PAGEPAGE6橢圓的簡單幾何性質(zhì)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．已知橢圓eq\f(x2,10－m)＋eq\f(y2,m－2)＝1的長軸在y軸上，若焦距為4，則m等于()A．4 B．5C．7 D．8[答案]D[解析]由題意知，c＝2，a2＝m－2，b2＝10－m，∴m－2－10＋m＝4，∴m＝8.2．橢圓的一個頂點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成等邊三角形，則它的離心率e為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(\r(2),2)[答案]A[解析]由題意，得a＝2c，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).3．與橢圓9x2＋4y2＝36有相同焦點(diǎn)，且短軸長為4eq\r(5)的橢圓方程是()A．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,20)＝1 B．eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,25)＝1C．eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,45)＝1 D．eq\f(x2,80)＋eq\f(y2,85)＝1[答案]B[解析]橢圓9x2＋4y2＝36的焦點(diǎn)為(0，eq\r(5))，(0，－eq\r(5))，∵b＝2eq\r(5)，∴a2＝25，故選B．4.如圖，經(jīng)過點(diǎn)P1，P2，P3且有相同對稱軸的三個橢圓的離心率依次為e1，e2，e3，則()A．e3<e1<e2 B．e1<e2<e3C．e3<e2<e1 D．e2<e1<e3[答案]A[解析]橢圓越扁，離心率越大，比較過點(diǎn)P1，P2的橢圓的離心率，得e1<e2，比較過點(diǎn)P1，P3的橢圓的離心率，得e3<e1，故e3<e1<e2.5．橢圓x2＋my2＝1的焦點(diǎn)在y軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則m的值為()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．2 D．4[答案]A[解析]由題意eq\f(y2,\f(1,m))＋x2＝1，且eq\r(\f(1,m))＝2，∴m＝eq\f(1,4).故選A．6．已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓eq\f(x2,m)＋y2＝1，其離心率為eq\f(\r(3),2)，則實(shí)數(shù)m的值是()A．4 B．eq\f(1,4)C．4或eq\f(1,4) D．eq\f(1,2)[答案]B[解析]由題意，得a2＝1，b2＝m，∴c2＝a2－b2＝1－m，∴離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－m)＝eq\f(\r(3),2)，∴m＝eq\f(1,4).二、填空題7．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，若長軸長為18，且兩個焦點(diǎn)恰好將長軸三等分，則此橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為________.[答案]eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,72)＝1或eq\f(x2,72)＋eq\f(y2,81)＝1[解析]∵橢圓長軸長為18，∴a＝9.又兩個焦點(diǎn)將長軸三等分，∴a－c＝2c，∴c＝3，∴b2＝a2－c2∵焦點(diǎn)位置不確定，∴方程為eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,72)＝1或eq\f(x2,72)＋eq\f(y2,81)＝1.8．橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m)＝1的離心率為eq\f(1,2)，則m＝________.[答案]3或eq\f(16,3)[解析]當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時，e＝eq\f(\r(4－m),2)＝eq\f(1,2)，∴m＝3.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，e＝eq\f(\r(m－4),\r(m))＝eq\f(1,2)，∴m＝eq\f(16,3).9．已知B1、B2為橢圓短軸的兩個端點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，若四邊形B1F1B2F[答案]eq\f(\r(2),2)[解析]如圖，由已知得b＝c＝eq\f(\r(2),2)a，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).三、解答題10．如圖所示，從橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一點(diǎn)P作x軸的垂線，恰好通過橢圓的一個焦點(diǎn)F1，此時橢圓與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，所確定的直線AB與OP平行，求離心率e的值．[解析]設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)(y>0)，由題意可得x＝－c，代入橢圓的方程可得y＝eq\f(b2,a)，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(－c，eq\f(b2,a))，∴kOP＝－eq\f(b2,ac).又∵A(a,0)，B(0，b)，∴kAB＝－eq\f(b,a).∵OP∥AB，∴kAB＝kOP，即－eq\f(b,a)＝－eq\f(b2,ac)，∴b＝c，∴a＝eq\r(b2＋c2)＝eq\r(c2＋c2)＝eq\r(2)c，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).能力提升一、選擇題1．(2015·廣東執(zhí)信中學(xué)期中)已知橢圓的對稱軸是坐標(biāo)軸，離心率為eq\f(1,3)，長軸長為12，則橢圓方程為()A．eq\f(x2,144)＋eq\f(y2,128)＝1或eq\f(x2,128)＋eq\f(y2,144)＝1 B．eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,32)＝1或eq\f(x2,32)＋eq\f(y2,36)＝1 D．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,6)＝1或eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,4)＝1[答案]C[解析]由條件知a＝6，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,3)，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝32，故選C．2．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為eq\f(\r(3),3)，過F2的直線l交C于A、B兩點(diǎn)，若△AF1B的周長為4eq\r(3)，則C的方程為()A．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 B．eq\f(x2,3)＋y2＝1C．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1 D．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1[答案]C[解析]根據(jù)條件可知eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)，且4a＝4eq\r(3)，∴a＝eq\r(3)，c＝1，b2＝2，橢圓的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.3．若直線y＝x＋eq\r(6)與橢圓x2＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0且m≠1)只有一個公共點(diǎn)，則該橢圓的長軸長為()A．1 B．eq\r(5)C．2 D．2eq\r(5)[答案]D[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋\r(6),x2＋\f(y2,m2)＝1))，得(1＋m2)x2＋2eq\r(6)x＋6－m2＝0，由已知Δ＝24－4(1＋m2)(6－m2)＝0，解得m2＝5，∴橢圓的長軸長為2eq\r(5).4.(2015·撫順二中期中)在△ABC中，AB＝BC，cosB＝－eq\f(7,18).若以A，B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C，則該橢圓的離心率e＝()A．eq\f(3,4) B．eq\f(3,7)C．eq\f(3,8) D．eq\f(3,18)[答案]C[解析]設(shè)|AB|＝x>0，則|BC|＝x，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝x2＋x2－2x2·(－eq\f(7,18))＝eq\f(25,9)x2，∴|AC|＝eq\f(5,3)x，由條件知，|CA|＋|CB|＝2a，AB＝2∴eq\f(5,3)x＋x＝2a，x＝2c，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(x,\f(8,3)x)＝eq\f(3,8).二、填空題5．若橢圓的一個焦點(diǎn)將其長軸分成eq\r(3)eq\r(2)兩段，則橢圓的離心率為________.[答案]5－2eq\r(6)[解析]橢圓的一個焦點(diǎn)將其長軸分成a＋c與a－c兩段，∴eq\f(a＋c,a－c)＝eq\f(\r(3),\r(2))，∴(eq\r(3)－eq\r(2))a＝(eq\r(3)＋eq\r(2))c，∴e＝eq\f(c,a)＝5－2eq\r(6).6．如果橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，短軸的一端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的連線組成一個正三角形，焦點(diǎn)在x軸上，且a－c＝eq\r(3)，則橢圓的方程是________.[答案]eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1[解析]如圖所示，cos∠OF2A＝eq\f(|OF2|,|AF2|)，即eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).又a－c＝eq\r(3)，∴a＝2eq\r(3)，c＝eq\r(3)，∴b2＝(2eq\r(3))2－(eq\r(3))2＝9.∴橢圓的方程是eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1.三、解答題7．已知F1、F2為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個焦點(diǎn)，過F2作橢圓的弦AB，若△AF1B的周長為16，橢圓的離心率e＝eq\f(\r(3),2)，求橢圓的方程．[解析]由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＝16,\f(c,a)＝\f(\r(3),2)))，∴a＝4，c＝2eq\r(3).∴b2＝a2－c2＝4，所求橢圓方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1.8．如圖所示，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓上點(diǎn)M的橫坐標(biāo)等于右焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其縱坐標(biāo)等于短半軸長的eq\f(2,3)，求橢圓的離心率．[解析]解法一：設(shè)橢圓的長半軸長、短半軸長、半焦距分別為a、b、c，則焦點(diǎn)為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(c，eq\f(2,3)b)，則△MF1F2為直角三角形.在Rt△MF1F2中，|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|即4c2＋eq\f(4,9)b2＝|MF1|2.而|MF1|＋|MF2|＝eq\r(4c2＋\f(4,9)b2)＋eq\f(2,3)b＝2a，整理得3c2＝3a2－2又c2＝a2－b2，所以3b＝2a.所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(4,9).∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a