報(bào)班地址：天明路校區(qū)——鄭州市農(nóng)業(yè)路與天明路怡豐新都匯8號樓1單元425室；電話：0371—6038526263582627558196211551619042518039226897高等數(shù)學(xué)第8頁（共8頁）報(bào)班地址：龍子湖校區(qū)——鄭東新區(qū)龍子湖北路與博學(xué)路交叉口向南200米學(xué)府廣場B座13樓電話：0371—558196201563811770715036102897高等數(shù)學(xué)第7頁（共8頁）2013年河南省普通高等學(xué)校選拔優(yōu)秀?？飘厴I(yè)生進(jìn)入本科階段學(xué)習(xí)考試高等數(shù)學(xué)答案及解析一、選擇題（每小題2分，共60分）1．答案：C【解析】：易知，需滿足，即，故應(yīng)選C.2．答案：D【解析】：因?yàn)?，則，，故應(yīng)選D.3．答案：B【解析】：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則也為奇函數(shù)，應(yīng)選B.4．答案：B【解析】：因?yàn)?，故是的可去間斷點(diǎn)，應(yīng)選B.5．答案：A【解析】：當(dāng)時(shí)，，則與是等價(jià)無窮小量，應(yīng)選A.6．答案：C【解析】：因，應(yīng)選C.7．答案：B【解析】：因?yàn)榍€，則，故對應(yīng)點(diǎn)處的法線斜率為，應(yīng)選B.8．答案：D【解析】：因?yàn)?，則，應(yīng)選D.9．答案：A【解析】：設(shè)函數(shù)具有任意階導(dǎo)數(shù)，且，則；；答案：A【解析】：方程兩邊對求導(dǎo)，其中看作的函數(shù)，，所以，應(yīng)選A.答案：B【解析】：因?yàn)?，則在上單調(diào)增加，應(yīng)選B.12．答案：A【解析】：點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)，則，故，應(yīng)選A.13.答案：A【解析】：因?yàn)?，則；；故是曲線的垂直漸近線，應(yīng)選A.14.答案：B【解析】：因?yàn)?，則，故應(yīng)選B.15.答案：D【解析】：根據(jù)不定積分的相關(guān)性質(zhì)，易知，正確，應(yīng)選D.16．答案：D【解析】：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，故，應(yīng)選D.17．答案：A【解析】：方程兩邊對求導(dǎo)，得，則，故，應(yīng)選A.18．答案：C【解析】：由P無窮廣義積分的結(jié)論可知，應(yīng)選C.19．答案：B【解析】：微分方程的階數(shù)是指微分方程中最高導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，應(yīng)選B.20．答案：B【解析】：對方程分離變量，得，兩邊積分，得,代入，，故方程的特解是，應(yīng)選B.21．答案：C【解析】：向量的方向角需滿足，應(yīng)選C.答案：B【解析】：直線的方向向量與平面法向量平行，故與垂直相交，應(yīng)選B.23．答案：D【解析】：缺少變量的二次曲面方程為柱面，應(yīng)選D.24．答案：C【解析】：，應(yīng)選C.25．答案：B【解析】：因?yàn)?，則26．答案：A【解析】：因?yàn)闉閄型積分，則交換積分次序后，Y型積分的積分區(qū)域?yàn)椋?，故可以化為，?yīng)選A.27.答案：C【解析】：積分，應(yīng)選C.28.答案：D【解析】：參數(shù)方程，則，應(yīng)選D.29.答案：C【解析】：因?yàn)?，則收斂半徑，收斂區(qū)間為，應(yīng)選C.30．答案：A【解析】：A為交錯(cuò)級數(shù)，且單調(diào)遞減，，故收斂；B、C中，且發(fā)散，故B、C均發(fā)散；D中，故D發(fā)散；應(yīng)選A.二、填空題（每小題2分，共20分）31．答案：既不充分也不必要【解析】：函數(shù)在點(diǎn)有定義與極限存在沒有關(guān)系，故為既不充分也不必要條件.32．答案：【解析】：因?yàn)?，?33．答案：【解析】：因?yàn)楹瘮?shù)為連續(xù)函數(shù)，則，得，故.34．答案：【解析】：因?yàn)?，則，故．35．答案：【解析】：36．答案：【解析】：，則．37．答案：【解析】：由一階線性微分方程的通解公式得，.38．答案：-5【解析】：令，則，將代入方程，則，故.39．答案：【解析】：令，故點(diǎn)處的切平面法向量，故切平面方程為，即.40．答案：【解析】：.三、計(jì)算題（每小題5分，共50分）41．．【解析】：原式=.已知函數(shù)由方程所確定，求.【解析】：方程兩邊同時(shí)對求導(dǎo)，可知，，即，故.43.求不定積分．【解析】：.設(shè)，求.【解析】：.求微分方程的通解．【解析】：原方程對應(yīng)的齊次方程為，則特征方程為，特征根為，故原方程對應(yīng)的齊次方程的通解為.又知不是特征根，則原方程的特解可設(shè)為，代入原方程可得，即,故原方程的通解為.設(shè)，求全微分．【解析】：方法一：由題意可知，所以.方法二：對等式兩邊同時(shí)求微分，可知.一平面過點(diǎn)且平行于向量和，求此平面方程.【解析】：由題意可知，所求平面平行于向量和，則所求平面的法向量，即，又知平面過點(diǎn)，由平面的點(diǎn)法式方程可知，平面方程為，即.計(jì)算，其中是由所圍成的閉區(qū)域.【解析】：由題意可知，如圖所示，該區(qū)域?yàn)閅型區(qū)域，則.計(jì)算積分，其中為曲線上從點(diǎn)到點(diǎn)一段弧.【解析】：由題意可知，，則，即，說明該曲線積分與積分路徑無關(guān)，選取直線路徑，故.求冪級數(shù)的收斂域．【解析】：該冪級數(shù)的為非標(biāo)準(zhǔn)不缺項(xiàng)的類型，令，則原冪級數(shù)可變形為，因?yàn)椋瑒t冪級數(shù)的收斂半徑為，故冪級數(shù)的收斂區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，級數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，級數(shù)收斂發(fā)散；則冪級數(shù)的收斂域?yàn)?，故原冪級?shù)的收斂域?yàn)?四、應(yīng)用題（每小題6分，共12分）51．某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租,當(dāng)月租金定為2000元時(shí),公寓會全部租出去,當(dāng)月租金每增加100元時(shí),就會多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花費(fèi)200元的維修費(fèi)，試問租金定為多少可獲得最大收入?最大收入是多少?【解析】：設(shè)租金定位元時(shí)，收入為，則，即，令，得唯一的駐點(diǎn)，又知，則為的極小值點(diǎn)，結(jié)合實(shí)際情況，也就是對應(yīng)的最大值，所以當(dāng)租金定位3600元時(shí)，有最大收入，最大收入為115600元.曲線，直線以及軸圍成一平面圖形,試求平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.【解析】：由題意可知，如圖所示，該區(qū)域?yàn)閄型區(qū)域，則體積=.五、證明題（8分）53．設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，且，證明：方程在區(qū)間（0,1）內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根.【證明】：