思想04運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法解題【命題規(guī)律】高考命題中，以知識(shí)為載體，以能力立意、思想方法為靈魂，以核心素養(yǎng)為統(tǒng)領(lǐng)，兼顧試題的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值．高考試題一是著眼于知識(shí)點(diǎn)新穎巧妙的組合，二是著眼于對(duì)數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力的考查．如果說數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)的內(nèi)容，可用文字和符號(hào)來記錄和描述，那么數(shù)學(xué)思想方法則是數(shù)學(xué)的意識(shí)，重在領(lǐng)會(huì)、運(yùn)用，屬于思維的范疇，用于對(duì)數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識(shí)、處理和解決．高考中常用到的數(shù)學(xué)思想主要有分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等．【核心考點(diǎn)目錄】核心考點(diǎn)一：運(yùn)用“熟悉化原則”轉(zhuǎn)化化歸問題核心考點(diǎn)二：運(yùn)用“簡單化原則”轉(zhuǎn)化化歸問題核心考點(diǎn)三：運(yùn)用“直觀化原則”轉(zhuǎn)化化歸問題核心考點(diǎn)四：運(yùn)用“正難則反原則”轉(zhuǎn)化化歸問題【真題回歸】1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，，則的周長是________________．【答案】13【解析】∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設(shè)左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為，直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，判別式，∴，∴，得，∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對(duì)稱性，，∴的周長等于的周長，利用橢圓的定義得到周長為.故答案為：13.2．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)復(fù)數(shù)，滿足，，則=__________.【答案】【解析】方法一：設(shè)，，，，又，所以，，.故答案為：.方法二：如圖所示，設(shè)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,,由已知,∴平行四邊形為菱形，且都是正三角形，∴，∴.3．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為和．假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為_________；甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為_________．【答案】

