A)P(C);A，B，CP(AB)P( P(BC)P(AC)P( P(ABC)P(3獨立重復(fù)試驗:n次，若每次實驗中事Apn次試驗中Ak次的概率為：P(Xk)Ckpk(1p)nk.4P(A)1P(P(AB)P(A)P(B)P(P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(AB)P(A)P(AB)P(A)P(AB),P(A)P(AB)P(P(AB)P(A)P(AB)P(AB)P(AB)P(P|B滿足概率的所有性質(zhì)，例如：.PA1|B)1PA1|B) A2|B)P(A1|B)P(A2|B)P(A1A2|B)P(A1A2|B)P(A1|B)P(A2|A1B) ,An相互獨立，則 Ai)P(Aii i Ai)(1P(Aii iAB互逆AB互斥，但反之不成立，AB互斥（或互逆）且均非零概率事件AB不獨立. ,Bn相互獨立則f(A1,A2 g(B1B2 Bnf(),g()的事件與任何事件相互獨立(二)隨量及其概率分考試內(nèi)對應(yīng)公式、概念、定隨量及概率分布:取值帶有隨機性的變量，嚴格地說定義F(xP(Xxx性質(zhì)：(1)0F(x) (2)F(x)單調(diào)不(3)右連續(xù)F(x0) (4)F()0,F()離散型密度性離散型隨量的概率分P(Xxi)pi,i1, , pi0,piif(x非負可積，且f(x)f(x)dxxx為f(x)的連續(xù)點，則f(x)F'(x)分布函數(shù)F(x)f隨函數(shù)的10-1PXkpk(1p)1kkB(n,p率分P(Xk)Ckpk(1p)nk,k ,nPoissonp(kP(Xk) e,0,k0,1,k1,axU（a，bN(,2 (x(x) e2,0,xE():f(x)幾何分布G(p):P(Xk)(1p)k1p,0p1,k1, CkCnH(N,M,n):P(Xk)MNM,k ,min(n,M2隨量函數(shù)的概率分離散型P(Xx1pi,Yg(XP(Yyj)P(Xxig(x)連續(xù)型X~fX(x),Yg(xFy(y)P(Yy)P(g(X)y) fx(x)dxg(x)fY(y)F'Y(3X~N(0,1)(0) 1,(0)1 (a)P(Xa)1X~N(,2X~N(0,1)且PXa)a X~E()P(Xst|Xs)P(XX~G(p)P(Xmk|Xm)P(X數(shù)存在既非離散也非連續(xù)型隨量(三)隨量及其分考試內(nèi)對應(yīng)公式、概念、定隨二維隨量及其聯(lián)合分（X，YF(x,y)PXx,Yy) P{Xxi,Yyj}pij;i,j1,2,邊緣分布 pipij,i1,jpjpij,j1,iP{Xx|Yy} jP{Yy|Xx} i二維連1f(xyf(x,y)f(x,y)dxdy 2分布函數(shù)F(xyf(u3 fX(x)f(x, fY(y)f(x,4條件概率密度 (x|y)f(x, (y|x)f(x,X f( f 性量的概密度、緣概率度和條密隨1常見二維隨量的聯(lián)合分1,(x,y)(xy)U(D),f(xy) f(x,y) 11 (x (x)(y (y)2 12 2 22(12 1 的獨立和不相性，常二維隨變量的布2隨量的獨立性和相關(guān)XY的相互獨立F(xy)FX(x)FYypijpipj(離散型）f(xyfX(xfYy)(連續(xù)型XYXY0XY不相關(guān)，XY相關(guān)個以上1兩個隨量簡單函數(shù)的概率分PXxi,Yyi)pijZgX,Y)（Z P(Xxi,Yyjg(x,y)(X,Y) f(x,yZg(X,Y)Fz(z)Pg(X,Y)z f(x,y)dxdy，fz(z)F'zg(x,y)2 fX(x)f(x, fY(y)f(x,P(X,Y)Df(x,D若（X，Y）N(,2,2) ①X~N(,2),Y~N(,2 ②XY相互獨立0XY不相關(guān)③CXCY~N(CC,C22C222CC 1 2 1 2 121④XY=yN(1(y),2(12 2⑤YX=xN(2(x),2(12 1XYN(,2),N(,2 則X,Y~N(,2,2 CXCY~N(CC,C22C22 1 2 1 2XYf(x)和g(x為連續(xù)函數(shù)，則fX)與g(Y)也相互獨立.(四)隨量的數(shù)字特考試內(nèi)對應(yīng)概念、定義、定理、公隨（及其性1PXxipiE(X)xipiiX~f(x),E(X)xfE(C)C,E[E(X)]E(XXYE(XY)E(X)E(YE(XY)2E(X2)E(Y22DX)EXEX)2EX2EX標準差：DX)DX)xEX)2 i 5DXxEX)fD(C)0,D[E(X)]0,D[D(X)]XYDXY)DXD(YD(CXC)C2D(X D(XY)D(X)D(Y)2Cov(X,Y)D(X)D(Y)2D(X)D(X)E(XC)2,CE(XD(X)0PXC隨1隨量函數(shù)的數(shù)學期(1)對于函數(shù)YXP{XxipiE(Y)g(xipiXi型X~f(xE(Y)g(xf字特(2)Zg(X,Y);(X,Y)~P{Xxi,Yyj}pijE(Z)g(xi,yj) (X,Y)~f(x,y);E(Z)g(x,y)f(x,協(xié)方差Cov(X,YE(XE(X)(Y相關(guān)系數(shù) Cov(X,Y ,k階原點矩E(Xk) D(X)D(Yk階中心矩EXEX)]kCov(X,Y)Cov(Y,XCov(aX,bY)abCov(Y,XCov(X1X2,Y)Cov(X1,Y)Cov(X2,Y(X,Y)X,Y)1P(YaXb1其中aX,Y)1P(YaXb)1其中a4（1）D(X)E(X2)E2(XCov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y(X,Y)1X,Y)1P(YaXb1其中aX,Y)1P(Ya