第二章單

自

由

度

線

性

系

統(tǒng)

的

強(qiáng)

迫

振

動(dòng)2.1概述振動(dòng)力學(xué)中，一個(gè)非常重要的課題就是研究系統(tǒng)對(duì)于外部激勵(lì)的響應(yīng)。外部激勵(lì)可以表現(xiàn)為初始位移、初始速度或二者兼有。當(dāng)只存在初始激勵(lì)時(shí)，系統(tǒng)將自由的進(jìn)行振動(dòng)。這樣的運(yùn)動(dòng)被稱為是“自由振動(dòng)”。此外，激勵(lì)還存在著另外一種形式，即力在一段時(shí)間內(nèi)持續(xù)存在的，而由此而產(chǎn)生的振動(dòng)被稱為“強(qiáng)迫振動(dòng)”。這一章，我們將開始對(duì)強(qiáng)迫振動(dòng)進(jìn)行討論。諧波激勵(lì)具有著廣泛的實(shí)際意義，并且是研究其它類型激勵(lì)的基礎(chǔ)。所以對(duì)諧波激勵(lì)將進(jìn)行比較詳盡的討論；系統(tǒng)對(duì)于外部激勵(lì)的響應(yīng)，其求解方法在很大程度上取決于激勵(lì)的類型。本章，將按照從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的順序進(jìn)行介紹：周期性激勵(lì)可應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)的傅立葉級(jí)數(shù)將其看作是許多諧波激勵(lì)的迭加。從而可利用諧波激勵(lì)的結(jié)果進(jìn)行分析；對(duì)于非周期的任意激勵(lì)，將介紹脈沖響應(yīng)和卷積積分。最后，可由傅立葉變換和拉普拉斯變換來得到系統(tǒng)響應(yīng)。①諧波激勵(lì)：②周期性的激勵(lì)：③非周期性的激勵(lì)(任意激勵(lì))：2.2

對(duì)諧波激勵(lì)的響應(yīng)仍然考慮下圖2－1所示的二階線性阻尼系統(tǒng)：圖2－1.二階線性阻尼系統(tǒng)mm已經(jīng)知道，該系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為：(2.1)對(duì)的情況，前面第一章已經(jīng)進(jìn)行了討論。下面將研究

時(shí)的情況，即運(yùn)動(dòng)微分方程(2.1)的特解情況。式中，稱為“激勵(lì)頻率(或驅(qū)動(dòng)頻率)”，而和將具有位移的單位。首先來考慮最簡(jiǎn)單的情況，即系統(tǒng)承受諧波激勵(lì)時(shí)的響應(yīng)。為此，可令外力具有如下的形式：首先，將方程(2.2)表示的諧波激勵(lì)代入系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程(2.1)中，并用質(zhì)量除方程兩端，則運(yùn)動(dòng)微分方程變?yōu)椋?2.2)可以看到，這里方程(2.2)中，人為引進(jìn)了函數(shù)的。后面將看到，通過這樣的表達(dá)方式，我們可以導(dǎo)出響應(yīng)與激勵(lì)的“無量綱比”。而“無量綱比”的概念往往能把對(duì)特殊情況的分析結(jié)果推廣到其它不同的情形，從而推廣分析結(jié)果的應(yīng)用范圍。

①運(yùn)動(dòng)微分方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程的解，稱為“通解”

(即自由振動(dòng)的解)。它將隨著時(shí)間的延續(xù)而消逝，所以這時(shí)的解也稱為“瞬態(tài)解”或“瞬態(tài)響應(yīng)”；顯然，上式為非齊次線性微分方程。其解將包括兩個(gè)部分：

②

非齊次方程的解，稱為“特解”。即由諧波激勵(lì)所引起的系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)，它在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)不會(huì)消失。所以，稱之為“穩(wěn)態(tài)解”或“穩(wěn)態(tài)響應(yīng)”。因?yàn)檫@時(shí)的激勵(lì)力為諧波形式，所以，需要求解的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也必然是諧波形式。并且，應(yīng)該具有相同的頻率。(2.3)再者，

運(yùn)動(dòng)方程(2.3)的左端包含有未知響應(yīng)

