2023/2/1第一章誤差理論基礎(chǔ)①等精度測(cè)量：測(cè)量條件不變（完全一致）的一系列重復(fù)測(cè)量。②非等精度測(cè)量：測(cè)量條件不完全一致的一系列重復(fù)測(cè)量。1.1測(cè)量誤差一、常用術(shù)語根據(jù)中華人民共和國計(jì)量器具檢定規(guī)程JJG1001-82（試行）《常用計(jì)量名詞術(shù)語及定義》2023/2/1③真值：被測(cè)量本身所具有的真正的值。在不同的時(shí)間和空間條件下，被測(cè)量的真值往往是不同的。真值是客觀存在的，也是一個(gè)理想的概念，通常不可知，特殊可知（三角形的三角之和180，人為定義）。可以說，被測(cè)對(duì)象的真值是不可知的。④實(shí)際值：是可知的，它趨近于真值，通常用它來代替真值，故亦稱為約定真值。如算數(shù)平均值（由有限次測(cè)量得到），上一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)器具等等，它們的準(zhǔn)確度均高于當(dāng)前測(cè)量值。標(biāo)準(zhǔn)器具及其等級(jí)的概念，如砝碼。實(shí)際值與真值都是獲得測(cè)量誤差的基準(zhǔn)。不過，通常情況下，實(shí)際值往往用于工程計(jì)算，而真值則往往用于理論分析。2023/2/1⑤標(biāo)稱值：測(cè)量器具或元件上標(biāo)明的數(shù)值，亦稱為名義值。如砝碼。⑥示值：測(cè)量器具的讀數(shù)裝置所指示的被測(cè)量的數(shù)值。如電壓表、卡尺、直尺等等。標(biāo)稱值和示值都是實(shí)際測(cè)量出來的數(shù)值，統(tǒng)稱為給出值，亦可稱為測(cè)量值或?qū)崪y(cè)值。⑦測(cè)量誤差：被測(cè)量的給出值與其真值（或?qū)嶋H值）之間的差值，簡稱誤差。任何測(cè)試系統(tǒng)的測(cè)量結(jié)果都有一定的誤差，即所謂精確度。不存在沒有誤差的測(cè)量結(jié)果，也不存在沒有精確度要求的測(cè)試系統(tǒng)。誤差是一項(xiàng)非常重要的技術(shù)指標(biāo)。2023/2/11．按表示方法分類⑴絕對(duì)誤差定義：絕對(duì)誤差＝示值（或標(biāo)稱值）－真值，即Δx＝x－A0

（1-1）式中，x表示被測(cè)量的給出值（示值或標(biāo)稱值），Δx表示絕對(duì)誤差，A0表示被測(cè)量的真值。實(shí)際應(yīng)用中常用實(shí)際值（約定真值）來代替真值，此時(shí)的絕對(duì)誤差也常稱為示值誤差：示值誤差＝給出值（示值或標(biāo)稱值）－實(shí)際值 Δx＝x－A

（1-2）二、誤差分類2023/2/1修正值：絕對(duì)（示值）誤差的負(fù)值C＝－Δx＝A－x

（1-3）檢定→修正值已知→實(shí)際值（砝碼）A＝x＋C

（書中p4的“－”錯(cuò)了） （1-4）有了修正值，就能在測(cè)試過程中得到更為準(zhǔn)確的結(jié)果了。絕對(duì)誤差和修正值均與給出值具有相同的量綱，其大小和符號(hào)分別表示給出值偏離真值的程度和方向。2023/2/1⑵相對(duì)誤差定義：絕對(duì)誤差與被測(cè)量的某一約定值（不是約定真值?。┲?。相對(duì)誤差以百分比的形式表示（無量綱），它往往比絕對(duì)誤差更能確切地說明測(cè)量質(zhì)量，作為一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)，它的使用也往往比絕對(duì)誤差更多。①實(shí)際相對(duì)誤差＝絕對(duì)誤差/實(shí)際值×100% A=Δx/A×100% （1-5）②示值相對(duì)誤差＝絕對(duì)誤差/給出值×100% x=Δx/x×100% （1-6）2023/2/1③

滿度（引用）相對(duì)誤差＝絕對(duì)誤差/滿度值×100%（簡稱：“相對(duì)”二字可省略）m=Δx/xm×100% （1-7）滿度值亦稱為量程。在相對(duì)誤差中，引用誤差是應(yīng)用最多的表示方法。常用電工儀表系列利用最大引用誤差的概念定義了7級(jí)標(biāo)準(zhǔn)：±0.1、±0.2、±0.5、±1.0、±1.5、±2.0、±5.0。⑶容許誤差根據(jù)技術(shù)條件的要求，規(guī)定某一類測(cè)量器具最大允許誤差的范圍。工程上常簡稱為允差。2023/2/12．按誤差的出現(xiàn)規(guī)律分類⑴

