一元二次不等式及其解法(二)［學(xué)習目標］1.會解可化為一元二次不等式(組)的簡單分式不等式.2.能夠從實際生活和生產(chǎn)中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解決.3.掌握與一元二次不等式有關(guān)的恒成立問題的解法.聲知識梳理自主學(xué)習知識點一分式不等式的解法主導(dǎo)思想：化分式不等式為整式不等式類型同解不等式嚕>0(<0)g(x)《/去I：fx)>0(<0)一或《〔g(x)>0/去II：a).g(x)>0(<。)fx)<0(>0)、g(x)<0嚕三0(W0)g(x)《《/去I：fx)N0(W0)或《〔g(x)>0/去II：fx).g(x)N0(W0)、g(x)W0fx)W0(三0)g(x)<0嚕>ag(x)a*1aJ先移項轉(zhuǎn)化為上述兩種形式知識點二簡單的一元高次不等式的解法一元高次不等式f(x)>0常用數(shù)軸穿根法(或稱根軸法、區(qū)間法)求解，其步驟是：⑴將f(x)最高次項的系數(shù)化為正數(shù)；(2)將f(x)分解為若干個一次因式或二次不可分解因式的積；⑶將每一個根標在數(shù)軸上，從右上方依次通過每一點畫曲線(注意重根情況，偶重根穿而不過，奇重根既穿又過)；(4)根據(jù)曲線顯現(xiàn)出的f(x)值的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集.思考(x—1)(x—2)(x—3)2x—4)>0的解集為.

答案{%11V%<2或x>4}解析利用數(shù)軸穿根法知識點三一元二次不等式恒成立問題知識點三一元二次不等式恒成立問題對一元二次不等式恒成立問題，可有以下2種思路:(1)轉(zhuǎn)化為一元二次不等式解集為R的情況，即對一元二次不等式恒成立問題，可有以下2種思路:(1)轉(zhuǎn)化為一元二次不等式解集為R的情況，即ax2+bx+c>0(aW0)恒成立ofa>0,一 fa<0,ax2+bx+c<0(aW0)恒成立。</<0(2)分離參數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題，即：k三f(x)恒成立ok三f(x)max；kWf(x)恒成營題型探究重點突破題型一分式不等式的解法例1解下列不等式：x+4 x+1(1)Z一<0;(2)一；W2.3一x x一2解(1)由x+解(1)由x+43—x<0,得x+4

x—3〉0此不等式等價于(x+4)(x—3)〉0,???原不等式的解集為{xIx<—4或x>3}.x+1(2)方法一移項得 ~—2W0,x—2—x+5 x—5左邊通分并化簡有不W0,即三三0,同解不等式為f同解不等式為f(x—2)(x—5)三0