的奇次和(2.4)其中，、為待定常數(shù)。將方程(2.4)代入運(yùn)動(dòng)微分方程(2.3)，即可寫出：整理上式，并通過令方程兩端的項(xiàng)和項(xiàng)前面的系數(shù)相等，可得到兩個(gè)代數(shù)方程：偶次的時(shí)間導(dǎo)數(shù)。所以，可假設(shè)解

具有如下形式：(2.5)(2.6)(2.7)將系數(shù)和代入前面假設(shè)的響應(yīng)解(2.4)中，即可得到單自由度阻尼系統(tǒng)承受諧波激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：聯(lián)立求解代數(shù)方程組(2.5)，得到系數(shù)

、

為：這時(shí)，引入如下表達(dá)：可將穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(解)(2.7)寫成如下的簡(jiǎn)潔形式：(2.8)其中：(2.7)分別為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的“振幅”和“相角(相位)”。(2.9)(2.10)2.3

復(fù)頻率響應(yīng)本節(jié)，我們引入復(fù)矢量的概念，將上節(jié)中諧波激勵(lì)的表達(dá)形式進(jìn)行推廣。即用復(fù)矢量來表示諧波形式的外部激勵(lì)。為此，首先簡(jiǎn)單回顧“歐拉公式”：指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)在實(shí)數(shù)域中幾乎沒有什么聯(lián)系，但在復(fù)數(shù)域中卻可以將它們相互轉(zhuǎn)化，能夠被一個(gè)非常簡(jiǎn)單的關(guān)系式聯(lián)系在一起，這就是上面的歐拉公式。后面將會(huì)看到，引入復(fù)矢量的表示方法，將使得響應(yīng)的推導(dǎo)以及對(duì)振動(dòng)問題的進(jìn)一步深入研究都具有重要的意義。下面將歐拉公式在復(fù)平面上表達(dá)出來，如下圖2－2：

圖2－2.歐拉公式在復(fù)平面上的表達(dá)復(fù)矢量

可以看作是一個(gè)在復(fù)平面內(nèi)，以角速度逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的單位復(fù)矢量。那么顯然，該單位復(fù)矢量在實(shí)軸上的投影就是它的實(shí)部

，而在虛軸上的投影就是它的虛部。其中，符號(hào)

表示取復(fù)矢量

的實(shí)部。顯然，上式表達(dá)的是余弦形式的諧波激勵(lì)。而當(dāng)激勵(lì)為正弦形式時(shí)，可寫為：現(xiàn)在，重新考慮單自由度阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程(2.1)，并應(yīng)用復(fù)矢量的形式來表示方程右端的諧波激勵(lì)

：所以，綜合上面兩式，可將正弦形式和余弦形式的諧波激勵(lì)統(tǒng)一的用復(fù)矢量表示為：符號(hào)表示了取復(fù)矢量的虛部。(2.11)通過引入諧波激勵(lì)的復(fù)矢量表達(dá)形式，可將單自由度阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程(2.3)重新寫為：根據(jù)微分方程理論，可假設(shè)系統(tǒng)的響應(yīng)：將響應(yīng)(2.13)及其相關(guān)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)代入方程(2.12)，有：由復(fù)矢量形式的激勵(lì)所求得的響應(yīng)，如果真實(shí)激勵(lì)為余弦形式，則取響應(yīng)的實(shí)部。如果是正弦形式，則取響應(yīng)的虛部。整理上式，即可得出系統(tǒng)響應(yīng)：(2.12)(2.13)(2.14)觀察響應(yīng)(2.14)，可以看出，這時(shí)的響應(yīng)表達(dá)式與諧波激勵(lì)的復(fù)矢量表達(dá)式具有一定的比例關(guān)系。我們稱該比例系數(shù)為“復(fù)頻(率)響應(yīng)”。顯然，復(fù)頻(率)響應(yīng)建立了響應(yīng)與激勵(lì)之間在頻率域內(nèi)的一種關(guān)系。(2.15)將比例系數(shù)記為：這樣，可將系統(tǒng)的響應(yīng)(2.14)寫成如下的簡(jiǎn)潔形式：所以，對(duì)于余弦形式的諧波激勵(lì)，響應(yīng)為上式的實(shí)部，即：復(fù)頻(率)響應(yīng)

