山東省淄博市臨淄區(qū)第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)

（）

A．高考資源網(wǎng)

B．

C．或D．或參考答案：C略2.四面體PABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，PA=8，BC=4，PB=PC=AB=AC，且平面PBC⊥平面ABC，則球O的表面積為（）A．64π B．65π C．66π D．128π參考答案：B【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】求出△ABC外接圓的半徑，利用勾股定理求出球的半徑，即可求出球O的表面積．【解答】解：由于PB=PC，取BC的中點(diǎn)為O'，則PO'⊥BC，由于平面ABC⊥平面PBC，即有PO'⊥平面ABC，∵PA=8，BC=4，PB=PC=AB=AC，∴PB=6，PO'=4，△ABC中，AB=AC=6，BC=4，∴sin∠ABC==，∴2r=，設(shè)球的半徑為R，球心到平面ABC的距離為h，則（）2+h2=（4﹣h）2+（4﹣）2=R2，解得R=．球O的表面積為4πR2=65π，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查面面垂直的性質(zhì)定理和球的截面的性質(zhì)的運(yùn)用，熟記這些定理是解題的關(guān)鍵．3.古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù)。比如：他們研究過(guò)圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似的，稱圖2中的1，4，9，16，…這樣的數(shù)為正方形數(shù)。下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是A.289

B.1024

C.1225

D.1378參考答案：C4.設(shè)是展開(kāi)式的中間項(xiàng)，若在區(qū)間上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：D略5.曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值為

(

)Ａ.２Ｂ.－２

Ｃ.Ｄ.參考答案：A略6.若展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和為，則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是第（

）項(xiàng)（A）7

（B）6

（C）5

（D）2參考答案：A略7.隨機(jī)寫(xiě)出兩個(gè)小于1的正數(shù)與，它們與數(shù)1一起形成一個(gè)三元數(shù)組.這樣的三元數(shù)組正好是一個(gè)鈍角三角形的三邊的概率是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D8.已知實(shí)數(shù)a、b、c、d成等比數(shù)列，且函數(shù)y＝ln（x＋2）－x當(dāng)x＝b時(shí)取到極大值c，則ad等于

A．－1

B．0

C．1

D．2參考答案：A9.在△ABC中，，則A的取值范圍是（▲）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C10.四棱錐P-ABCD的底面為正方形ABCD，PA⊥底面ABCD，，若該四棱錐的所有頂點(diǎn)都在體積為的同一球面上，則PA的長(zhǎng)為（）A.3 B.2 C.1 D.參考答案：C【分析】連接AC、BD交于點(diǎn)E，取PC的中點(diǎn)O，連接OE,可得O為球心，由該四棱錐的所有頂點(diǎn)都在體積為的同一球面上，可得PA的值.【詳解】解：連接AC、BD交于點(diǎn)E，取PC的中點(diǎn)O，連接OE，可得OE∥PA,OE⊥底面ABCD，可得O到四棱錐的所有頂點(diǎn)的距離相等，即O為球心，設(shè)球半徑為R，可得，可得，解得PA=1,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何體外接球的相關(guān)知識(shí)及球的體積公式，得出球心的位置是解題的關(guān)鍵.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，，則

.參考答案：4512.函數(shù)的定義域是

．參考答案：略13.角的終邊過(guò)P,則角的最小正值是

．參考答案：試題分析：由任意角的三角函數(shù)定義，，所以，時(shí)，角的最小正值是．考點(diǎn)：1．任意角的三角函數(shù)；2．三角函數(shù)誘導(dǎo)公式．14.若的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為43，則

．參考答案：21根據(jù)題意可得的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，當(dāng)r＝0時(shí)，的常數(shù)項(xiàng)為1，的常數(shù)項(xiàng)為3，而，令，解得r＝2，所以當(dāng)r＝2時(shí)，的常數(shù)項(xiàng)為，綜上，的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為＝43，整理得，解得n＝5，或n＝－4（舍去），則．15.在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為1：2，則這它們面積的比為1：4，類似的，在空間中，若兩個(gè)正四面體（各棱長(zhǎng)均相等的四面體）的棱長(zhǎng)的比為1：2，則他們的體積的比為_(kāi)_______________參考答案：1:816.若對(duì)任意，，（、）有唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，稱為關(guān)于、的二元函數(shù).現(xiàn)定義滿足下列性質(zhì)的二元函數(shù)為關(guān)于實(shí)數(shù)、的廣義“距離”:（1）非負(fù)性:，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；（2）對(duì)稱性:；（3）三角形不等式:對(duì)任意的實(shí)數(shù)z均成立.今給出四個(gè)二元函數(shù):①；②③；④.則能夠成為關(guān)于的、的廣義“距離”的函數(shù)的所有序號(hào)是