【解析】甲、乙兩球落入盒子的概率分別為，且兩球是否落入盒子互不影響，所以甲、乙都落入盒子的概率為，甲、乙兩球都不落入盒子的概率為，所以甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為.故答案為：；.4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，四面體中，，E為AC的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面ACD；(2)設(shè)，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求三棱錐的體積．【解析】（1）由于，是的中點(diǎn)，所以.由于，所以，所以，故，由于，平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.（2）[方法一]：判別幾何關(guān)系依題意，，三角形是等邊三角形，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.，所以，由于，平面，所以平面.由于，所以，由于，所以，所以，所以，由于，所以當(dāng)最短時(shí)，三角形的面積最小過作，垂足為，在中，，解得，所以，所以過作，垂足為，則，所以平面，且，所以，所以.[方法二]：等體積轉(zhuǎn)換，，是邊長為2的等邊三角形，連接【方法技巧與總結(jié)】將問題進(jìn)行化歸與轉(zhuǎn)化時(shí)，一般應(yīng)遵循以下幾種原則：1、熟悉化原則：許多數(shù)學(xué)問題的解決過程就是將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，以利于我們運(yùn)用已有知識(shí)、方法以及解題經(jīng)驗(yàn)來解決．在具體的解題過程中，通常借助構(gòu)造、換元、引入?yún)?shù)、建系等方法將條件與問題聯(lián)系起來，使原問題轉(zhuǎn)化為可利用熟悉的背景知識(shí)和模型求解的問題．2、簡單化原則：根據(jù)問題的特點(diǎn)轉(zhuǎn)化命題，使原問題轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)、易于解決的新問題．借助特殊化、等價(jià)轉(zhuǎn)化、不等轉(zhuǎn)化等方法常常能獲得直接、清晰、簡潔的解法，從而實(shí)現(xiàn)通過對(duì)簡單問題的解答，達(dá)到解決復(fù)雜問題的目的．3、直觀化原則：將較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題，數(shù)學(xué)問題的特點(diǎn)之一便是它具有抽象性，有些抽象的問題，直接分析解決難度較大，需要借助數(shù)形結(jié)合法、圖象法等手段把它轉(zhuǎn)化為具體的、更為直觀的問題來解決．4、正難則反原則：問題直接求解困難時(shí)，可考慮運(yùn)用反證法或補(bǔ)集法或用逆否命題間接地解決問題．一般地，在含有“至多”、“至少”及否定詞的問題中，若出現(xiàn)多種成立的情形，則不成立的情形相對(duì)很少，此時(shí)從反面考慮較簡單．【核心考點(diǎn)】核心考點(diǎn)一：運(yùn)用“熟悉化原則”轉(zhuǎn)化化歸問題【典型例題】例1．（2023春·云南昆明·高三昆明市第三中學(xué)階段練習(xí)）如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，且BD=1，E為AC的中點(diǎn)，AE=，cosB=，∠ADB=．(1)求AD的長；(2)求△ADE的面積．【解析】（1）在△ABD中，∵，，∴，∴，由正弦定理，知．（2）由（1）知AD=2，依題意得AC=2AE=3，在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD?CDcos∠ADC，即，∴DC2-2DC-5=0，解得（負(fù)值舍去）．∴，從而．例2．（2023·吉林·高三校聯(lián)考競賽）已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E?F分別是AC?BC的中點(diǎn)，，則球O的表面積為____________.【答案】【解析】由于P-ABC為正三棱錐，故，從而△EPF為等邊三角形，且邊長EF=1.由此可知側(cè)面PAC的高PE=1，故棱長.還原成棱長為的正方體可知，P-ABC的外接球的直徑長恰為正方體的體對(duì)角線長，從而表面積為.故答案為：．例3．（2023春·山東濰坊·高三?？茧A段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為____________．【答案】．【解析】，，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以最小值是．故答案為：．例4．（2023春·江蘇南京·高三南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=60°，AB=3，BC=6，且，若M，N是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為___________【答案】【解析】，則，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以的最小值為.故答案為：例5．（2023春·廣西桂林·高三?？茧A段練習(xí)）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球的球面上，，是邊長為2的正三角形，分別是，的中點(diǎn)，，則球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，，分別為，中點(diǎn)，，且，為邊長為2的等邊三角形，，又，，，在中，由余弦定理，作于，，為中點(diǎn)，又，，解得，，又，，，兩兩垂直，即三棱錐是以，，為棱的正方體的一部分；所以球的直徑，解得，則球的體積，故選：D.核心考點(diǎn)二：運(yùn)用“簡單化原則”轉(zhuǎn)化化歸問題【典型例題】例6．（2023春·陜西渭南·高三渭南市瑞泉中學(xué)校考階段練習(xí)）平面四邊形ABCD中，，AB=2，則AD長度的取值范圍________.【答案】【解析】如圖所示，延長，交于E，平行移動(dòng)CD，當(dāng)C與D重合于E點(diǎn)時(shí)，最長，在中，，，AB=2，由正弦定理可得，即，解得；平行移動(dòng)CD，到圖中AF位置，即當(dāng)A與D重合時(shí)，最短，為0.綜上可得，AD長度的取值范圍為故答案為：.例7．（2023春·北京·高三北京市第一六一中學(xué)?？迹┤忮F中，分別為的中點(diǎn)，記三棱錐的體積為，的體積為，則____________【答案】【解析】由已知設(shè)點(diǎn)到平面距離為，則點(diǎn)到平面距離為，所以，例8．（2023秋·山東聊城·高三山東聊城一中?？茧A段練習(xí)）已知∠ACB=90°，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC=4，點(diǎn)P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么點(diǎn)P到平面ABC的距離為___________.【答案】【解析】設(shè)在平面內(nèi)的射影為，則平面，由于平面，所以，過作，垂足分別為，由于，所以四邊形是矩形.由于平面，所以平面，平面，所以；同理可證得.所以，，，即到平面的距離是.故答案為：例9．（2023春·湖南衡陽·高三?？迹┰O(shè)，，為正數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，則，，，，在平面直角坐標(biāo)系中畫出，，的圖象及直線，結(jié)合圖象知．方法二