為一復(fù)數(shù)，所以由復(fù)數(shù)代數(shù)，可知：(2.16)(2.17)(2.18)其中，為復(fù)頻(率)響應(yīng)的模，被稱為“放大因子”；

稱為是復(fù)頻(率)響應(yīng)的“相角(或相位)”。對(duì)于正弦形式的諧波激勵(lì)，則響應(yīng)為(2.17)式的虛部：(2.19)可見，諧波形式的激勵(lì)，其響應(yīng)也同樣是諧波的。并且，響應(yīng)具有和激勵(lì)相同的振動(dòng)頻率。所以，研究響應(yīng)和激勵(lì)在頻率域上的變化關(guān)系，可能要比從時(shí)間域上來研究更能夠了解系統(tǒng)的動(dòng)力特性。尤其的，討論放大因子

和相角

與激勵(lì)頻率之間的變化關(guān)系，將能夠更好的揭示系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)特性。(2.20)根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)，放大因子，即復(fù)頻(率)響應(yīng)的模，等于

的實(shí)部與虛部平方的和的開方，即：對(duì)比前面導(dǎo)出的響應(yīng)的振幅(2.9)式，即：可以看到，“放大因子”實(shí)際上是響應(yīng)的振幅與激勵(lì)幅值的一個(gè)“無量綱比”，即：(2.21)下面給出放大因子與頻率比的關(guān)系曲線圖2－3：(2.20)圖2－3.放大因子與頻率比在不同阻尼系數(shù)下的關(guān)系曲線①由圖可看出，阻尼能夠減小響應(yīng)的幅值。并且隨著阻尼的增大，振幅的峰值點(diǎn)將向的左側(cè)移動(dòng)。②

當(dāng)頻率比

時(shí)放大因子

，表明此時(shí)響應(yīng)的幅值與激勵(lì)的幅值基本相同。③當(dāng)時(shí)，放大因子趨向于“0”值。表示這時(shí)響應(yīng)的幅值很小。④唯獨(dú)在附近，放大因子明顯增大，說明響應(yīng)的振幅將遠(yuǎn)大于激勵(lì)的幅值。這時(shí)，限制響應(yīng)振幅的就只有阻尼因素。要確定“放大因子”對(duì)“頻率比”的曲線的峰值點(diǎn)位置，可用計(jì)算函數(shù)駐值的方法。將放大因子(2.20)式對(duì)驅(qū)動(dòng)頻率求導(dǎo)，并令結(jié)果為零，即可得到峰值點(diǎn)發(fā)生的位置為：

②

當(dāng)粘性阻尼因子時(shí)，響應(yīng)沒有峰值點(diǎn)；由上式即可看出：(2.22)

③

當(dāng)

時(shí)，曲線在

處出現(xiàn)不連續(xù)。實(shí)際上，此時(shí)單自由度阻尼系統(tǒng)將簡(jiǎn)化為“諧振子”。

①

極大值并不發(fā)生在無阻尼時(shí)的固有頻率

處，而是發(fā)生在頻率比

處，即小于

處；

當(dāng)激勵(lì)頻率趨近于系統(tǒng)的固有頻率

時(shí)，諧振子的響應(yīng)將無限的增大。這時(shí)，我們說諧振子達(dá)到了“共振條件”，此時(shí)將發(fā)生劇烈的振動(dòng)。需要注意的是，達(dá)到共振點(diǎn)時(shí)，前面由所導(dǎo)出的系統(tǒng)響應(yīng)方程(2.14)，即：已不再適用，本節(jié)后面將給出達(dá)到共振條件時(shí)的解答。粘性阻尼因子時(shí)，相當(dāng)于無阻尼的單自由度系統(tǒng)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程將簡(jiǎn)化為“諧振子”的運(yùn)動(dòng)微分方程，進(jìn)而可得到如下的結(jié)論：將上式分子分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，將實(shí)虛部分離：及復(fù)頻(率)響應(yīng)：即可根據(jù)上面的歐拉公式，得到“相角”的表達(dá)式為：現(xiàn)在，我們來討論“相位(角)”，為求相角表達(dá)式，可考慮歐拉公式的如下形式：由前面導(dǎo)出的響應(yīng)方程(2.17)：可以看出，這與以前得到的相角公式(2.10)是一致的。(2.23)可見，相角實(shí)際上表示了響應(yīng)和激勵(lì)間的夾角(相位差)。根據(jù)(2.23)式，可畫出“相角”與頻率比之間，在不同粘性阻尼情況下的關(guān)系曲線，如下頁(yè)圖2－4。及諧波激勵(lì)的復(fù)矢量表達(dá)式(2.11)：圖2－4.相角在不同粘性阻尼因子下，對(duì)的曲線①由圖可見，所有的曲線都通過