系統(tǒng)誤差（系差）在同一條件下，多次測(cè)量同一量值時(shí)，絕對(duì)值和符號(hào)保持不變，或在條件改變時(shí)，按一定規(guī)律變化的誤差稱為系統(tǒng)誤差。變化規(guī)律服從某種已知函數(shù)。表明了偏離真值的程度，故常用正確度（不能稱為準(zhǔn)確度）來表征系統(tǒng)誤差的大小。2023/2/1⑵隨機(jī)誤差（隨差，偶然誤差）在同一條件下，多次測(cè)量同一量值時(shí)，絕對(duì)值和符號(hào)以不可預(yù)定方式變化著的誤差稱為隨機(jī)誤差。造成隨機(jī)誤差的因素很多也很復(fù)雜，往往難以進(jìn)行具體的分析。其變化規(guī)律未知，但服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律，因此可以估計(jì)。隨機(jī)誤差表明了測(cè)量結(jié)果的分散性。常用精密度（簡稱為精度）來表征隨機(jī)誤差的大小。⑶粗大誤差（粗差、寄生誤差）測(cè)量結(jié)果明顯偏離實(shí)際值（約定真值）時(shí)所對(duì)應(yīng)的誤差，該測(cè)量結(jié)果稱為壞值，應(yīng)予舍棄不用。2023/2/1⑷測(cè)量誤差的描述如前所述，系統(tǒng)誤差的大小可以用正確度來表征，隨機(jī)誤差的大小可以用精密度來表征。如果測(cè)量的正確度和精密度均高，則稱為測(cè)量的準(zhǔn)確度高。準(zhǔn)確度亦稱為精確度。正確度系統(tǒng)誤差 精密度隨機(jī)誤差；準(zhǔn)確度＝正確度＋精密度2023/2/1如圖所示（射擊的彈著點(diǎn)）：圖（a）表示正確度較高而精密度很差；圖（b）表示精密度雖較好，但正確度不高；圖（c）表示正確度和精密度都不錯(cuò)，即準(zhǔn)確度高。（a）精密度（b）正確度（c）準(zhǔn)確度2023/2/13．按誤差來源分類⑴工具誤差：測(cè)量工具本身不完善引起的誤差。①讀數(shù)誤差：a.校準(zhǔn)誤差；b.分辨率不高②內(nèi)部噪聲引起的誤差。電子的、機(jī)械的等等。③其他誤差：器件老化、測(cè)試系統(tǒng)條件變化等等。⑵方法誤差（理論誤差）：所依據(jù)的理論本身不嚴(yán)密、采用的測(cè)量方法不完善或被測(cè)量定義不明確等因素引起的誤差。2023/2/14．按被測(cè)量隨時(shí)間的變化分類⑴靜態(tài)誤差：被測(cè)量隨時(shí)間變化很緩慢或基本不變時(shí)的測(cè)量誤差。⑵動(dòng)態(tài)誤差：在被測(cè)量隨時(shí)間變化很快的過程中測(cè)量時(shí)產(chǎn)生的附加誤差。是在動(dòng)態(tài)測(cè)量時(shí)產(chǎn)生的。2023/2/15．按使用條件分類⑴基本誤差：測(cè)試系統(tǒng)在標(biāo)準(zhǔn)條件下測(cè)量時(shí)產(chǎn)生的誤差。測(cè)試系統(tǒng)的精確度是由基本誤差決定的。標(biāo)準(zhǔn)條件也稱為額定條件，通常由國家、地方、企業(yè)等各級(jí)制定的標(biāo)準(zhǔn)文件規(guī)定，如電源電壓220±5%V、電源頻率50±0.5Hz、溫度20±5℃、濕度＜80%等等。⑵附加誤差：使用條件偏離標(biāo)準(zhǔn)條件時(shí)產(chǎn)生的除基本誤差之外的誤差。它們疊加在基本誤差之上。2023/2/16．按誤差與被測(cè)量的關(guān)系分類⑴定值誤差：不隨被測(cè)量變化的誤差。為一定值，既可能是系差，也可能是隨差。⑵累積誤差：誤差與被測(cè)量成比例變化，故此得名Δx＝sx

（1-8）2023/2/1

［例1.1］被測(cè)電壓實(shí)際值大約為21.7V，現(xiàn)有1.5級(jí)、量程為0～30V的A表，1.5級(jí)、量程為0～50V的B表，1.0級(jí)、量程為0～50V的C表，0.2級(jí)、量程為0～360V的D表，四種電壓表，請(qǐng)問選用哪種規(guī)格的電壓表進(jìn)行測(cè)量所產(chǎn)生的測(cè)量誤差較小?

