第三章壓力容器安全設(shè)計(jì)的理論與基礎(chǔ)知識(shí)§3-4殼體的邊緣應(yīng)力§3-4殼體的邊緣應(yīng)力

薄膜應(yīng)力是假設(shè)殼壁很薄，根本不能隨彎矩，沒有彎曲應(yīng)力。實(shí)際上壓力容器的殼體總有一定的剛度，受壓時(shí)半徑增大，殼壁曲率發(fā)生變化，殼體總是存在一些彎曲應(yīng)力。另外，幾何形狀不連續(xù)，也會(huì)產(chǎn)生“不連續(xù)應(yīng)力”或“邊緣應(yīng)力”(變形不同，互相牽制”。殼體不連續(xù)應(yīng)力的影響范圍很小，即它只存在于聯(lián)接處兩邊附近的很窄的一個(gè)區(qū)域內(nèi)，而且它也不直接影響到殼體的破壞強(qiáng)度。但在一些不合理的結(jié)構(gòu)中，不連續(xù)應(yīng)力可以達(dá)到很高的數(shù)值，而高的局部應(yīng)力對(duì)受反復(fù)載荷的容器的疲勞壽命是有很大影響的。邊緣應(yīng)力的概念(1)圓筒受內(nèi)壓直徑增大時(shí)，筒壁金屬的環(huán)向“纖維”不但被拉長了，而且它的曲率半徑由原來的R變到R+ΔR，如圖所示。根據(jù)力學(xué)可知，：有曲率變化就有彎曲應(yīng)力。所以在內(nèi)壓圓筒壁的縱向截面上，除作用有環(huán)向拉應(yīng)力σ2外，還存在著彎曲應(yīng)力σ2b。但由于這一應(yīng)力數(shù)值相對(duì)很小，可以忽略不計(jì)。邊緣應(yīng)力的概念(2)圓筒與封頭、圓筒與法蘭、不同厚度或不同材料的筒節(jié)、裙式支座與直立殼體相聯(lián)接處的平行圓等。此外，當(dāng)殼體經(jīng)線曲率有突變或載荷沿軸向有突變的接界平行圓，亦應(yīng)視作聯(lián)接邊緣，以上各種情況參見圖3—25。邊緣應(yīng)力的概念(3)圓筒形容器受內(nèi)壓之后，由于封頭剛性大，不易變形．而筒體剛性小，容易變形，連接處二者變形大小不同，即圓筒半徑的增長值大于封頭半徑的增長值，如圖3—26a左側(cè)虛線所示。如果讓其自由變形，必因兩部分的位移不同而出現(xiàn)邊界分離現(xiàn)象，顯然。這與實(shí)際情況不符。實(shí)際上由于邊緣聯(lián)接并非自由，必然發(fā)生如圖3—26a右側(cè)虛線所示的邊緣彎曲現(xiàn)象，伴隨這種彎曲變形。也要產(chǎn)生彎曲應(yīng)力，因此，聯(lián)接邊緣附近的橫截面內(nèi)，除作用有軸(經(jīng))向拉伸應(yīng)力σ1外，還存在著軸(經(jīng))向彎曲應(yīng)力σ1b，這就勢(shì)必改變了無力矩應(yīng)力狀態(tài)，用無力矩理論就無法求解。邊緣應(yīng)力的概念(3)分析這種邊緣彎曲的應(yīng)力狀態(tài)，可以將邊緣彎曲現(xiàn)象看作是附加邊緣力和彎矩作用的結(jié)果，如圖3—26b所示。意思就是在殼體兩部分受薄膜力之后出現(xiàn)了邊界分離，若再加上邊緣力和彎曲使之協(xié)調(diào)，才能滿足邊緣聯(lián)接的連續(xù)性。因此聯(lián)接邊緣處的應(yīng)力就特別大。如果確定這種有力矩的應(yīng)力狀態(tài)就可以簡(jiǎn)單地將薄膜應(yīng)力與邊緣彎曲應(yīng)力疊加。邊緣應(yīng)力的特點(diǎn)：今有一內(nèi)徑為Di=1000毫米，壁厚S=10毫米的鋼制內(nèi)壓圓筒，其一端為平板封頭，且封頭厚度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于筒體壁厚。內(nèi)壓為P=1MPa，經(jīng)理論計(jì)算和實(shí)測(cè)其內(nèi)、外壁軸向應(yīng)力(薄膜應(yīng)力與邊緣彎曲應(yīng)力的疊加值)分布情況如圖3—27所示。