，這一點(diǎn)。②

當(dāng)時(shí)，相位差趨于零值；而當(dāng)時(shí)，相位差趨于。③在阻尼因子時(shí)，曲線在處發(fā)生突變。由跳躍到。這是因?yàn)椋瑫r(shí)，響應(yīng)簡(jiǎn)化為：所以，時(shí)，響應(yīng)為正，即響應(yīng)和激勵(lì)同相。而時(shí)，響應(yīng)為負(fù)，即響應(yīng)和激勵(lì)相位差180度，方向相反。因?yàn)樗俣软?xiàng)為零，所以這里不再需要寫為復(fù)數(shù)形式。方程(2.24)實(shí)際上表達(dá)了“諧振子”承受諧波激勵(lì)時(shí)的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程。應(yīng)用代換法，很容易得到方程(2.24)的特解：(2.24)(2.25)最后，討論前面提到的系統(tǒng)達(dá)到“共振條件”時(shí)的情況，即，時(shí)的情形。這時(shí)，運(yùn)動(dòng)微分方程將簡(jiǎn)化為：方程(2.25)表示了諧振子在受到諧波激勵(lì)時(shí)，其響應(yīng)的振幅將隨著時(shí)間的延續(xù)而線性增加。這意味著，隨著時(shí)間

的增大，諧振子的響應(yīng)將無限增大，產(chǎn)生劇烈的振動(dòng)。然而實(shí)際上，響應(yīng)不可能無限的增大，因?yàn)榈搅艘欢ǖ臅r(shí)刻，系統(tǒng)就將違反線性系統(tǒng)關(guān)于微小運(yùn)動(dòng)的假設(shè)。由響應(yīng)式(2.25)也可看到，激勵(lì)是余弦形式的諧波，而響應(yīng)卻是正弦形式的。所以二者之間存在著的相位差，這一點(diǎn)由前面圖2－4也可觀察到。下面畫出共振條件下的響應(yīng)曲線：圖

2－5.共振條件下的響應(yīng)曲線為避免混亂，將前面瞬態(tài)解(2.20)中的振幅改記為

，相角

改記為

，則響應(yīng)的全解可寫為：第一章中的單自由度阻尼系統(tǒng)自由振動(dòng)的解(1.20)，即“瞬態(tài)響應(yīng)”，與本章得到的特解(2.18)式，即“穩(wěn)態(tài)響應(yīng)”，二者迭加起來，就構(gòu)成了單自由度系統(tǒng)在諧波激勵(lì)下進(jìn)行強(qiáng)迫振動(dòng)的響應(yīng)。也就是單自由度阻尼系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的全解。(2.26)

總結(jié)：由上式可以看出，系統(tǒng)的響應(yīng)將由兩部分迭加而成：所以，考慮強(qiáng)迫振動(dòng)時(shí)，主要是考慮后一項(xiàng)的“穩(wěn)態(tài)響應(yīng)”。它的振動(dòng)頻率與外部激勵(lì)的驅(qū)動(dòng)頻率相一致，但相位和幅值卻與激勵(lì)的相位和幅值不一致。

①第一部分為有阻尼的自由振動(dòng)。它是系統(tǒng)本身的一種固有振動(dòng)，將隨著時(shí)間的延續(xù)按指數(shù)規(guī)律衰減；

②第二部分則是由外力而引起的強(qiáng)迫振動(dòng)。強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅不隨時(shí)間的延續(xù)而衰減。(2.26)2.4

旋轉(zhuǎn)的不平衡質(zhì)量很多的機(jī)械系統(tǒng)，都可以簡(jiǎn)化為上圖2－6(a)所示的理想模型。模型中包含了一個(gè)主質(zhì)量，以及兩個(gè)大小均為的偏心質(zhì)量。其中，兩個(gè)偏心質(zhì)量以勻角速度反向旋轉(zhuǎn)。圖

