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第一卷選擇題共60分

一、選擇題本大題共12個小題，每題5分，共60分，在每題給出的四個選項中只有一個是符合題目要求的

1．2022菏澤市高一檢測以邊長為1的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于導學號09024213A

A．2πB．πC．2D．1

[解析]所得旋轉(zhuǎn)體是底面半徑為1，高為1的圓柱，其側(cè)面積S側(cè)＝2πRh＝2π×1×1＝2π.

2．設球內(nèi)切于圓柱，那么此圓柱的全面積與球外觀積之比是導學號09024214C

A．1︰1B．2︰1C．3︰2D．4︰3

[解析]∵圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，設球的直徑為2R，那么圓柱全面積S1＝2πR2＋2πR2R＝6πR2，球外觀積S2＝4πR2，∴S1S2＝32.

3．已知一個底面是菱形、側(cè)面是矩形的四棱柱，側(cè)棱長為5，菱形的對角線的長分別是9和15，那么這個棱柱的側(cè)面積是導學號09024215A

A．3034B．6034C．3034＋135D．135

[解析]由菱形的對角線長分別是9和15，得菱形的邊長為922＋1522＝3234，那么這個菱柱的側(cè)面積為4×3234×5＝3034.

4．已知圓柱與圓錐的底面積相等，高也相等，它們的體積分別為V1和V2，那么V1︰V2＝導學號09024216D

A．1︰3B．1︰1C．2︰1D．3︰1

[解析]V1︰V2＝Sh︰13Sh＝3︰1.

5．2022壽光現(xiàn)代中學高一月考若兩個球的外觀積之比為1︰4，那么這兩個球的體積之比為導學號09024217C

A．1︰2B．1︰4C．1︰8D．1︰16

[解析]設兩個球的半徑分別為r1、r2，

∴S1＝4πr21，S2＝4πr22.

∴S1S2＝r21r22＝14，∴r1r2＝12.∴V1V2＝43πr3143πr32＝r1r23＝18.

6．如圖，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直觀圖，那么△OAB的面積為導學號09024218D

A．6B．32C．62D．12

[解析]△OAB是直角三角形，OA＝6，OB＝4，∠AOB＝90°，∴S△OAB＝12×6×4＝12.

7．2022北京文，6某三棱錐的三視圖如下圖，那么該三棱錐的體積為導學號09024219D

A．60B．30C．20D．10

[解析]由三視圖畫出如下圖的三棱錐P－ACD，過點P作PB⊥平面ACD于點B，連接BA，BD，BC，根據(jù)三視圖可知底面ABCD是矩形，AD＝5，CD＝3，PB＝4，所以V三棱錐P－ACD＝13×12×3×5×4＝10.應選D．

8．若一圓柱與圓錐的高相等，且軸截面面積也相等，那么圓柱與圓錐的體積之比為導學號09024220D

A．1B．12C．32D．34

[解析]設圓柱與圓錐的底半徑分別為R，r，高都是h，由題設，2Rh＝12×2rh，

∴r＝2R，V柱＝πR2h，V錐＝13πr2h＝43πR2h，

∴V柱V錐＝34，選D．

9．半徑為R的半圓卷成一個圓錐，那么它的體積為導學號09024221A

A．324πR3B．38πR3C．525πR3D．58πR3

[解析]依題意，得圓錐的底面周長為πR，母線長為R，那么底面半徑為R2，高為32R，所以圓錐的體積為13×π×R22×32R＝324πR3.

10．2022全國卷《九章算術》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺．問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米如圖，米堆為一個圓錐的四分之一，米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有導學號09024222B

A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛

[解析]設圓錐底面半徑為r，那么14×2×3r＝8，∴r＝163，所以米堆的體積為14×13×3×1632×5＝3209，故堆放的米約為3209÷1.62≈22，應選B．

11．已知底面為正三角形，側(cè)面為矩形的三棱柱有一個半徑為3cm的內(nèi)切球，那么此棱柱的體積是導學號09024223B

A．93cm3B．54cm3C．27cm3D．183cm3

[解析]由題意知棱柱的高為23cm，底面正三角形的內(nèi)切圓的半徑為3cm，∴底面正三角形的邊長為6cm，正三棱柱的底面面積為93cm2，∴此三棱柱的體積V＝93×23＝54cm3．

12．2022山東，文一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如下圖．那么該幾何體的體積為導學號09024224C

A．13＋23πB．13＋23πC．13＋26πD．1＋26π

[解析]根據(jù)三視圖可知，四棱錐的底面是邊長為1的正方形、高是1，半球的半徑為22，所以該幾何體的體積為13×1×1×1＋12×43π223＝13＋26π.