邊緣應(yīng)力的特點(diǎn)：其一，局部性。不同性質(zhì)的聯(lián)接邊緣產(chǎn)生不同的邊緣應(yīng)力，但它們都有一個(gè)明顯的衰減波特性。以圓筒殼為例，其沿軸向的衰減經(jīng)過一個(gè)周期之后，即離開邊緣距離為2.5(其中r與s分別為圓筒的半徑與壁厚)之處邊緣應(yīng)力已經(jīng)基本衰減完了。邊緣應(yīng)力的特點(diǎn)：其二，自限性。從根本上說，發(fā)生邊緣彎曲的原因是由于薄膜變形不連續(xù)。自然，這是指彈性變形。當(dāng)邊緣兩側(cè)的彈性變形相互受到約束，則必然產(chǎn)生邊緣力和邊緣彎矩，從而產(chǎn)生邊緣應(yīng)力。但是當(dāng)邊緣處的局部材料發(fā)生屈服進(jìn)入塑性變形階段時(shí)，上述這種彈性約束就開始緩解，因而原來不同的薄膜變形便趨于協(xié)調(diào)，結(jié)果邊緣應(yīng)力就自動(dòng)限制。這就是邊緣應(yīng)力的自限性。邊緣應(yīng)力的特點(diǎn)：邊緣應(yīng)力與薄膜應(yīng)力不同，薄膜應(yīng)力是由介質(zhì)壓力直接引起的，而邊緣應(yīng)力則是由聯(lián)接邊緣兩部分變形協(xié)調(diào)所引起的附加應(yīng)力，它具有局部性和自限性，通常把薄膜應(yīng)力稱為一次應(yīng)力，把邊緣應(yīng)力稱為二次應(yīng)力。根據(jù)強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，具有自限性的應(yīng)力，一般使容器直接發(fā)生破壞的危險(xiǎn)性較小。對(duì)邊緣應(yīng)力的處理：(1)在邊緣區(qū)作局部處理。由于邊緣應(yīng)力具有局部性，在設(shè)計(jì)中可以在結(jié)構(gòu)上只作局部處理。例如，改變連接邊緣的結(jié)構(gòu)，如圖3-28所示；邊緣應(yīng)力區(qū)局部加強(qiáng)；保證邊緣區(qū)內(nèi)焊縫的質(zhì)量；降低邊緣區(qū)的殘余應(yīng)力（如進(jìn)行消除應(yīng)力熱處理）；避免邊緣區(qū)附加局部應(yīng)力或應(yīng)力集中，如不在連接邊緣區(qū)開孔等。對(duì)邊緣應(yīng)力的處理：(2)只要是塑性材料，即使邊緣局部某些點(diǎn)的應(yīng)力達(dá)到或超過材料的屈服點(diǎn)，鄰近尚未屈服的彈性區(qū)能夠抑制塑性變形的發(fā)展，使塑性區(qū)不再擴(kuò)展，故大多數(shù)塑性較好的材料制成的容器，例如低碳鋼、奧氏體不銹鋼、銅、鋁等壓力容器，當(dāng)承受靜載荷時(shí)，除結(jié)構(gòu)上作某些處理外，一般并不對(duì)邊緣應(yīng)力作特殊考慮。但是，某些情況則不然。例如，塑性較差的高強(qiáng)度鋼制的重要壓力容器，低溫下鐵素體鋼制的重要壓力容器，受疲勞載荷作用的壓力容器等。對(duì)于這些壓力容器，如果不注意控制邊緣應(yīng)力，則在邊緣高應(yīng)力區(qū)有可能導(dǎo)致脆性破壞或疲勞破壞。因此必須正確計(jì)算邊緣應(yīng)力。對(duì)邊緣應(yīng)力的處理：(3)由于邊緣應(yīng)力具有自限性，它的危害性沒有薄膜應(yīng)力的大。薄膜應(yīng)力隨著外力的增大而增大，是非自限性的。如前所述，具有自限性的應(yīng)力屬二次應(yīng)力。當(dāng)分清應(yīng)力性質(zhì)以后，在設(shè)計(jì)中考慮邊緣應(yīng)力可以不同于薄膜應(yīng)力。實(shí)際上，無論設(shè)計(jì)中是否計(jì)算邊緣應(yīng)力，在邊緣結(jié)構(gòu)上作妥善處理顯然都是必要的。彈性基礎(chǔ)梁的彎曲關(guān)系