.參考答案：①17.已知復(fù)數(shù)z=a（1+i）﹣2為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a=．參考答案：2【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】利用純虛數(shù)的定義即可得出．【解答】解：復(fù)數(shù)z=a（1+i）﹣2=a﹣2+ai為純虛數(shù)，∴a﹣2=0，a≠0，則實(shí)數(shù)a=2故答案為：2．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知A，B兩點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)滿足．（1）若線段，求直線AB的方程；（2）設(shè)拋物線C過(guò)A，B兩點(diǎn)的切線交于點(diǎn)N．求證：點(diǎn)N在一條定直線上．參考答案：（1）；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)，根據(jù)韋達(dá)定理表示出，根據(jù)弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可.（2）先表示出過(guò)點(diǎn)的切線和過(guò)點(diǎn)的切線，然后兩直線聯(lián)立可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)在定直線上．【詳解】（1）設(shè)，與聯(lián)立得，，，，又，即，解得：（舍），所以直線的方程（2）證明：過(guò)點(diǎn)的切線：，①，過(guò)點(diǎn)的切線：，②，聯(lián)立①②得點(diǎn)，所以點(diǎn)在定直線上．【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的應(yīng)用．涉及了拋物線的性質(zhì)，向量的計(jì)算，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題19.某中學(xué)從高中三個(gè)年級(jí)選派4名教師和20名學(xué)生去當(dāng)文明交通宣傳志愿者，20名學(xué)生的名額分配為高一12人，高二6人，高三2人．（Ⅰ）若從20名學(xué)生中選出3人做為組長(zhǎng)，求他們中恰好有1人是高一年級(jí)學(xué)生的概率；（Ⅱ）若將4名教師隨機(jī)安排到三個(gè)年級(jí)（假設(shè)每名教師加入各年級(jí)是等可能的，且各位教師的選擇是相互獨(dú)立的），記安排到高一年級(jí)的教師人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：20.改革開(kāi)放40年，我國(guó)經(jīng)濟(jì)取得飛速發(fā)展，城市汽車保有量在不斷增加，人們的交通安全意識(shí)也需要不斷加強(qiáng).為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識(shí)，某小組利用假期進(jìn)行一次全市駕駛員交通安全意識(shí)調(diào)查.隨機(jī)抽取男女駕駛員各50人，進(jìn)行問(wèn)卷測(cè)評(píng)，所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如圖所示在80分以上為交通安全意識(shí)強(qiáng).（1）求a的值，并估計(jì)該城市駕駛員交通安全意識(shí)強(qiáng)的概率；（2）已知交通安全意識(shí)強(qiáng)的樣本中男女比例為4:1，完成下列2×2列聯(lián)表，并判斷有多大把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān)；

安全意識(shí)強(qiáng)安全意識(shí)不強(qiáng)合計(jì)男性

女性

合計(jì)

（3）用分層抽樣的方式從得分在50分以下的樣本中抽取6人，再?gòu)?人中隨機(jī)選取2人對(duì)未來(lái)一年內(nèi)的交通違章情況進(jìn)行跟蹤調(diào)查，求至少有1人得分低于40分的概率.附：其中

參考答案：（1），概率為；（2）列聯(lián)表詳見(jiàn)解析，有的把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān)；（3）.【分析】（1）根據(jù)頻率和為1列方程求得的值，計(jì)算得分在分以上的頻率即可；（2）根據(jù)題意填寫(xiě)列聯(lián)表，計(jì)算的值，對(duì)照臨界值得出結(jié)論；（3）用分層抽樣法求得抽取各分?jǐn)?shù)段人數(shù)，用列舉法求出基本事件數(shù)，計(jì)算所求的概率值.【詳解】解：（1）

解得.

所以，該城市駕駛員交通安全意識(shí)強(qiáng)的概率

（2）根據(jù)題意可知，安全意識(shí)強(qiáng)的人數(shù)有，其中男性為人，女性為4人，填寫(xiě)列聯(lián)表如下：

安全意識(shí)強(qiáng)安全意識(shí)不強(qiáng)合計(jì)男性女性合計(jì)

所以有把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān).

（3）由題意可知分?jǐn)?shù)在，的分別為名和名，所以分層抽取的人數(shù)分別為名和名，

設(shè)的為，，的為，，，，則基本事件空間為，，，，，，，，，，，，，，共種，

設(shè)至少有人得分低于分的事件為，則事件包含的基本事件有，，，，，，，，共9種所以.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)應(yīng)用問(wèn)題，也考查了列舉法求古典概型的概率問(wèn)題，屬于中檔題.21.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，曲線C2的極坐標(biāo)方程為：.（Ⅰ）將曲線C1的方程化為普通方程；將曲線C2的方程化為直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若點(diǎn)，曲線C1與曲線C2的交點(diǎn)為A，B，求的值.參考答案：（Ⅰ），即：；

，即：

（Ⅱ）方法一：的參數(shù)方程為代入得∴，∴.方法二：把代入得所以所以.

方法三：把代入得所以，

所以

22.（12分）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)是減函數(shù)，且．設(shè)，是曲線在點(diǎn)處的切線方程，并設(shè)函數(shù)．

（Ⅰ）用、、表示m；

（Ⅱ）證明：當(dāng)，；（Ⅲ）若關(guān)于x的不等式在上恒成立，其中a、b為實(shí)數(shù)，求b的取值范圍及a與b所滿足的關(guān)系．參考答案：解析：（Ⅰ）

……2分

（Ⅱ）證明：令

因?yàn)檫f減，所以遞增，因此，當(dāng)；當(dāng).所以是唯一的極值點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，可知的最小值為0，因此即

……6分

（Ⅲ）解法一：，是不等式成立的必要條件，以下討論設(shè)此條件成立.

對(duì)任意成立的充要條件是

另一方面，由于滿足前述題設(shè)中關(guān)于函數(shù)的條件，利用（II）的結(jié)果可知，的充要條件是：過(guò)點(diǎn)（0，）與曲線相切的直線的斜率大于，該切線的方程為

于是的充要條件是

……10分

綜上，不等式對(duì)任意成立的充要條件是

①

顯然，存在a、b使①式成立的充要條件是：不等式

②

有解、解不等式②得

③

因此，③式即為b的取值范圍，①式即為實(shí)數(shù)在a與b所滿足的關(guān)系.

……12分

（Ⅲ）解法二：是不等式成立的必要條件，以下討論設(shè)此條件成立.

對(duì)任意成立的充要條件是

……8分

令，于是對(duì)任意成立