［解］：分別用四種表進(jìn)行測(cè)量由此可能產(chǎn)生的最大絕對(duì)誤差分別如下所示。2023/2/1A表有,B表有,C表有,D表有,

答：四者比較，選用A表進(jìn)行測(cè)量所產(chǎn)生的測(cè)量誤差通常較小。

2023/2/11.2隨機(jī)誤差概率密度的正態(tài)分布只考慮隨機(jī)誤差，獨(dú)立等精度測(cè)量（各次測(cè)量不相關(guān)，但測(cè)量條件完全相同）；共進(jìn)行了150次測(cè)量，得到了分布于11個(gè)不同區(qū)間的測(cè)量值xi及該值屬于某區(qū)間的次數(shù)ni，隨差為i=xi–x0，實(shí)際值（約定真值）x0＝5.26；誤差等間隔值Δxi＝Δi＝0.01；由p7表1-1，以頻率ni/n為縱坐標(biāo)，隨差δi為橫坐標(biāo)，可得頻率直方圖（亦稱為統(tǒng)計(jì)直方圖），如p7圖1-1和圖1-2所示。一、頻率直方圖圖1-1隨機(jī)誤差的頻率直方圖圖1-2隨機(jī)誤差的概率密度分布曲線2023/2/1當(dāng)n→∞時(shí)，Δδi→dδ，ni→dn，則可定義隨機(jī)誤差的概率密度為:（1-9）頻率直方圖變?yōu)閳D1-2（p7）所示的f(δ)－δ的光滑曲線。概率元（陰影Ⅰ的面積）f(δ)dδ＝dn/n，即:P{δ，δ＋dδ}＝f(δ)dδ （1-10）概率分布函數(shù)定義為（圖1-2陰影Ⅱ的面積）（1-11）2023/2/1概率密度f(δ)與其分布概率函數(shù)F(δ)互為微積分關(guān)系，即f(δ)＝F'(δ)。F(δ)的統(tǒng)計(jì)特性：⑴對(duì)稱性：對(duì)稱于縱軸。⑵抵償性：當(dāng)測(cè)量次數(shù)n→∞時(shí)，全體誤差的代數(shù)和為0，即正、負(fù)誤差相互抵消。⑶單峰性：絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差的概率密度大，且有f(0)＝fmax(δ)。⑷有界性：實(shí)際上，絕對(duì)值很大的誤差幾乎不會(huì)出現(xiàn)，故可認(rèn)為隨差具有一定的界限（注意：理論上是無界的，但實(shí)際上一定是有界的）。2023/2/1其中，令σ為均方根誤差（標(biāo)準(zhǔn)偏差），為精密度指數(shù)，它們決定了正態(tài)分布曲線的形狀，如圖1-3（p9）所示:

根據(jù)概率論的中心極限定理可知，隨差服從正態(tài)分布:(1-14)二、概率密度的正態(tài)分布2023/2/10 σ<σ<σ δσ<σ<σh＞h＞h拐點(diǎn)f(δ)圖1-3隨機(jī)誤差的正態(tài)分布曲線2023/2/1除了前述的4個(gè)特點(diǎn)外，還有以下幾個(gè)特點(diǎn)。⑴標(biāo)準(zhǔn)偏差σ越?。淳芏戎笖?shù)h越大），則正態(tài)分布曲線越陡，即小誤差的概率密度越大。這意味著小誤差出現(xiàn)的概率更大，測(cè)量值更集中、即測(cè)量精密度更高。故σ的大小表明了測(cè)量值的離散性，等精度測(cè)量就是一種σ值相同的測(cè)量。⑵令f(δ)＝0，可得峰點(diǎn)坐標(biāo)：δ＝0（xi＝x0），f(0)＝fmax(δ)＝1/(σ)2023/2/1最后需要指出的是，并非所有的隨機(jī)誤差都服從正態(tài)分布。⑶