令，則，易得，，，又當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，∴，∴，即．故選：D.核心考點(diǎn)三：運(yùn)用“直觀化原則”轉(zhuǎn)化化歸問題【典型例題】例10．（2023春·北京·高三?？迹┮阎瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的圖象如圖所示，那么滿足不等式的的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由此畫出函數(shù)在上的圖象，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出的圖象，因?yàn)?，，所以，又，，所以的圖象與的圖象交于和兩點(diǎn)，如圖，所以結(jié)合圖像可知，的解集為.故選：C.例11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知、、是平面向量，是單位向量．若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是A． B． C．2 D．【答案】A【解析】設(shè)，則由得，由得因此，的最小值為圓心到直線的距離減去半徑1，為選A.例12．（2023秋·福建莆田·高三莆田二中?？迹┰O(shè)函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)，使得，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，，顯然直線恒過點(diǎn)，則“存在唯一的整數(shù)，使得”等價(jià)于“存在唯一的整數(shù)使得點(diǎn)在直線下方”，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上遞減，在上遞增，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而，即當(dāng)時(shí)，不存在整數(shù)使得點(diǎn)在直線下方，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作函數(shù)圖象的切線，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為：，而切線過點(diǎn)，即有，整理得：，而，解得，因，又存在唯一整數(shù)使得點(diǎn)在直線下方，則此整數(shù)必為2，即存在唯一整數(shù)2使得點(diǎn)在直線下方，因此有，解得，所以的取值范圍是.故選：D核心考點(diǎn)四：運(yùn)用“正難則反原則”轉(zhuǎn)化化歸問題【典型例題】例13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知矩形,,,將沿矩形的對(duì)角線所在的直線進(jìn)行翻折,在翻折的過程中A．存在某個(gè)位置,使得直線和直線垂直B．存在某個(gè)位置,使得直線和直線垂直C．存在某個(gè)位置,使得直線和直線垂直D．無論翻折到什么位置,以上三組直線均不垂直【答案】A【解析】如圖所示：作于，于翻折前，易知存在一個(gè)狀態(tài)使，滿足，，平面，平面，故正確錯(cuò)誤；若和垂直，平面，平面，不成立，故錯(cuò)誤；若和垂直，故平面，平面，，因?yàn)?，故不成立，故錯(cuò)誤；故選：例14．（2023春·湖南·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，則的最大值為__________．【答案】【解析】∵圓C的方程為x2+y2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y2=1，即圓C是以（4，0）為圓心，1為半徑的圓；又直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，∴只需圓C′：（x-4）2+y2=4與直線y=kx-2有公共點(diǎn)即可．設(shè)圓心C（4，0）到直線y=kx-2的距離為d，即3k2≤4k，∴0≤k≤，故可知參數(shù)k的最大值為.例15．（2023秋·陜西寶雞·高三陜西省寶雞市長嶺中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，用K，，三類不同的元件連接成一個(gè)系統(tǒng).當(dāng)K正常工作且，至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作.已知K，，正常工作的概率依次為0.8，0.7，0.7，則系統(tǒng)正常工作的概率為___________.【答案】【解析】因?yàn)?，同時(shí)不能正常工作的概率為，所以，至少有一個(gè)正常工作的概率為，所以系統(tǒng)正常工作的概率為，故答案為：例16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，用A、B、C三類不同的元件連接成兩個(gè)系統(tǒng)，．當(dāng)元件A、B、C都正常工作時(shí)，系統(tǒng)N1正常工作；當(dāng)元件A正常工作且元件B、C至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)N2正常工作．已知元件A、B、C正常工作的概率依次為0.80、0.90、0.90．則系統(tǒng)N1正常工作的概率為___________，系統(tǒng)正常工作的概率為___________．【答案】

0.648

0.792【解析】分別記元件A、B、C正常工作為事件A、B、C，由已知條件，，．因?yàn)槭录嗀、B、C是相互獨(dú)立的，系統(tǒng)N1正常工作的概率為．系統(tǒng)正常工作的概率．故答案為：0.648；0.792.【新題速遞】一、單選題1．（2023春·江蘇鹽城·高三鹽城中學(xué)校考）已知滿足，若存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)k的最小值為（

）A．-4 B．-1 C．1 D．4【答案】A【解析】構(gòu)造函數(shù)，為奇函數(shù)，且在上單調(diào)增，由已知可知，，即，所以，存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，又，.故選：A.2．（2023春·陜西榆林·高三綏德中學(xué)校考）已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓的左頂點(diǎn)，點(diǎn)在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題知，所以直線的方程為，因?yàn)?，所以直線的傾斜角為，所以直線的方程為．聯(lián)立，解得，．因?yàn)闉榈妊切危?，所以，即，整理得：．所以橢圓的離心率為．故選：D.3．（2023春·安徽淮北·高三淮北一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則等于（

）A．0 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】依題意，故令，所以，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以，故，所以.故選：C.4．（2023春·廣東廣州·高三?？迹┮阎獢?shù)列是公比不等于的等比數(shù)列，若數(shù)列，，的前2023項(xiàng)的和分別為，，9，則實(shí)數(shù)的值（