x—2W0,???原不等式的解集為{xIx<2或x三5}.x5方法二原不等式可化為三三0，此不等式等價于1此不等式等價于1x一5三0,x—2〉0解①得x三5,解②得x<2,???原不等式的解集為{xIx<2或x三5}.跟蹤訓(xùn)練1不等式工不1<2的解集為()A.{xIxW—2} B.RC.0 D.{xIx<—2或x>2}答案A解析,「x2+x+1=Q+J2+4>0，；.原不等式Qx2—2x—2<2x2+2x+2。x2+4x+4>0。(x+2)2>0,???xW—2.??.不等式的解集為{xIxW—2}.題型二解一元高次不等式例2解下列不等式：(1)X4—2X3—3X2<0；(2)1+X—X3—X4>0；(3)(6X2—17X+12)(2X2—5x+2)>0.解(1)原不等式可化為X2(X—3)(X+1)<0,當XW0時，X2>0,由(X—3)(X+1)<0,得一1<X<3；當x=0時，原不等式為0<0,無解.，原不等式的解集為{xI—1<x<3,且xW0}.(2)原不等式可化為(x+1)(x—1)(x2+x+1)<0,而對于任意x￡R,恒有x2+x+1>0,??原不等式等價于(x+1)(x—1)<0,??原不等式的解集為{xI—1<X<1}.(3)原不等式可化為(2x—3)(3x—4)(2x—1)(x—2)>0,進一步化為Q—D(x—gq—2)(X—2)〉0,如圖所示，得原不等式的解集為1上4 3上〕XIX<2或3<X<2或X>2>跟蹤訓(xùn)練2若不等式％2+px+q<0的解集是{x11Vx<2},則不等式曰電>。的解集是X4—5X—6()(1,2)(—8,—i)u(6,+8)C(—1,1)U(2,6)D.(—8,—1)U(1,2)U(6,+8)答案D解析由題意知x2+px+q=(x—1)(x—2),則待解不等式等價于(x—1)(x—2)(x2—5x—6)>0=(x—1)(x—2)(x—6)(x+1)>0=x<—1或1<x<2或x>6.題型三不等式恒成立問題例3對任意的xGR，函數(shù)f(x)=x2+(q—4)x+(5—2a)的值恒大于0,則a的取值范圍為答案一2<a<2解析由題意知，f(x)開口向上，故要使f(x)>0恒成立，只需2<0即可，即(a—4)2—4(5—2a)<0,解得一2<a<2.跟蹤訓(xùn)練3對任意a￡[—1,1],函數(shù)f(x)=x2+(a—4)x+4—2a的值恒大于零，則x的取值范圍是( )A.1<x<3 B.x<1或x>31<x<2 D.x<1或x>2答案B解析f(x)>0,/.x2+(a—4)x+4—2a>0,即(x—2)a+(x2+4—4x)>0,設(shè)g(a)=(x—2)a+(x2—4x+4)fg(1)>0,由題意知，[八即[g(T)>0，x—2+x2—4x+4=x2—3x+2>0,《—x+2+x2+4-4x=x2—5x+6>0,；.x<1或x>3.題型四一元二次不等式在生活中的應(yīng)用例4某人計劃收購某種農(nóng)產(chǎn)品，如果按每噸200元收購某農(nóng)產(chǎn)品，并按每100元納稅10元(又稱征稅率為10個百分點)，計劃可收購4萬噸，政府為了鼓勵個體多收購這種農(nóng)產(chǎn)品，決定將征稅率降低％(%W0)個百分點，預(yù)測收購量可增加2%個百分點.⑴寫出稅收y(萬元)與％的函數(shù)關(guān)系式；(2)要使此項稅收在征稅率調(diào)節(jié)后，不少于原計劃稅收的83.2%,試確定％的取值范圍.解(1)降低后的征稅率為(10—%)%,農(nóng)產(chǎn)品的收購量為a(1+2%%)萬噸，收購總金額為200a(1+2%%).依題意得，y=200a(1+2%%)(10—%)%=50a(100+2%)(10—%)(0<%<10).(2)原計劃稅收為200a-10%=20a(萬元).依題意得，50a(100+2%)(10—%)三20aX83.2%,化簡得%2+40%—84W0,??一42W%W2.又?.?0<%<10,??0<%W2.??%的取值范圍是{%10<%W2}.跟蹤訓(xùn)練4在一個限速40km/h以內(nèi)的彎道上，甲，乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對，同時剎車，但還是相碰了.事發(fā)后現(xiàn)場測得甲車的剎車距離略超過12m,乙車的剎車距離略超過10m.又知甲、乙兩種車型的剎車距離Sm與車速xkm/h之間分別有如下關(guān)系：S田甲=0.1%+0.01%2,S=0.05%+0.005%2.乙問超速行駛誰應(yīng)負主要責任.解由題意列出不等式S=0.1%+0.01%2>12,甲S=0.05%+0.005%2>10.乙分別求解，得%<—40或%>30.%<—50或%>40.由于%>0,從而得%甲>30km/h,x乙>4。km/h.經(jīng)比較知乙車超過限速，應(yīng)負主要責任.

匕當堂檢測自查自糾1.若集合A={%I-K2%+1W3},B={%I W0},則AnB等于( )%A.A.{%—1W%<0}C.{%I0W%<2}2.若集合A={%Ia%2—a%+1<0}={aI0<a<4}C.{aI0<aW4}{%I0<%W1}D.{%I0W%W1}則實數(shù)a的值的集合是()B.{aI0Wa<4}D.{aI0WaW4}3.不等式(3.不等式(%+1)(%+2)2(%+3)

%+4>0的解集為.設(shè)%2—2%+a—8W0對于任意%￡(1,3)恒成立，求a的取值范圍..某文具店購進一批新型臺燈，若按每盞臺燈15元的價格銷售，每天能賣出30盞；若售價每提高1元，日銷售量將減少2盞.為了使這批臺燈每天能獲得400元以上的銷售收入，應(yīng)怎樣制定這批臺燈的銷售價格？

