報(bào)班地址：天明路校區(qū)——鄭州市農(nóng)業(yè)路與天明路怡豐新都匯8號(hào)樓1單元425室；電話：0371—6038526263582627558196211551619042518039226897高等數(shù)學(xué)第14頁（共15頁）報(bào)班地址：龍子湖校區(qū)——鄭東新區(qū)龍子湖北路與博學(xué)路交叉口向南200米學(xué)府廣場B座13樓電話：0371—5581962015638117707150361028972007年河南省普通高等學(xué)校選拔優(yōu)秀專科生進(jìn)入本科階段學(xué)習(xí)考試高等數(shù)學(xué)答案及解析一.單項(xiàng)選擇題（每題2分，共計(jì)50分）1.答案：D【解析】：子集個(gè)數(shù).2.答案：B【解析】：.3.答案：A【解析】：根據(jù)常用等價(jià)關(guān)系知，只有與比較不是等價(jià)的.應(yīng)選A.4.答案：C【解析】：；.5.答案：C【解析】：.6.答案：B【解析】：單調(diào)增加；凸的.應(yīng)選B.7.答案：A【解析】：，應(yīng)選A.8.答案：C【解析】：.9.答案：B【解析】：.10.答案：B【解析】：根據(jù)不定積分與原函數(shù)的關(guān)系知，.應(yīng)選B.11.答案：A【解析】：.12.答案：D【解析】：.13.答案：C【解析】：由積分和積分的收斂性知，收斂，應(yīng)選C.14.答案：C【解析】：分析結(jié)果，就能知道選擇C.15.答案：B【解析】：.16.答案：C【解析】：經(jīng)過軸的平面可設(shè)為，把點(diǎn)代入得應(yīng)選C.也可以把點(diǎn)代入所給的方程驗(yàn)證，且不含.17.答案：A【解析】：把中換成得，應(yīng)選A.18.答案：B【解析】：.19.答案：C【解析】：.20.答案：A【解析】：令，應(yīng)選A.答案：C【解析】：：從0變到1，.答案：C【解析】：對(duì)級(jí)數(shù)、需要利用積分判別法，超出大綱范圍.級(jí)數(shù)有結(jié)論：當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散.級(jí)數(shù)、與級(jí)數(shù)利用比較判別法的極限形式來確定發(fā)散的，應(yīng)選C.答案：D【解析】：令，級(jí)數(shù)化為收斂區(qū)間為，即.答案：B【解析】：不是特征方程的特征根，特解應(yīng)設(shè)為.應(yīng)選B.答案：A【解析】：有.二、填空題（每題2分，共30分）答案：【解析】：.答案：0【解析】：構(gòu)造級(jí)數(shù)，利用比值判別法知它是收斂的，根據(jù)收斂級(jí)數(shù)的必要條件.答案：【解析】：.答案：【解析】：.答案：【解析】：.答案：1【解析】：.32.答案：【解析】：；.33.答案：【解析】：.34.答案：【解析】：.35.答案：【解析】.36.答案：【解析】：.37.答案：【解析】：.38.答案：【解析】：，所以次序交換后為.39.答案：【解析】：，而，所以.40.答案：【解析】：有二重特征根1，故通解為（為任意常數(shù)）.三、判斷題（每小題2分，共10分）你認(rèn)為正確的在題后括號(hào)內(nèi)劃“√”，反之劃“×”.41.答案：×【解析】：如數(shù)列單調(diào)，但發(fā)散，應(yīng)為×.42.答案：×【解析】：如在滿足上述條件，但存在，使得，應(yīng)為×.答案：×.【解析】：第二步不滿足或，是錯(cuò)誤的，事實(shí)上.應(yīng)為×.44.答案：√.【解析】：因，由定積分保序性知，，應(yīng)為√.45.答案：√.【解析】：在點(diǎn)處可微可得在點(diǎn)處連續(xù)，反之不成立，應(yīng)為應(yīng)為√.四、計(jì)算題（每小題5分，共40分）46．求.【解析】：.47.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).【解析】：兩邊取自然對(duì)數(shù)得，（1分）兩邊對(duì)求導(dǎo)得：，（3分）即，（4分）故.（5分）48.求不定積分.【解析】：（1分）（3分）--（4分）.（5分）49.計(jì)算定積分.【解析】：因，所以（2分）（4分）

.（5分）50.設(shè)，且為可微函數(shù)，求.【解析】：令，有，利用微分的不變性得（3分）（4分）（5分）51．計(jì)算，其中為圓環(huán)區(qū)域：.【解析】：積分區(qū)域如圖07-1所示：的邊界、用極坐標(biāo)表示分別為，；故積分區(qū)域在極坐標(biāo)系系下為圖07-1，（2分）圖07-1故（3分）（4分）.（5分）52．將展開為的冪級(jí)數(shù)，并寫出收斂區(qū)間.【解析】：因；（2分）.所以；.--（3分）故--（4分）.--（5分）53．求微分方程的通解.【解析】：方程可化為，這是一階線性非齊次微分方程，（1分）它對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為，（2分）設(shè)原方程有通解，代入方程得，即，--（3分）所以，（4分）故所求方程的通解為.（5分）五、應(yīng)用題（每題7分，共計(jì)14分）54.某工廠欲建造一個(gè)無蓋的長方題污水處理池，設(shè)計(jì)該池容積為V立方米，底面造價(jià)每平方米元，側(cè)面造價(jià)每平方米元,問長、寬、高各為多少米時(shí)，才能使污水處理池的造價(jià)最低？【解析】：設(shè)長方體的長、寬分別為，則高為，又設(shè)造價(jià)為，（1分）由題意可得；（3分）而在定義域內(nèi)都有意義.令得唯一駐點(diǎn)，（5分）由題可知造價(jià)一定在內(nèi)部存在最小值，故就是使造價(jià)最小的取值，此時(shí)高為.所以，排污無蓋的長方體的長、寬、高分別為、、時(shí)，工程造價(jià)最低.（7分）圖07-255.設(shè)平面圖形D由曲線,直線及y軸所圍成.求：圖07-2（1）平面圖形D的面積;(2)平面圖形D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積.【解析】：平面圖形D如圖07-2所示：（1分）取為積分變量，且（1）平面圖形D的面積為（3分）.（4分）（2）平面圖形D繞軸旋轉(zhuǎn)一周所生成旋轉(zhuǎn)體的體積為.（7分）或.六、證明題（6分）56.若在上連續(xù)，則存在兩個(gè)常數(shù)與，對(duì)于滿足的任意兩點(diǎn)，證明恒有.【證明