第二卷非選擇題共90分

二、填空題本大題共4個小題，每題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上

13．如圖是△AOB用斜二測畫法畫出的直觀圖，那么△AOB的面積是__16__.

導學號09024225

[解析]在△AOB中，OB＝4，高為8，那么面積S＝12×4×8＝16.

14．圓柱的高是8cm，外觀積是130πcm2，那么它的底面圓的半徑等于__5__cm.導學號09024226

[解析]設底面圓的半徑為r，由題意得2πrh＋2πr2＝130π，

即r2＋8r－65＝0，解得r＝5.

15．棱錐的高為16，底面積為512，平行于底面的截面面積為50，那么截得的棱臺的高為__11__.導學號09024227

[解析]設棱臺的高為x，那么有16－x162＝50512，解之，得x＝11.

16．2022山東理，13由一個長方體和兩個14圓柱體構成的幾何體的三視圖如下，那么該幾何體的體積為__2＋π2__.導學號09024228

[解析]該幾何體由一個長、寬、高分別為2,1,1的長方體和兩個底面半徑為1，高為1的四分之一圓柱體構成，∴V＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2.

三、解答題本大題共6個大題，共70分，解允許寫出文字說明，證明過程或演算步驟

17．本小題總分值10分把一個圓錐截成圓臺，已知圓臺的上、下底面半徑的比是1︰4，母線長為10cm.求圓錐的母線長.導學號09024229

[解析]如圖，設圓錐母線長為l，那么l－10l＝14，所以l＝403cm.

18．本小題總分值12分如下圖，四棱錐V－ABCD的底面為邊長等于2cm的正方形，頂點V與底面正方形中心的連線為棱錐的高，側(cè)棱長VC＝4cm，求這個四棱錐的體積.導學號09024230

[解析]如圖，連接AC、BD相交于點O，連接VO，

∵AB＝BC＝2cm，

在正方形ABCD中，

求得CO＝2cm，

又在直角三角形VOC中，

求得VO＝14cm，

∴VV－ABCD＝13SABCDVO＝13×4×14＝4143cm3．

故這個四棱錐的體積為4143cm3.

19．本小題總分值12分如下圖，一個圓錐形的空杯子上面放著一個半球形的冰淇淋，假設冰淇淋溶解了，會溢出杯子嗎？請用你的計算數(shù)據(jù)說明理由.導學號09024231

[解析]由于V半球＝12×43πR3＝12×43×π×43≈134cm3，

V圓錐＝13πr2h＝13π×42×12≈201cm3，

134所以，冰淇淋溶解了，不會溢出杯子．

20．本小題總分值12分已知某幾何體的側(cè)視圖與其正視圖一致，相關的尺寸如下圖，求這個幾何體的體積.導學號09024232

[解析]由三視圖可知，該幾何體是大圓柱內(nèi)挖掉了小圓柱，兩個圓柱高均為1，底面是半徑為2和32的同心圓，故該幾何體的體積為4π×1－π322×1＝7π4.

21．本小題總分值12分據(jù)說宏偉的阿基米德逝世后，敵軍將領馬塞拉斯給他建了一塊墓碑，在墓碑上刻了一個如下圖的圖案，圖案中球的直徑與圓柱底面的直徑和圓柱的高相等，圓錐的頂點為圓柱上底面的圓心，圓錐的底面是圓柱的下底面．試計算出圖案中圓錐、球、圓柱的體積比.導學號09024233

[解析]設圓柱的底面半徑為r，高為h，那么V圓柱＝πr2h.

由題意知圓錐的底面半徑為r，高為h，球的半徑為r，

∴V圓錐＝13πr2h，

∴V球＝43πr3.

又h＝2r，

∴V圓錐︰V球︰V圓柱＝13πr2h︰43πr3︰πr2h＝23πr3︰43πr3︰2πr3＝1︰2︰3.