）A．只有1個(gè) B．只有2個(gè) C．無法確定有幾個(gè) D．不存在【答案】A【解析】設(shè)的公比為，由，可得：為等比數(shù)列，公比為，為等比數(shù)列，公比為，則①，②，③，①×②得：④，由③④得：，解得：，故實(shí)數(shù)的值只有1個(gè).故選：A5．（2023春·山西太原·高三統(tǒng)考）下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）①已知點(diǎn)，則外接圓的方程為；②已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為；③已知點(diǎn)在圓上，，且點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】對(duì)于①，線段的中垂線的直線方程為，線段的中垂線的直線方程為，故圓心為，半徑為，即圓的方程為，故①正確；對(duì)于②，設(shè)，由，則，整理可得，故②正確；對(duì)于③，設(shè)，，則，，由，則，即，在上，，整理可得，故③正確.故選：D.6．（2023春·廣西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)，，P是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的最小值為（

）A． B． C． D．3【答案】A【解析】如圖，設(shè)橢圓的長半軸為，雙曲線的實(shí)半軸長為，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義：，所以，設(shè)，因?yàn)?，則在中，由余弦定理得：，化簡得：，即，從而有，整理得，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）故選：A.7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在某次數(shù)學(xué)考試中，學(xué)生成績服從正態(tài)分布.若在內(nèi)的概率是，則從參加這次考試的學(xué)生中任意選取3名學(xué)生，恰有2名學(xué)生的成績不低于85的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)閷W(xué)生成績服從正態(tài)分布，且，所以，，，所以從參加這次考試的學(xué)生中任意選取1名學(xué)生，其成績不低于85的概率是，則從參加這次考試的學(xué)生中任意選取3名學(xué)生，恰有2名學(xué)生的成績不低于85的概率是.故選：A.二、多選題8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知M為圓C：上的動(dòng)點(diǎn)，P為直線l：上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線l與圓C相切 B．直線l與圓C相離C．|PM|的最大值為 D．|PM|的最小值為【答案】BD【解析】圓C：得圓心,半徑∵圓心到直線l：得距離∴直線l與圓C相離A不正確，B正確；C不正確，D正確；故選：BD．9．（2023春·江蘇鹽城·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)，圖像一個(gè)最高點(diǎn)是，距離點(diǎn)A最近的對(duì)稱中心坐標(biāo)為，則下列說法正確的有(

)A．的值是6B．時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增C．時(shí)函數(shù)圖像的一條對(duì)稱軸D．的圖像向左平移個(gè)單位后得到圖像，若是偶函數(shù)，則的最小值是【答案】AD【解析】由題意可知，，，即，其中為的最小正周期，又因?yàn)?，所以，故A正確；當(dāng)時(shí)，，由，可得，此時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，由，則無解，綜上所述，，從而是一個(gè)偶函數(shù)，故在上不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；又因?yàn)?，所以不是函?shù)圖像的一條對(duì)稱軸，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D:由題意可得，，若是偶函數(shù)，則，，即，，又因?yàn)?，所以的最小值是，此時(shí)，故D正確.故選：AD.10．（2023秋·遼寧朝陽·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)，若過點(diǎn)（其中是整數(shù)）可作曲線的三條切線，則的所有可能取值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】ABCD【解析】由題知，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，將，代入得；令，則，或時(shí)，；時(shí)，，的極大值為，極小值為，由題意知，又為整數(shù)，.故選：ABCD.11．（2023秋·遼寧朝陽·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是橢圓C上一點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A． B．橢圓C的離心率為C．存在點(diǎn)A使得 D．面積的最大值為12【答案】AD【解析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得，，，且，；對(duì)于A：由橢圓的定義，知，即選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：橢圓C的離心率，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C:設(shè)，則，若，則，則，即，聯(lián)立，得（舍）即該方程組無解，即不存在點(diǎn)A使得，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)點(diǎn)A為上、下頂點(diǎn)時(shí)，的面積取得最大值，即，即選項(xiàng)D正確.故選：AD.12．（2023春·江蘇南通·高三校聯(lián)考）已知定義在R上函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且滿足以下條件：①；②，，當(dāng)時(shí)，都有；③，下列選項(xiàng)成立的是（

）A． B．若，則C．若， D．，使得【答案】ACD【解析】由①，，得為偶函數(shù)，②，，當(dāng)時(shí)，都有，得在上單調(diào)遞減，，故A正確；即或，解得或，故B錯(cuò)誤；由，