2－6(a).轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的不平衡質(zhì)量為寫出該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，首先畫出系統(tǒng)的分離體圖，如下圖2－6(b)和2－6(c)所示：這里需要注意的是，由于兩個(gè)偏心質(zhì)量反向的旋轉(zhuǎn)，所以它們?cè)谌魏螘r(shí)刻施加給主質(zhì)量的力，在鉛垂方向上為相加，而在水平方向上將彼此抵消。所以，系統(tǒng)只會(huì)在鉛垂方向上產(chǎn)生振動(dòng)。圖2－6(b).偏心質(zhì)量偏心質(zhì)量的位移主質(zhì)量的位移圖2－6(c).主質(zhì)量根據(jù)牛頓定律，首先寫出偏心質(zhì)量在鉛垂方向的運(yùn)動(dòng)方程：其中，從系統(tǒng)的靜平衡位置算起。同理，寫出主質(zhì)量在鉛垂方向的運(yùn)動(dòng)方程：將(2.27)式代入(2.28)，可得到整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程：(2.27)(2.28)(2.29)可見，反向旋轉(zhuǎn)的偏心質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)施加了諧波形式的激勵(lì)。方程(2.30)右端項(xiàng)已經(jīng)化為了與前面相同的激勵(lì)形式，所以利用前面的響應(yīng)結(jié)果(2.17)，可直接寫出系統(tǒng)的響應(yīng)：整理方程(2.29)，得到：(2.30)(2.29)(2.31)繼續(xù)將響應(yīng)寫成如下的簡(jiǎn)潔形式：其中：因此，對(duì)于本節(jié)所討論的這種系統(tǒng)，其無量綱比為：(2.32)(2.33)(2.34)可見，旋轉(zhuǎn)的不平衡質(zhì)量系統(tǒng)的“無量綱比”已不再僅僅是“放大因子”本身。所以，前面給出的關(guān)于放大因子和頻率比的關(guān)系曲線圖2－3也不再適用。下面，就畫出該系統(tǒng)的無量綱比：與激勵(lì)頻率和系統(tǒng)固有頻率的比值：，在不同的粘性阻尼因子

下的關(guān)系曲線，如下頁(yè)圖2－7：圖2－7.無量綱比與頻率比在不同阻尼系數(shù)下的關(guān)系曲線①當(dāng)時(shí)，無量綱比。②

當(dāng)時(shí)，無量綱比。③因?yàn)橘|(zhì)量的位移為，偏心質(zhì)量位移為。由此得出，對(duì)于大的驅(qū)動(dòng)頻率，無論阻尼如何，主質(zhì)量和偏心質(zhì)量將按系統(tǒng)的質(zhì)心保持不動(dòng)的這樣一種方式進(jìn)行運(yùn)動(dòng)。2.5

支承的諧波運(yùn)動(dòng)另外一種常見的，承受諧波激勵(lì)的系統(tǒng)，就是當(dāng)系統(tǒng)的支承承受著諧波運(yùn)動(dòng)的情況，如下圖2－8所示：圖2－8.系統(tǒng)支承具有諧波運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)(2.35)首先，假設(shè)系統(tǒng)支承的諧波位移可表示為：

。根據(jù)牛頓定律，即可寫出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程：整理為：(2.36)將：代入方程(2.36)。并繼續(xù)將方程(2.36)整理為與前面討論的運(yùn)動(dòng)方程形式相同的結(jié)構(gòu)：(2.37)這時(shí)，直接利用響應(yīng)公式(2.17)，即可寫出系統(tǒng)響應(yīng)為：(2.38)上式響應(yīng)可寫為如下形式：其中：(2.39)(2.40)(2.41)根據(jù)上面響應(yīng)式(2.40)，可得到該系統(tǒng)的無量綱比為：這時(shí)的