為了求解殼體在聯(lián)接處附近產(chǎn)生的這些彎曲應(yīng)力和剪應(yīng)力，就必須研究殼體的彎曲變形與作用力及力矩之間的關(guān)系。研究整個(gè)殼體的彎曲變形關(guān)系可以對(duì)殼體上的縱向微元細(xì)條進(jìn)行受力分析，而殼體縱向微條的彎曲又與彈性基礎(chǔ)梁的彎曲相似，因此需要先討論彈性基礎(chǔ)梁的彎曲關(guān)系。彈性基礎(chǔ)梁的彎曲關(guān)系

彈性基礎(chǔ)梁——擱置在能連續(xù)支承而且具有彈性的基礎(chǔ)上，它在集中載荷下即產(chǎn)生彎曲。這種梁上任一點(diǎn)的撓度y與作用于該點(diǎn)梁上的的基礎(chǔ)反力q成正比k（基礎(chǔ)反力與撓度的比例常數(shù)）。即q=kyx、M、Q——梁上任意點(diǎn)的（距載荷作用點(diǎn)的）距離，彎矩、剪力。彈性基礎(chǔ)梁的彎曲關(guān)系

現(xiàn)從梁上該任意點(diǎn)處割取長度為dx的一個(gè)微體，微體兩端的受力情況如圖（3-35）所示。由于微體處于平衡狀態(tài)，則作用于微體上垂直方向上的力的總和應(yīng)為零，即：∑F＝Q-（Q+dQ）+kydx＝0dQ/dx=ky同樣，取距載荷作用點(diǎn)為x+dx處的彎矩總和為零，則得：∑M＝Qdx+M-（M+dM）+kydx·dx/2=0略去高階微量(dx)2,則得：dM/dx＝Q，即：彈性基礎(chǔ)梁的彎曲關(guān)系

設(shè)距載荷作用點(diǎn)為x處梁的中性層的曲率半徑為ρ，則其倒數(shù)、1/ρ便是梁軸的曲率。由材料力學(xué)得知彎曲梁的彈性曲線和彎矩M成正比，而與它的慣性矩J及材料的縱性彈性模量E成反比。關(guān)系式為：，其中乘積EJ成為梁的彎曲剛度。而由微積分中得到曲率的表達(dá)式為：對(duì)于很小的撓度y，dy/dx的數(shù)值要比1小得多，略去分母中的（dy/dx）2即得：因此彎曲梁的彈性曲線的一般方程式是：彈性基礎(chǔ)梁的彎曲關(guān)系

對(duì)兩次求導(dǎo)得：，得：，令，，即：這個(gè)四階微分方程的特征方程為：λ4+4β4=0其根為：β(1±i)和－β(1±i)。故微分方程的解為：y=eβx(C1cosβx+C2sinβx)+e-βx(C3cosβx+C4sinβx)在遠(yuǎn)離載荷處，即x=∞，y→0，則C1，C2都為零。即得彈性基礎(chǔ)梁的彎曲關(guān)系式:常數(shù)c3和c4可以由梁的各種特殊條件求出。圓筒形殼體的彎曲

有一圓筒形殼體受到相鄰殼體的牽制而產(chǎn)生半徑縮?。ɑ蛟龃螅┑淖冃?，從殼體中割取一個(gè)縱向微條，如圖所示。則殼體發(fā)生半徑縮小Δr的變形就是這縱向微條產(chǎn)生撓度y的彎曲變形，y=Δr。在殼體中與聯(lián)接處的距離不同的各個(gè)截面上半徑縮小是不同的，也就是這一微條沿著它的長度方向具有不同的撓度y。

