§1.3BolzanoCauchyP40Ex1.35，6（1（3，9四、CauchyCauchy列的概念（Cauchy列又稱為基本列定義：設(shè)an是一個(gè)數(shù)列，若對(duì)于任意的0N，當(dāng)mNnNan

成立，則稱an是一個(gè)Cauchy列例如q1時(shí)，qn就是一個(gè)Cauchy列。因?yàn)閝n

qn1qm

2qn（m，

qn0，所以對(duì)任意的0N，當(dāng)mnan

Cauchy定理an收斂anCauchy列。Cauchy設(shè)k

A0an是一個(gè)Cauchy所以存在正整數(shù)N1

mN1nN1時(shí)an

k

AK

kK

A取Nmax{N1,K}，則當(dāng)nN,kN時(shí)有

an

A2kkn

anAan發(fā)散存在00，對(duì)任意的N0，總存在nN,m

，使得anam0n（1）

2n

nk

2“0 2kn1

n(n (np1)(n n n

limknk “kn

若數(shù)列ana2a1a3

n

an“bna2a1a3

an

單調(diào)有bnCauchy由an1an

可知an也是Cauchy列

n

a2。

a3a2§1.4P60Ex1.4

x

f(x)A00，當(dāng)0

x

f(xA（1）0

x

f(xf(x0的關(guān)系；（3）與x0

x

f(x)A（1）limx24 （2）

sinx0f1x2 xf1

x

f(x)A0

x

A

u

f(u)A

x

g(x)

，且x

時(shí)，g(x)u0x

f(g(x))A

u

f(u)A10

0u

1時(shí)f(uA對(duì)于上述10

x

g(x)u0xx0時(shí)，g(x)u0，所以00x

時(shí)，有0g(x

1

f(g(xAf(xx0的左側(cè)附近單調(diào)增加（減少）且有上（下）f(xx0的左f(xx0的右側(cè)附近單調(diào)減少（增加）且有上（下）f(xx0

x

f(x)A

n

xnx0(xnx0，都

n

f(xn)Ax

f(x)A0

，

0

x0f(xA0特別地，取

1，得到x滿足nnn

xn

1n

f(xn)A0 （1）

xppq互素（2）f(x)q

q

f(xNote：兩個(gè)整數(shù)互素（互質(zhì)）指的是它們之間除了1之外沒(méi)有其它公共約x0是一個(gè)無(wú)理數(shù)，只要證明對(duì)任意的 f(zn)0

n

znx0(znx0)，都有n

znk

k

f(xk)0

yk

f(yk)

k

1qN0，當(dāng)kNkkfyk)0

f(yk)

n

f(zn)0Notef(x

xppq互素NoteRiemannf(xq

qCauchy

x

f(x存在0，0，當(dāng)0

x1

，0

x2

有f(x1f(x2)

f(x1)f(x2)

f(x1)A

f(x2A設(shè)xn是滿

n

xnx0(xnx0的任意數(shù)列。先證數(shù)列f(xn)是一個(gè)

x

f(x)

f(xn)000f(xf(x)

x

，0

x

對(duì)于上述0

n

xnx0(xnx0N0，當(dāng)nN,m0

xn

，0

xm

，從而

f(xnf(xm)。這說(shuō)明數(shù)列f(xn)是一個(gè)Cauchy列A

n

f(xn0N10

f(xnA取n0maxNN1

0

x0

f(xn0)A

0xx0

時(shí)，有

f(x)A

f(x)f(xn0)

f(xn0A2，故x

f(xx

f(x)不存在的Cauchy準(zhǔn)則：000x,x0x

，0

x

f(xf(x)0Cauchy

x00“取 10，對(duì)01，取x,x02

，則0

x

，且2f(x)f(x)

11120120

“不妨設(shè)

x11x30，取

0

x1，0

x1時(shí)，x x 1

4x1x18L’Hospitalf(x),g(x)（1）x0g(x)

x

g(x)

x

f(x)A()g則x

f(x)g(x)

x

fg(x)

x

g(x)Cauchy

0xx0

f(x)g(x)

0

0xx0

f(x)Ag(x)

，所以存在10,M0xx0x0ff

A

Mfgxx1(x0fgfg(x)fg(x)ffg(x)fg(x)f(x)fg(x)f(x)fg(x)f(x)g(x1)fg(x)[g(x)

f()Ag()f(x1)g(x1)f(x)g(x1)f(x1)g(x)fg(x)[g(x)

f()Ag()g(x) fg(x)MfMfg(x)

ffg(x)

0xx0

g(x)，所以存在20x(x0x02MMffg(x)取min1,2}x(x0xfg(x)

A2

0xx00xx0

f(x)g(x)f(x)g(x)

fg(x)fg(x) ffg(x)fg(x)g(x)

f(x)fg(x)f(x)g(x1)f(x1)g(x)g(x)[g(