通常被稱為“傳遞率”。(2.42)根據(jù)(2.42)式，畫出以粘性阻尼因子

為參數(shù)，傳遞率與頻率比的關(guān)系曲線，見下頁(yè)圖2－9。圖2－9.傳遞率與頻率比在不同阻尼因子下的關(guān)系曲線2.6

諧波運(yùn)動(dòng)的復(fù)矢量表達(dá)前面幾節(jié)中，我們用復(fù)矢量表示了諧波形式的激勵(lì)，并導(dǎo)出了阻尼系統(tǒng)對(duì)諧波激勵(lì)的響應(yīng)。兩端對(duì)時(shí)間

進(jìn)行求導(dǎo)，即可得到系統(tǒng)的響應(yīng)速度及響應(yīng)加速度的表達(dá)式：下面，我們將承受諧波激勵(lì)的阻尼系統(tǒng)及其響應(yīng)，在復(fù)平面內(nèi)給出其幾何描述。首先，對(duì)前面導(dǎo)出的響應(yīng)公式(2.17)：考慮歐拉公式的如下形式：則響應(yīng)的速度和加速度可寫為：這時(shí)可以看出，速度

超前于位移

項(xiàng)相角，并等于位移乘以因子

；而加速度

超前位移

項(xiàng)相角，并等于位移乘以因子。根據(jù)以上關(guān)系，我們即可在復(fù)平面上用幾何圖形來表示二階系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程(2.12)，即：下圖表示了任意時(shí)刻，復(fù)矢量

、

和

之和與復(fù)矢量

相平衡，即運(yùn)動(dòng)方程在復(fù)平面上的幾何表示。圖2－10.諧波運(yùn)動(dòng)的矢量表示2.7

隔振有時(shí)候，我們需要考慮各種機(jī)械設(shè)備對(duì)于地基的影響，并且總是希望設(shè)備傳遞給地基的振動(dòng)越小越好。因?yàn)檎駝?dòng)過大，將會(huì)引起地基的破壞、變形，進(jìn)而導(dǎo)致設(shè)備的損害或加工精度的喪失。而該問題對(duì)于進(jìn)行諧波運(yùn)動(dòng)的機(jī)械設(shè)備來說，將尤為嚴(yán)重。所以，為減少這種振動(dòng)的影響，我們通常采取在設(shè)備的底部加裝彈簧、橡膠墊(阻尼)等方法來進(jìn)行所謂的“隔振”。圖2－11.隔振系統(tǒng)模型m對(duì)于這種隔振問題，通?？刹捎萌缬覉D2－11所示的動(dòng)力學(xué)理想模型來進(jìn)行研究。已經(jīng)知道，諧波激勵(lì)作用下的振動(dòng)系統(tǒng)，其響應(yīng)同樣是諧波的。而要研究設(shè)備的振動(dòng)對(duì)地基的影響，就需要考慮設(shè)備在振動(dòng)過程中對(duì)地基的力的作用。顯然，振動(dòng)過程中，設(shè)備是通過與地基的連接彈簧和阻尼進(jìn)行力的傳遞。所以，可將設(shè)備傳遞給地基的力表示為：(2.43)對(duì)于式中的，可直接利用前面諧波激勵(lì)的響應(yīng)公式來得到，即：上式代入方程(2.43)，并考慮到相位對(duì)于傳遞力的幅值并不產(chǎn)生影響，即可寫出設(shè)備傳遞給地基的力的幅值為：因?yàn)樵O(shè)備所承受的諧波激勵(lì)可表示為：將諧波激勵(lì)的幅值記為：結(jié)合(2.44)式，并考慮阻尼系數(shù)：

及

，則可得到設(shè)備傳遞給地基的力的幅值與設(shè)備所承受的激勵(lì)力的幅值這二者之間的關(guān)系為：(2.44)(2.45)(2.46)顯然，根據(jù)上式(2.46)，即可得到傳遞力幅值與激勵(lì)力幅值的一個(gè)無量綱比：(2.47)同樣，上式也稱為“傳遞率”?？梢钥闯觯c前面“支承的諧波運(yùn)動(dòng)”中所得到的傳遞率(2.42)式是相同的。而這里的傳遞率可看作是衡量外部激勵(lì)傳遞給地基的尺度。根據(jù)(2.47)式，可畫出“傳遞率

”與頻率比的關(guān)系曲線，如下頁(yè)圖2－12，該圖形與前面的圖2－9相同。(2.46)圖2－12.傳遞率與頻率比在不同阻尼系數(shù)下的關(guān)系曲線2.8

