復(fù)旦力學(xué)謝錫麟2016315知識(shí)要

f(xy0Rn定義1.1(向量值映照極限).向量值映照極限為向量值映照的一種局部行為,記為

f(x)y0Rn,Cauchy??ε> ?δε> 滿(mǎn)足：|f(x)?y0|Rn< ?x∈Bδε(x0)∩DfHeine敘

xn}n∈NDf xnx0 有：f(xn→y01.1(向量值映照極限的等價(jià)性敘述).CauchyHeine敘述(1)CauchyHeine敘述.xp}p∈N?Rm,xpx0Rm,需證f(xp)→y0∈Rn,則按Cauchy敘述,有?ε0,δε>0,成立f(xBε(y0),xBδε(x0xpx0Rm,?NδεN,成立xpBδε(x0Dx,p>Nδε故有f(xpBε(y0)pNδε亦即f(xpy0(2)HeineCauchy敘述利用反證法Cauchy敘述不成立,?ε0δ0?xδBδ(x0Dx滿(mǎn)足f(xδ/Bεδp=1,xp?Bδ(x0Dx滿(mǎn)足f(xp)/Bε(y0).Dx\{x0}?xp→x0∈Rm, Heine敘述有f(xp)→y0∈Rn,故產(chǎn)生1.2(Cauchy收斂原理).(Rn|·|Rn)為完備的賦范線性空間,

f(x)=y0∈

??ε> ?δε> |f(?f(?)|Rn 證明(1)充分性.現(xiàn)有

f(xy0Rn,Cauchy敘述?ε0δε0成立|f(xy0|Rnε,xBδε(x0Df故有對(duì)?x,x∈ (x)∩D,e

|f(x)?y +|f(x)?y <ε+ε=bf(efb 0 0?(b)|Rnx,xxp}RmDx\{x0},xpx0Rm,則NδεN,成立0<|xpx0|Rm<δε,p>Nδε故|f(xp)?f(xq)|Rn<ε,?p,q>Nδε亦即{f(xp)}p∈NRn為基本點(diǎn)列.再由(Rn|·|Rn為完備的賦范線性空間因此{(lán)f(xp)}p∈NRn收斂.\{x},xxRm有f(xy{xp b?{xp}?e0b0

\{x},xxRm有f(x px p=p

∈xb2k?1,p=2k?{xp}?Df\{x0},滿(mǎn)足xp→x0∈Rm.故有f(xp)→y0∈Rn.由于收斂點(diǎn)列的所有子列均,b0有

f(x)=y0∈定義1.2(向量值映照的連續(xù)性x

mf(x)=f(x0)∈Rn,f(x0)x0Df點(diǎn)連續(xù)1.3(基本分析性質(zhì)).類(lèi)比于一元函數(shù)極限,向量值映照極限亦具有如下基本性質(zhì)

x→x0∈R

f(x)=y0∈n 則有0

=m f(x)=z∈m局部有界性如果 f(x)=y0∈Rn,則??M,δM∈+,s.t.|f(x)|Rm≤ ?x∈ (x)∩ 多元函數(shù)極限的保號(hào)性保號(hào)性具有二個(gè)方面:(1)如果

f(x0?λ?有f(x)>0,?x∈Bλ(x0)∩Df;(2)

f(x)∈R,?λ∈+?f(x)>(或≥)0,?x∈Bλ(x0)∩Df,則有

f(x)>多元函數(shù)極限的性設(shè)多元函數(shù)?(x),ψ(x)和θ(x)具有共同的定義域Dx?

?(x)

ψ(x)=y0∈x→x0∈R x→x0∈R 則有

性條件?(x)≤θ(x)≤ ?x∈Bλ(x0)∩θ(x)=定理1.4(復(fù)合映照極限定理).

θ(x)=y0∈ 且滿(mǎn)足“非接觸性條件?:λ0,

Θ(y)=z0∈?θ(Bλ(x0)∩Dθ)?則存在局部復(fù)合,?Θ?θ(x):Bλ(x0)∩Dθ?x7→Θ?θ(x)≡

Θ?θ(x)=z0 ?

Θ(y)∈?證明(1)Bλ0∩Dθ)?DΘ\{y0},顯然成立?(2Heine敘述,xpBλ(x0Dθ,xp→x0由

θ(xy0RnHeine敘述,以及非接觸性條件,DΘ\{y0}?θ(xp)→y0∈?“非接觸性”指,x?x0Rm,θ(x?y0∈又由

Θ(yz0RlHeine敘述,Θ(θ(xp))=Θ?θ(xp)→z0∈綜上,有

Θ?θ(x)=z0∈需,按連續(xù)性的Heine敘述,

Θ(y)=Θ(y0)∈則上述定理中“非接觸性條件”可改為“可接觸性條件?λ>0,有θ(Bλ(x0Dθ)?1.5(存在向量值映照極限等價(jià)于存在各分量極限

f(x)=y0∈

fα(x)=yα∈0aj?b|a?b|Rm ai?bi j=1,···,)1.6(多元函數(shù)極限的四則運(yùn)算).f(x)g(x)Dx.有 則

f(x)=A∈

g(x)=B∈

m(αf+βg)(x)=αA+βB∈m(fg)(x)=AB∈m

(x 此處B?乘積或除法,如果相應(yīng)的函數(shù)都具有極限,則原函數(shù)的極限為相應(yīng)極限的線性組合、乘積或比值.應(yīng)用事 深值得,本知識(shí)點(diǎn)所述的向量值映照的極限定義,Cauchy敘述與Heine敘述的等價(jià)性證明以及映照極限的Cauchy收斂原理,都可以