令f(δ)＝0，可得拐點(diǎn)fg(δ)的坐標(biāo)：δ＝±σ，fg(δ)＝f(±σ)＝1/(σ )⑷

隨機(jī)誤差在區(qū)間（－，＋）取值的概率為1，即

P{－，＋}＝2023/2/1若以測(cè)量值x作為隨機(jī)變量，則它與隨差一樣，也服從正態(tài)分布，且其概率密度為:曲線如右圖所示?？梢?，減去真值之后（即δ＝x－x0）就是隨機(jī)誤差的正態(tài)分布曲線。被測(cè)量的真值x0及標(biāo)準(zhǔn)偏差σ為測(cè)量值正態(tài)分布中的兩個(gè)重要特征量，它們決定了正態(tài)分布曲線的形狀。fmax(x)f(x)x0-σ x0

x0+σ

x1.3算術(shù)平均值與標(biāo)準(zhǔn)偏差2023/2/1由上式說明，數(shù)學(xué)期望就是全體測(cè)量值依概率的平均數(shù)。將正態(tài)分布式（1-15）代入式（1-17）積分后可得Mx＝x0，即全體測(cè)量值的數(shù)學(xué)期望就是測(cè)量值的真值，這是正態(tài)分布的重要特征之一。一、算數(shù)平均值與數(shù)學(xué)期望算數(shù)平均值公理：以等精度測(cè)量列的平均值作為測(cè)量結(jié)果。那么，算數(shù)平均值x與真值x0之間有什么關(guān)系呢？由概率論可知，數(shù)學(xué)期望定義為隨機(jī)變量的一階原點(diǎn)矩，它表示了隨機(jī)變量的中心位置，即2023/2/1通常，測(cè)量值往往是離散型隨機(jī)變量，此時(shí)的f(x)當(dāng)然也不是連續(xù)的，故數(shù)學(xué)期望為當(dāng)測(cè)量次數(shù)n→∞時(shí)，得到的所有可能測(cè)量值（無限測(cè)量列）的總體稱為母體。實(shí)際測(cè)量均是有限的，測(cè)量中只能得到母體的若干測(cè)量值（有限測(cè)量列），稱之為子樣。2023/2/1當(dāng)n→∞時(shí)，有限測(cè)量列→無限測(cè)量列，子樣→母體。由正態(tài)分布的抵償性，且考慮到隨差δi＝xi－x0，則：即當(dāng)n→∞時(shí)，x→x0。因此，子樣的算數(shù)平均值x就是被測(cè)量真值x0的最佳估值＾x0，即通常，在進(jìn)行誤差處理時(shí)，以子樣的算數(shù)平均值x作為約定真值代替母體的真值x0，以子樣的殘余誤差（測(cè)量值與約定真值之差，簡稱為殘差）vi＝xi－x代替母體的測(cè)量誤差δi＝xi－x0。2023/2/1方差定義為隨機(jī)變量ζ的二階中心矩，表征了隨機(jī)變量相對(duì)于數(shù)學(xué)期望的離散程度。對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，母體的方差為（右邊的式子展開后，中間一項(xiàng)積分為Mζ）二、方差與標(biāo)準(zhǔn)偏差2023/2/1對(duì)于全體測(cè)量值來說，母體的方差Dx表征了測(cè)量值相對(duì)于其真值x0的離散程度。方差越小，正態(tài)分布曲線越陡峭，表明測(cè)量誤差越小、測(cè)量精密度越高。∵ (1-22)∴ σ＝Dx→即標(biāo)準(zhǔn)偏差是方差的均方根值→故亦稱為均方根誤差。對(duì)于等精度無限測(cè)量列，即離散型隨機(jī)變量，母體的均方根誤差可表示為（理論表達(dá)式）2023/2/1對(duì)于子樣，標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算略有不同（實(shí)際應(yīng)用，工程表達(dá)式）：①當(dāng)真值（或約定真值）x0已知（如象砝碼那樣的上一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)器具的值）時(shí)，可參考上式計(jì)算，僅n為有限值（不取極限）；②當(dāng)真值（或約定真值）x0未知時(shí)，必須以子樣的算數(shù)平均值x代替真值x0（最佳估值x＝?x0），以殘差vi代替測(cè)量誤差δi。因此，不能再用上式計(jì)算。n次測(cè)量有n個(gè)自由度，因?yàn)橛?jì)算x已失掉1個(gè)自由度，所以測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差的估值如下：（貝塞爾公式）2023/2/1當(dāng)n→∞時(shí)，（n－1）→n，子樣→母體，?σ→σ，于是，子樣和母體的計(jì)算公式就趨于一致了。母體的均方根誤差σ稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，子樣的均方根誤差?σ稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值。當(dāng)n較小時(shí)，必須用貝塞爾公式計(jì)算σ值。由于測(cè)量次數(shù)有限，因此x與x0仍有一定的誤差。可以證明，算數(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差?S是測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差?σ的1/n倍，即2023/2/1式中，殘差vi＝xi－x。?S是隨n的增加而減小的，?S的變化比n慢，當(dāng)n≥50時(shí)，?S減小的效果就不明顯了。故通常取n為10～20即可，實(shí)際應(yīng)用中的測(cè)量次數(shù)很少會(huì)超過50次。下面介紹貝塞爾公式的另一種形式。當(dāng)n較大時(shí)，用該式計(jì)算比較方便?？紤]到 x＝(1/n)xi，由式（1-24）可得：2023/2/12023/2/1若xi值太大，可任選一與xi接近的B，作變換：yi＝xi－B，∵yi－y＝xi－x＝vi，∴有優(yōu)點(diǎn)：①由于不需要事先求出算數(shù)平均值，因此在實(shí)際計(jì)算中，不會(huì)因求算數(shù)平均值時(shí)除不盡而產(chǎn)生舍入誤差；②在舍棄壞值之后（后面§1.5將介紹），不需要重復(fù)計(jì)算每個(gè)vi及vi2值，大大簡化了計(jì)算；③在設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)應(yīng)用系統(tǒng)時(shí)（如利用單片機(jī)），由于計(jì)算更簡單、且不需要準(zhǔn)備n個(gè)單元來存放所有測(cè)量值xi，因而有效地節(jié)約了計(jì)算機(jī)內(nèi)存單元。2023/2/11.4置信區(qū)間與置信概率置信區(qū)間：定義為隨機(jī)變量的取值范圍，用符號(hào)±l或（－l～＋l）來表示。由于標(biāo)準(zhǔn)偏差σ是正態(tài)分布的重要特征，因此常以均方根誤差σ的倍數(shù)來表示置信區(qū)間：±l＝±Zσ