22．本小題總分值12分如下圖，有一塊扇形鐵皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72cm，要剪下來一個扇形環(huán)ABCD，作圓臺形容器的側(cè)面，并且余下的扇形OCD內(nèi)剪下一塊與其相切的圓形使它恰好作圓臺形容器的下底面大底面.導學號09024234

試求：1AD的長；

2容器的容積．

[解析]1設圓臺上、下底面半徑分別為r、R，AD＝x，

那么OD＝72－x，由題意得

2πR＝60π180×7272－x＝3R，∴R＝12x＝36.

即AD應取36cm.

2∵2πr＝π3OD＝π336，∴r＝6cm，

圓臺的高h＝x2－R－r2＝362－12－62＝635.

∴V＝13πhR2＋Rr＋r2＝13π635122＋12×6＋62

＝50435πcm3．

第一卷選擇題共60分

一、選擇題本大題共12個小題，每題5分，共60分，在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的

1．直線l1∥l2，在l1上取3個點，在l2上取2個點，由這5個點能確定平面的個數(shù)為導學號09024609D

A．5B．4C．9D．1

[解析]由經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面可知分別在兩平行直線上的5個點只能確定一個平面．

2．教室內(nèi)有一向尺，無論怎樣放置，在地面總有這樣的直線，使得它與直尺所在直線導學號09024610B

A．平行B．垂直C．相交D．異面

[解析]當直尺垂直于地面時，A不對；當直尺平行于地面時，C不對；當直尺位于地面上時，D不對．

3．已知m、n是兩條不同直線，α、β是兩個不同平面，那么以下命題正確的是導學號09024611D

A．若α、β垂直于同一平面，那么α與β平行

B．若m、n平行于同一平面，那么m與n平行

C．若α、β不平行，那么在α內(nèi)不存在與β平行的直線

D．若m、n不平行，那么m與n不成能垂直于同一平面

[解析]A項，α、β可能相交，故錯誤；

B項，直線m、n的位置關系不確定，可能相交、平行或異面，故錯誤；

C項，若mα，α∩β＝n，m∥n，那么m∥β，故錯誤；

D項，假設m、n垂直于同一平面，那么必有m∥n，所以原命題正確，故D項正確．

4．2022～2022棗莊高一檢測△ABC所在的平面為α，直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，那么直線l，m的位置關系是導學號09024612B

A．相交B．平行C．異面D．不確定

[解析]l⊥ABl⊥ACAB∩AC＝Al⊥平面ABCm⊥BCm⊥ACAC∩BC＝Cm⊥平面ABCl∥m

5．已知α、β是兩個平面，直線lα，lβ，若以①l⊥α；②l∥β；③α⊥β中兩個為條件，另一個為結(jié)論構成三個命題，那么其中正確的命題有導學號09024613A

A．①③②；①②③

B．①③②；②③①

C．①②③；②③①

D．①③②；①②③；②③①

[解析]由于α⊥β，所以在β內(nèi)找到一條直線m，使m⊥α，

又由于l⊥α，所以l∥m.又由于lβ，所以l∥β，即①③②；

由于l∥β，所以過l可作一平面γ∩β＝n，所以l∥n，

又由于l⊥α，所以n⊥α，

又由于nβ，所以α⊥β，即①②③.

6．設直線l平面α，過平面α外一點A與l，α都成30°角的直線有導學號09024614B

A．1條B．2條C．3條D．4條

[解析]如圖，和α成30°角的直線確定是以A為頂點的圓錐的母線所在直線，當∠ABC＝∠ACB＝30°且BC∥l時，直線AC，AB都得志條件，應選B．

7．2022～2022浙江文已知彼此垂直的平面α、β交于直線l.若直線m、n得志m∥α，n⊥β，那么導學號09024615C

A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n

[解析]選項A，只有當m∥β或mβ時，m∥l；選項B，只有當m⊥β時，m∥n；選項C，由于lβ，∴n⊥l；選項D，只有當m∥β或mβ時，m⊥n，應選C．

8．2022南安一中高一檢測如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別為棱BC和棱CC1的中點，那么異面直線AC與MN所成的角為導學號09024616C

A．30°B．45°C．60°D．90°

[解析]如圖，連接A1C1、BC1、A1B.