振動(dòng)測(cè)量?jī)x振動(dòng)測(cè)量?jī)x基本上有三種類型，即：“加速度測(cè)量?jī)x”、“速度測(cè)量?jī)x”和“位移測(cè)量?jī)x”。我們這里只討論第一種和第三種類型的測(cè)量?jī)x。測(cè)量?jī)x通常由裝有彈簧－阻尼器－質(zhì)量的盒子以及用于測(cè)量質(zhì)量相對(duì)于盒子的相對(duì)位移的裝置構(gòu)成。如下圖2－13所示：圖2－13.振動(dòng)測(cè)量?jī)x測(cè)量?jī)x的位移質(zhì)量的絕對(duì)位移質(zhì)量相對(duì)于盒子位移測(cè)量時(shí)，將上圖2－13所示裝置固接在被測(cè)的振動(dòng)系統(tǒng)上，然后通過測(cè)量質(zhì)量塊與盒子的相對(duì)位移，從而得到與振動(dòng)有關(guān)的各量，比如振動(dòng)系統(tǒng)的位移、速度和加速度。按照上頁(yè)圖示，表示質(zhì)量塊的絕對(duì)位移，表示的是測(cè)量?jī)x本身的位移，所以圖中三種位移具有如下關(guān)系：利用(2.48)式，消去上式中，并整理得到：首先，對(duì)質(zhì)量塊列出其運(yùn)動(dòng)微分方程：(2.48)(2.49)(2.50)根據(jù)響應(yīng)公式(2.17)，即可寫出質(zhì)量塊的響應(yīng)為：將上式進(jìn)一步記為：即可得到此時(shí)的一種“無量綱比”：假設(shè)振動(dòng)系統(tǒng)的位移函數(shù)為

，即。將代入質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)微分方程(2.50)，并整理為標(biāo)準(zhǔn)形式：(2.51)(2.52)(2.53)(2.54)根據(jù)(2.54)式，可畫出無量綱比

和頻率比，在不同阻尼因之下的關(guān)系曲線，如下圖2－14。圖2－14.傳遞率與頻率比在不同阻尼系數(shù)下的關(guān)系曲線如果將“無量綱比”(2.54)變化為：(2.55)顯然，當(dāng)時(shí)，分母項(xiàng)趨近“1”值，所以：注意到，(2.56)式的分子項(xiàng)，實(shí)際上就是被測(cè)系統(tǒng)的加速度幅值，所以這時(shí)我們得到的測(cè)量值與被測(cè)系統(tǒng)的加速度實(shí)際上是成比例的關(guān)系。此時(shí)，該測(cè)量?jī)x可作為“加速度計(jì)”。(2.56)如果繼續(xù)將(2.55)式化為如下的形式：所以，如果作為加速度計(jì)，則需要振動(dòng)測(cè)量?jī)x具有很高的固有頻率。這樣才能夠?qū)崿F(xiàn)被測(cè)系統(tǒng)的振動(dòng)頻率與振動(dòng)測(cè)量?jī)x的固有頻率之比，使得測(cè)量值與被測(cè)系統(tǒng)的加速度值具有一定的比例關(guān)系，進(jìn)而得到被測(cè)系統(tǒng)的加速度值。這時(shí)，當(dāng)

時(shí)，上式分母項(xiàng)趨近于“1”，所以有：以上討論可知，“位移計(jì)”的尺寸要遠(yuǎn)比“加速度計(jì)”的尺寸大得多。所以，如果需要測(cè)量振動(dòng)系統(tǒng)的位移值，但空間尺寸又受到一定的限制，則可采用“加速度計(jì)”測(cè)得被測(cè)系統(tǒng)的加速度，然后通過將加速度對(duì)時(shí)間的兩次積分，即可得到所需的被測(cè)系統(tǒng)的位移。顯然，這時(shí)測(cè)量到的值與被測(cè)系統(tǒng)的位移幾乎相等。所以，和加速度計(jì)相反，要使振動(dòng)測(cè)量?jī)x作為“位移計(jì)”，就需要該振動(dòng)測(cè)量?jī)x具有很低的固有頻率，即測(cè)量?jī)x中的質(zhì)量塊的質(zhì)量要相當(dāng)大，而彈簧則要足夠軟。這樣才能夠使得被測(cè)系統(tǒng)的振動(dòng)頻率與振動(dòng)測(cè)量?jī)x的固有頻率之比：