設(shè)微條的寬度為一單位長度，并令：δ=殼體厚度；y=在距離聯(lián)接處為x的殼體半徑的形變，y=Δr；M0、Q0=在聯(lián)接處單位圓周長度的彎矩和剪力。圓筒形殼體的彎曲

因?yàn)闅んw的縱向微條的彎曲與彈性基礎(chǔ)梁的彎曲相似。則彎曲曲線方程仍為：而它的常數(shù)C3、C4則可以由微條的端點(diǎn)條件（聯(lián)接處）求出：以平板式殼壁的彎曲剛度D代替梁的彎曲剛度EJ，則：式中為平板彎曲剛度。將彎曲曲線方程求導(dǎo)帶入上式得：將C3、C4代入彎曲曲線方程，求出：撓度y、。圓筒形殼體的彎曲下面是具體表達(dá)式：令：A1=e-βx(cosβx+sinβx)；A2=e-βxsinβxA3=e-βx(cosβx-sinβx)；A4=e-βxcosβx

撓度y及斜率θ在x=0處，取得最大值。函數(shù)A1、A2、A3和A4之值可由表查得βxA1A2A3A4βxA1A2A3A401.00000.00001.00001.00002.20.02440.0896-0.1548-0.06520.10.99070.09030.81000.90032.30.00800.0748-0.1416-0.06680.20.96510.16270.63980.80243π/40.00000.0670-0.1340-0.06700.30.92670.21890.48880.70772.4-0.00560.0613-0.1282-0.06690.40.87840.26100.35640.61742.5-0.01660.0491-0.1149-0.06580.50.82310.29080.24150.53232.6-0.02540.0383-0.1019-0.06360.60.76280.30990.14310.45302.7-0.03200.0287-0.0895-0.06080.70.69970.31990.05990.37982.8-0.03690.0204-0.0777-0.0573π/40.64480.32240.00000.32242.9-0.04030.0132-0.0666-0.05340.80.63540.3223-0.00930.31313.0-0.04230.0070-0.0563-0.04930.90.57120.3185-0.06570.25273.1-0.04310.0019-0.0469-0.04501.00.50830.3096-0.11080.1988π-0.04320.0000-0.0432-0.04321.10.44760.2967-0.14570.15103.2-0.0431-0.0024-0.0383-0.04071.20.38990.2807-0.17160.10913.4-0.0408-0.0085-0.0237-0.03231.30.33550.2626-0.18970.07293.6-0.0366-0.0121-0.0124-0.02451.40.28490.2430-0.20110.04193.8-0.0314-0.0137-0.0040-0.01771.50.23840.2226-0.20680.01585π/4-0.0279-0.01390.0000-0.0139π/20.20790.2079-0.20790.00004.2-0.0204-0.01310.0057-0.00741.60.19590.2018-0.2077-0.00594.4-0.0155-0.01170.0079-0.00381.70.15760.1812-0.2047-0.02354.6-0.0111-0.01000.0089-0.00111.80.12340.1610-0.1985-0.03763π/2-0.0090-0.00900.00900.00001.90.09320.1415-0.1899-0.04847π/40.0000-0.00290.00580.00292.00.06670.1231-0.1794-0.05632π0.00190.00000.00190.00192.10.04390.1057-0.1675-0.06189π/40.00120.00060.00000.0006求式中的β值

以平板或殼壁的彎曲剛度D來代替梁的彎曲剛度EJ則得：所以只要求出殼體基礎(chǔ)反力ｑ與撓度y的比例常數(shù)k，即可得出β值。因?yàn)閱挝粚挾鹊奈l在距殼體聯(lián)接處為x處的半徑縮小量為Δr，則該截面圓周的相對(duì)壓縮變形為ε2=Δr/r，因此在此處產(chǎn)生的環(huán)向應(yīng)力便為：