∵M、N分別為棱BC和棱CC1的中點，

∴MN∥BC1.

又A1C1∥AC，

∴∠A1C1B為異面直線AC與MN所成的角．

∵△A1BC1為正三角形，

∴∠A1C1B＝60°.應選C．

9．等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M為AC的中點，沿BM把它折成二面角，折后A與C的距離為1，那么二面角C－BM－A的大小為導學號09024617C

A．30°B．60°C．90°D．120°

[解析]如圖，由A′B＝BC＝1，∠A′BC＝90°知A′C＝2.

∵M為A′C的中點，∴MC＝AM＝22，且CM⊥BM，AM⊥BM，

∴∠CMA為二面角C－BM－A的平面角．

∵AC＝1，MC＝MA＝22，∴MC2＋MA2＝AC2，

∴∠CMA＝90°，應選C．

10．點P在正方體側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動，并且保持AP⊥BD1，那么點P的軌跡為導學號09024618A

A．線段B1C

B．BB1的中點與CC1的中點連成的線段

C．線段BC1

D．BC的中點與B1C1的中點連成的線段

[解析]∵AP⊥BD1恒成立，

∴要保證AP所在的平面始終垂直于BD1.

∵AC⊥BD1，AB1⊥BD1，AC∩AB1＝A，

∴BD1⊥面AB1C，∴P點在線段B1C上運動．

11．如圖，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，A、B到l的距離分別是a和b，AB與α、β所成的角分別是θ和φ，AB在α、β內(nèi)的射影長分別是m和n，若a＞b，那么導學號09024619D

A．θ＞φ，m＞nB．θ＞φ，m＜n

C．θ＜φ，m＜nD．θ＜φ，m＞n

[解析]由勾股定理得a2＋n2＝b2＋m2＝AB2.

又a＞b，∴m＞n.

由已知得sinθ＝bAB，sinφ＝aAB，而a＞b，

∴sinθ＜sinφ，

又θ，φ∈0，π2，∴θ＜φ.

12．如圖，在三棱柱ABC－A′B′C′中，點E、F、H、K分別為AC′、CB′、A′B、B′C′的中點，G為△ABC的重心，從K、H、G、B′中取一點作為P，使得該三棱柱恰有2條棱與平面PEF平行，那么點P為導學號09024620C

A．KB．HC．GD．B′

[解析]應用驗證法：選G點為P時，EF∥A′B′且EF∥AB，此時恰有A′B′和AB平行于平面PEF，應選C．

第二卷非選擇題共90分

二、填空題本大題共4個小題，每題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上

13．空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，那么△ABC的外形是__直角三角形__.導學號09024621

[解析]如圖，過點A作AE⊥BD，E為垂足．

∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，

∴AE⊥平面BCD，∴AE⊥BC.

又∵DA⊥平面ABC，∴DA⊥BC.

又∵AE∩DA＝A，∴BC⊥平面ABD，

∴BC⊥AB.

∴△ABC為直角三角形．

14．如下圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是棱AA1和AB上的點，若∠B1MN是直角，那么∠C1MN等于__90°__.導學號09024622

[解析]由于C1B1⊥平面ABB1A1，MN平面ABB1A1，所以C1B1⊥MN.

又由于MN⊥MB1，MB1，C1B1平面C1MB1，MB1∩C1B1＝B1，所以MN⊥平面C1MB1，

所以MN⊥C1M，所以∠C1MN＝90°.

15．如下圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M得志__DM⊥PC或BM⊥PC__時，平面MBD⊥平面PCD只要填寫一個你認為是正確的條件即可.導學號09024623

[解析]連接AC，那么BD⊥AC，由PA⊥底面ABCD，可知BD⊥PA，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.故當DM⊥PC或BM⊥PC時，平面MBD⊥平面PCD.

16．2022全國卷Ⅰ文，16已知三棱錐S－ABC的全體頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S－ABC的體積為9，那么球O的外觀積為__36π__.導學號09024624

[解析]如圖，連接OA，OB.

由SA＝AC，SB＝BC，SC為球O的直徑，知OA⊥SC，OB⊥SC.

由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知OA⊥平面SCB.

設球O的半徑為r，那么OA＝OB＝r，SC＝2r，

∴三棱錐S－ABC的體積V＝13×12SCOBOA＝r33，

即r33＝9，∴r＝3，∴S球表＝4πr2＝36π.