。2.9

能量耗散，結(jié)構(gòu)阻尼一、

能量耗散：前面已經(jīng)證明，一個(gè)“彈簧－阻尼器－質(zhì)量”系統(tǒng)，受到由下式實(shí)部給出的諧波激勵(lì)：時(shí)，其響應(yīng)將由下式的實(shí)部給出：式中：可以解釋為響應(yīng)的最大位移幅值。顯然，由于阻尼的因素，系統(tǒng)并不是保守的，而是始終存在著能量的耗散，而能量的耗散必定等于外力所做的功。所以，可以寫出振動(dòng)在一個(gè)周期內(nèi)(每一周)所消耗能量的表達(dá)式：這里，我們只考慮激勵(lì)和速度響應(yīng)的實(shí)部。將二者的表達(dá)式代入上式，得到：根據(jù)前面相角公式(2.10)和放大因子公式(2.20)，即：(2.57)(2.58)并利用三角公式：很容易得出：可見，振動(dòng)每一周所消耗的能量直接與系統(tǒng)的阻尼系數(shù)

、驅(qū)動(dòng)頻率，以及響應(yīng)的幅值的平方成正比。(2.59)二、

結(jié)構(gòu)阻尼：由經(jīng)驗(yàn)證明，在所有的實(shí)際系統(tǒng)中，都存在著能量耗散。即使是對(duì)于那些其數(shù)學(xué)模型對(duì)阻尼也沒有作出明確規(guī)定而予以略去的系統(tǒng)來說，也同樣存在著能量的耗散。比如，對(duì)于彈簧，由于內(nèi)摩擦的原因，其變形過程中也存在著能量的耗散。但與我們前面介紹的粘性阻尼不同，這里的由材料內(nèi)摩擦所引起的阻尼與系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)速度無關(guān)。其中，

是一個(gè)與諧波振動(dòng)頻率無關(guān)的常量。通過對(duì)大量不同材料進(jìn)行的試驗(yàn)說明，由于內(nèi)摩擦而使得振動(dòng)一周所損失的能量大致與位移的幅值的平方成正比，即：(2.60)對(duì)于這種類型的阻尼，我們稱之為“結(jié)構(gòu)阻尼”。它被認(rèn)為是由于彈性材料中與循環(huán)應(yīng)力有關(guān)的“滯后現(xiàn)象”引起的。而每一個(gè)應(yīng)力循環(huán)所損失的能量等于如下圖2－15所示的滯后環(huán)內(nèi)的面積。圖2－15.循環(huán)應(yīng)力的滯后現(xiàn)象Hysteresis

Loop

(滯后環(huán))Area

=

Energy

Lost

Per

Cycle(環(huán)行面積＝每周能量的損失)比較前面(2.59)式和(2.60)式：可以看出，具有結(jié)構(gòu)阻尼，并且承受著諧波激勵(lì)的系統(tǒng)，可以將其看作是具有粘性阻尼，并且其等效的阻尼系數(shù)為：這樣，就可以把具有結(jié)構(gòu)阻尼的系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程寫為：因?yàn)樗俣软?xiàng)：，所以可進(jìn)一步將上式寫為：(2.61)(2.62)其中的：稱為“結(jié)構(gòu)阻尼因子”。稱為“復(fù)剛度”或“復(fù)阻尼”。方程(2.62)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：可看出，與具有粘性阻尼的系統(tǒng)不同，對(duì)于具有結(jié)構(gòu)阻尼的系統(tǒng)，其最大振幅正好出現(xiàn)在處。需要注意的是，結(jié)構(gòu)阻尼和粘性阻尼的這種相似性，只有當(dāng)系統(tǒng)承受諧波激勵(lì)時(shí)才是有效的。因?yàn)榍懊娴耐茖?dǎo)中，包含有系統(tǒng)受驅(qū)動(dòng)頻率為的諧波激勵(lì)時(shí)，響應(yīng)也是諧波的這一條件。2.10