廣課時精練一、選擇題1+%1.不等式產(chǎn)三0的解集為（）1—1.A.{%|-1<%W1}B.C.{%1一1W%W1}D.{%A.{%|-1<%W1}B.C.{%1一1W%W1}D.{%|—1<%<1}不等式(%—2)2(%—3)%+1<0的解集為（A.{%I—1<%<2或2<%<3}B.{%I1<%<3}C.{%I2<%<3}D.{%I—1<%<2}不等式組%—1>a2,%—4<2a有解則實數(shù)a的取值范圍是（）A.(—1,3)B.(—8,—1)U(3,+8)C.(—3,1)D.(—8,—3)U(1,+8)4.A.B4.A.B.—1C.—3D.3若關(guān)于%的不等式%2—4%—m三0對任意%￡（0,11恒成立，則m的最大值為（）5.A.—1<5.A.—1<a<1B.0<a<2C.1 3—2<a<23 1D.—2<a<2在R上定義運算。：A。B=A（1—B），若不等式（%—a）0（%+a）<1對任意的實數(shù)%GR恒成立.則實數(shù)a的取值范圍為（）6.A.8,—1)6.A.8,—1)B.(—1,0)C.(0,1)D.(1,+8)下列選項中，使不等式%<；<%2成立的%的取值范圍是（%a%+b.若關(guān)于%的不等式a%—b>0的解集為（1,+8）,則關(guān)于%的不等式a%+>0的解集為（）%—2A.(—8,—A.(—8,—2)U(1,+8)B.(1,2)C.(—8,—1)U(2,+8)D.(—1,2)二、填空題%22%3.不等式丁1w。的解集為.當%￡（1,2）時，不等式%2+m%+4<0恒成立，則m的取值范圍是%a.若關(guān)于%的不等式--T>0的解集為（一8,—1）U（4,+8）,則實數(shù)a=%+1三、解答題4x+m11.關(guān)于x的不等式耳不+3<2對任意實數(shù)x恒成立,求實數(shù)m的取值范圍?(a(a+1)x—3⑵已知關(guān)于x的不等式七千<1.⑴當a=1時，解該不等式;(2)當a>0時，解該不等式.13.某工廠生產(chǎn)商品M,若每件定價80元，則每年可銷售80萬件，稅務(wù)部門對市場銷售的商品要征收附加稅.為了既增加國家收入，又有利于市場活躍，必須合理確定征收的稅率.據(jù)市場調(diào)查，若政府對商品M征收的稅率為P%(即每百元征收P元)時，每年的銷售量減少10P萬件，據(jù)此，問：⑴若稅務(wù)部門對商品M每年所收稅金不少于96萬元，求P的范圍；(2)在所收稅金不少于96萬元的前提下，要讓廠家獲得最大的銷售金額，應(yīng)如何確定P值；⑶若僅考慮每年稅收金額最高，又應(yīng)如何確定P值.當堂檢測答案

.答案B解析?/A={%l-K%W1},B={%10V%W2},???AnB={%l0<%W1}..答案D解析a=0時符合題意.a>0時，相應(yīng)二次方程中的§a2-4a?0,得{al0<aW4},綜上，得{aI0WaW4},故選D..答案{%I—4<%<—3或%>—1}解析原式可轉(zhuǎn)化為(%+1)(%+2)2(%+3)(%+4)>0,根據(jù)數(shù)軸穿根法，解集為一4<%<-3或%>-1..解原不等式%2—2%+a—8W0轉(zhuǎn)化為aW—%2+2%+8對任意%￡(1,3)，怛成立，設(shè)f(%尸一%2+2%+8,易知f(%)在[1,3]上的最小值為f(3)=5.???aW5.5.解設(shè)每盞臺燈售價%元，則%三15,并且日銷售收入為%[30-2(x-15)],由題意知，當%三15時，有%[30-2(x-15)]>400,解得：15W%<20.所以為了使這批臺燈每天獲得400元以上的銷售收入，應(yīng)當制定這批臺燈的銷售價格為%￡[15,20).課時精練答案一、選擇題.答案B解析原不等式解析原不等式。1%+1)(%-1戶0%TW0,A-K%<1..答案A解析原不等式解析原不等式。(%+1)(%-3)<0%-2W0,???一1<%<3且%W2..答案A解析由題意得，a2+1<%<4+2a./.只須4+2a>a2+1即a2-2a-3<0,.\-1<a<3..答案C

解析%2—4%—m在％￡[0,1時，最小值為1—4—m,:、0—3—m三0,/.mW—3..答案C解析,.,(%—a)0(%+a)=(%—a)(1—%—a),.,.不等式(%—a)0(%+a)<1,即(%—a)(1—%—a)<1對任意實數(shù)%恒成立，即%2—%—a2+a+1>0對任意實數(shù)%恒成立，所以A=1—4(—a2+a+1)<0,13解得一2<a<2，故選C..答案A解析方法一取%=—2,知符合%<;<%2,即一2是此不等式的解集中的一個元素，所以%可排除選項B、C、D.方法二由題知，不等式等價于(1一%)(；—%2)<0,即(%2一12%3T)<0,%% %(%—1)2(%+1)(%2+%+1)從而 一2 <0,解得%<—1,選A.%2.答案C解析%=1為a%—b=0的根，；.a—b=0,即a=b,?「a%—b>0的解集為(1,+8),???a>0,,,a%+ba(%+1)故-r=-^-?>0，%—2 %—2轉(zhuǎn)化為(%+1)(%—2)>0.；.%>2或%<—1.二、填空題.答案{%I%W—1或3W%<5}解析原不等式化為解析原不等式化為1%—5)(%—3)(%+1)W0%—5W0,由數(shù)軸穿根法得%W—1或3W%<5..答案(一8,—5]解析設(shè)f(%)=%2+m%+4,要使%￡(1,2)時，不等式%2+m%+4<0恒成立.則有四戶0,則有四戶0,《[f：2戶0,f1+m+4W0,即14+2m+4W0,解得mW—5..答案4解析,「(%—a)(%+1)>0與X~7~^>0同解，x十1???(x—a)(x+1)>0的解集為(一8,—i)u(4,+8),/.4,—1是(x—a)(x+1)=0的根，??a=4.三、解答題