三、解答題本大題共6個小題，共70分，解允許寫出文字說明，證明過程或演算步驟

17．本小題總分值10分2022山東文，18由四棱柱ABCD－A1B1C1D1截去三棱錐C1－B1CD1后得到的幾何體如下圖．四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD的交點，E為AD的中點，A1E⊥平面ABCD.導學號09024625

1證明：A1O∥平面B1CD1；

2設M是OD的中點，證明：平面A1EM⊥平面B1CD1.

[解析]1證明：取B1D1的中點O1，連接CO1，A1O1，

由于ABCD－A1B1C1D1是四棱柱，

所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，

因此四邊形A1OCO1為平行四邊形，所以A1O∥O1C，

又O1C平面B1CD1，A1O平面B1CD1，

所以A1O∥平面B1CD1.

2證明：由于AC⊥BD，E，M分別為AD和OD的中點，

所以EM⊥BD.

又A1E⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

所以A1E⊥BD，

由于B1D1∥BD，

所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1.

又A1E，EM平面A1EM，A1E∩EM＝E，

所以B1D1⊥平面A1EM.

又B1D1平面B1CD1，

所以平面A1EM⊥平面B1CD1.

18．本小題總分值12分2022～2022寧波高二檢測如圖，已知四棱錐P－ABCD，底面四邊形ABCD為菱形，AB＝2，BD＝23，M，N分別是線段PA，PC的中點.導學號09024626

1求證：MN∥平面ABCD；

2求異面直線MN與BC所成角的大?。?/p>

[解析]1連接AC，交BD于點O.

由于M，N分別是PA，PC的中點，所以MN∥AC.

由于MN平面ABCD，AC平面ABCD，

所以MN∥平面ABCD.

2由1知MN∥AC，∴∠ACB為異面直線MN與BC所成的角．

∵四邊形ABCD為菱形，邊長AB＝2，對角線長BD＝23，

∴△BOC為直角三角形，且sin∠ACB＝BOBC＝32，

∴∠ACB＝60°.

即異面直線MN與BC所成的角為60°.

19．本小題總分值12分2022北京文，18如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D為線段AC的中點，E為線段PC上一點.導學號09024627

1求證：PA⊥BD；

2求證：平面BDE⊥平面PAC；

3當PA∥平面BDE時，求三棱錐E－BCD的體積．

[解析]1證明：由于PA⊥AB，PA⊥BC，所以PA⊥平面ABC.

又由于BD平面ABC，

所以PA⊥BD.

2證明：由于AB＝BC，D為AC的中點，所以BD⊥AC.

由1知，PA⊥BD，

所以BD⊥平面PAC，

所以平面BDE⊥平面PAC.

3解：由于PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，

所以PA∥DE.

由于D為AC的中點，

所以DE＝12PA＝1，BD＝DC＝2.

由1知，PA⊥平面ABC，

所以DE⊥平面ABC，

所以三棱錐E－BCD的體積V＝16BDDCDE＝13.

20．本小題總分值12分一個正方體的平面開展圖及該正方體的直觀圖的示意圖如下圖.導學號09024628

1請按字母F、G、H標記在正方體相應地頂點處不需要說明理由；

2判斷平面BEG與平面ACH的位置關系．并說明你的結(jié)論；

3證明：直線DF⊥平面BEG.

[解析]1點F、G、H的位置如下圖．

2平面BEC∥平面ACH.證明如下：

由于ABCD－EFGH為正方體，所以BC∥FG，BC＝FG，

又FG∥EH，F(xiàn)G＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，

于是四邊形BCEH為平行四邊形，

所以BE∥CH，

又CH平面ACH，BE平面ACH，

所以BE∥平面ACH，

同理，BG∥平面ACH，

又BE∩BG＝B，

所以平面BEG∥平面ACH.

3連接FH交EG于點O，連接BD.

由于ABCD－EFGH為正方體，所以DH⊥平面EFGH，

由于EG平面EFGH，所以DH⊥EG，

又EG⊥FH，EG∩FH＝O，

所以EG⊥平面BFHD，

又DF平面BFHD，所以DF⊥EG，

同理DF⊥BG，

又EG∩BG＝G，

所