則單位長度上的縱向微條的環(huán)向力為：由于縱向微條所對(duì)的圓周角φ=1/r，所以環(huán)向力的徑向分力為：這個(gè)微條的徑向分力P反抗微條產(chǎn)生撓度，而且它與撓度成比例地沿著微條的長度分布，它相當(dāng)于彈性基礎(chǔ)梁上的基礎(chǔ)反力q（因?yàn)閝是單位長度的基礎(chǔ)反力），故得故:圓筒體與封頭聯(lián)接組成的容器的應(yīng)力由圓筒體與各種封頭聯(lián)接而構(gòu)成的容器，由于筒體和封頭的幾何形狀不同，在相同的壓力作用下產(chǎn)生不同的徑向變形。因此在聯(lián)接處，筒體和封頭就互相牽制從而引起不連續(xù)應(yīng)力。這不連續(xù)應(yīng)力可以看作是由作用在聯(lián)接處的彎矩M0及徑向剪力Q0而產(chǎn)生的，它在聯(lián)接處附近的殼體截面上引起不同的徑向剪應(yīng)力和正應(yīng)力。在殼壁的圓周方向，這正應(yīng)力包括因殼體直徑被縮?。ɑ蛟龃螅┒a(chǎn)生的壓縮（或拉伸）應(yīng)力σc和由于殼壁產(chǎn)生縱向彎曲而引起的環(huán)向彎曲應(yīng)力σθb，在殼壁的經(jīng)向（縱向、軸向），則只是由于殼壁的彎曲而產(chǎn)生的縱向彎曲應(yīng)力σmb。圓筒體與封頭聯(lián)接組成的容器的應(yīng)力

由于彎矩M0及徑向剪力Q0的作用，在距聯(lián)接處為x的殼體截面上每單位圓周長度的彎矩為M。而沿經(jīng)線方向，筒壁每單位圓周長度的抗彎模量為W=δ2/6，因此在殼體聯(lián)接處附近的任意截面（距聯(lián)接處為x）上的經(jīng)向合成應(yīng)力即為：圓筒體與封頭聯(lián)接組成的容器的應(yīng)力由于彎矩M0及徑向剪力Q0的作用，在距聯(lián)接處為x的殼體產(chǎn)生的半徑縮?。ㄔ黾樱┲禐閥。所以由此而產(chǎn)生的環(huán)向壓縮（拉伸）應(yīng)力σc即為，而由于縱向彎曲而產(chǎn)生的環(huán)向彎曲應(yīng)力σθb為，因此在距聯(lián)接處為x的殼體截而上的環(huán)向合成應(yīng)力即為：圓筒體與封頭聯(lián)接組成的容器的應(yīng)力公式中的彎矩M及徑向形變（即殼體縱向微條的撓度）y決定于作用在聯(lián)接處的彎矩M0及徑向剪力Q0。由于兩個(gè)殼體聯(lián)接時(shí)必須受到以下兩個(gè)特殊條件的限制，即：①在聯(lián)接處，圓筒體與封頭的徑向總形變（即由于壓力而引起的半徑增量與由于殼體互相牽制而產(chǎn)生的撓度之和）必須相等；②在聯(lián)接處，圓筒體與封頭的總彎曲變形曲線的斜率（角轉(zhuǎn)移）也必須相等。因此建立兩個(gè)只包括未知數(shù)M0及Q0的等式，并聯(lián)解這二元一次方程組即可求得M0及Q0。上面用以計(jì)算殼體聯(lián)接處附近的撓度、斜率、彎矩及剪力等公式雖然都是建立在圓筒形殼體的基礎(chǔ)上的，但在薄壁容器中，這種由于殼體聯(lián)接的相互牽制而產(chǎn)生的彎曲變形是局部的，受其影響而引起不連續(xù)應(yīng)力只存在于聯(lián)接處附近的一個(gè)很窄小的區(qū)域范圍內(nèi)。對(duì)于球形、橢球形或圓錐形封頭，在這樣一個(gè)窄短的范圍中，在形狀上可以看作為一個(gè)圓筒體。因此上面這些計(jì)算公式也適用這些封頭在聯(lián)接處附近的窄小區(qū)域的近似計(jì)算。圓筒體與封頭聯(lián)接組成的容器的應(yīng)力圓筒體與封頭聯(lián)接組成的容器應(yīng)力計(jì)算的步驟如下：第一步：把圓筒體與封頭看作是在聯(lián)接處分離開的獨(dú)立殼體；第二步：把圓筒體與封頭的有關(guān)系數(shù)如：β、D以及由它們組成的公式中Q0及M0項(xiàng)的系數(shù)先計(jì)算出來；第三步：分別計(jì)算出圓筒體與封頭由于壓力的作用而產(chǎn)生的徑向形變及斜率（角轉(zhuǎn)移）；第四步：令在聯(lián)接處圓筒體的徑向總形變（包括由于壓力產(chǎn)生的和由彎矩M0及徑向剪力Q0引起的徑向形變）與封頭總形變相等，并令在聯(lián)接處圓筒體的總彎曲變形曲線的斜率與封頭的總彎曲斜率相等，并聯(lián)解這兩等式而求得M0及Q0；第五步：根據(jù)M0，Q0寫出距聯(lián)接處為x的殼體截面上的彎矩方程式；第六步：寫出距聯(lián)接處x的殼體截面上合成應(yīng)力的方程式；第七步：求出最大的徑向合成應(yīng)力和環(huán)向合成應(yīng)力以及所在的位置，必要時(shí)應(yīng)繪出應(yīng)力變化曲線。圓筒體與半球形封頭聯(lián)接一般取圓筒體與半球形封頭具有相同的厚度δ。令：R——圓筒體與半球封頭的半徑；δ——圓筒體與半球封頭的壁厚；p——容器內(nèi)的壓力；M0——在聯(lián)接處的單位圓周長度的彎矩；Q0——在聯(lián)接處的單位圓周長度的徑向剪力。M0、Q0的方向假定如圖。圓筒體與半球形封頭聯(lián)接圓筒體在內(nèi)壓p作用下：經(jīng)向應(yīng)力：環(huán)向應(yīng)力：環(huán)向相對(duì)形變亦即半徑的相對(duì)形變?yōu)椋簣A筒體的半徑增量為：圓筒體與半球形封頭聯(lián)接半球形封頭在內(nèi)壓p作用下：經(jīng)向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力均為:環(huán)向相對(duì)形變亦即半徑相對(duì)形變?yōu)?半球形封頭的半徑增量為:

圓筒體與半球形封頭聯(lián)接在聯(lián)接處，圓筒體由于彎矩M0及徑向剪力Q0而產(chǎn)生的撓度、斜率:半球封頭由于彎矩M0及徑向剪力Q0而產(chǎn)生的撓度、斜率，因?yàn)檫@種彎曲變形只局限在很短的一段筒節(jié)中，所以也可上式求得，因?yàn)镽，δ與圓筒體相同，則它的撓度和斜率應(yīng)分別為：圓筒體與半球形封頭聯(lián)接在聯(lián)接處圓筒體與封頭的總彎曲變形曲線的斜率必相等：得：所以M0=0

在聯(lián)接處圓筒體與封頭的徑向總形變必相等：得：（正值，說明假設(shè)方向是正確的）圓筒體與半球形封頭聯(lián)接在與聯(lián)接處距離為x的任意截面的撓度及彎矩求得：圓筒體的經(jīng)向合成應(yīng)力：圓筒體的環(huán)向合成應(yīng)力：圓筒體與半球形封頭聯(lián)接

經(jīng)向合成應(yīng)力的第二項(xiàng)彎曲應(yīng)力與函數(shù)值A(chǔ)2=e-βxsinβx有關(guān)，A2在βx=π/4取得最大值，即在時(shí)應(yīng)力最大；

環(huán)向合成應(yīng)力與函數(shù)A2，A4之值有關(guān)，約在βx=π/2處有最大值。半球形封頭應(yīng)力計(jì)算方法相同，但環(huán)向合成應(yīng)力第一項(xiàng)應(yīng)為球體薄膜應(yīng)力，第二項(xiàng)取正值，因?yàn)閺较蚣袅κ顾陌霃皆龃蟆A筒體與等厚的半球封頭聯(lián)接，其不連續(xù)應(yīng)力和范圍都較小，如采用塑性好的材料（碳鋼