。其中，Z稱為置信系數(shù)（常取整數(shù)，但也可以取小數(shù)），l＝Zσ稱為置信限。置信概率：隨機(jī)變量ζ在置信區(qū)間（－l～＋l）內(nèi)取值的概率，其表示方法為（σ為常量）2023/2/1置信區(qū)間和置信概率二者結(jié)合起來稱之為置信度，即可信程度。由此可見，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度正確說明一個(gè)測(cè)量結(jié)果，必須指明其可信程度——即必須同時(shí)給出置信區(qū)間和置信概率這兩個(gè)重要指標(biāo)。置信水平（亦稱顯著性水平）：隨機(jī)變量ζ在置信區(qū)間以外取值的概率，即(Z)＝1－(Z)＝P{||＞Zσ} （1-28）2023/2/1正態(tài)分布的置信區(qū)間和置信概率如右圖所示。顯然，置信區(qū)間越寬，置信概率就越大，隨機(jī)誤差的范圍也越大，對(duì)測(cè)量準(zhǔn)確度的要求就越低；反之，置信區(qū)間越窄，置信概率就越小，隨機(jī)誤差的范圍也越小，對(duì)測(cè)量準(zhǔn)確度的要求就越高。f(δ)置信概率P=φ(Z)=1-α圖1-5置信區(qū)間與置信概率置信區(qū)間±l

δ0.5α0.5α2023/2/1下面討論：當(dāng)置信區(qū)間取不同大小時(shí)，或者說當(dāng)均方根誤差σ一定、置信系數(shù)Z取不同的典型值時(shí)，置信概率有多大，它們有什么意義。當(dāng)置信區(qū)間為±l＝±Zσ時(shí)，正態(tài)分布的置信概率為：做變量代換，令δ＝Zσ，則dδ＝σdZ，積分限由0～Zσ變?yōu)?～Z，故有：2023/2/1此即表示置信概率的拉普拉斯函數(shù)，它是置信系數(shù)Z的函數(shù)。當(dāng)已知標(biāo)準(zhǔn)偏差σ時(shí)，置信度——即置信區(qū)間和置信概率就由拉普拉斯函數(shù)給出了。下表是一組典型值，注意Z取典型值的幾個(gè)特殊情況。Z

置信區(qū)間

置信概率

置信水平

1±σ

(Z)＝P{|δ|≤σ}＝0.6827≈2/3(Z)＝0.3173≈1/32±2σ

(Z)＝P{|δ|≤2σ}＝0.9545≈21/22(Z)＝0.0455≈1/223±3σ

(Z)＝P{|δ|≤3σ}＝0.9973≈369/370(Z)＝0.0027≈1/370通常將2σ或3σ稱為極限誤差（最大可能出現(xiàn)誤差）：＝δlim＝2σ或3σ2023/2/11.5粗差的判別準(zhǔn)則根據(jù)“統(tǒng)計(jì)法”來判別：給出一個(gè)置信水平值，常給定α＝0.05或0.01，然后確定相應(yīng)的置信區(qū)間，在置信區(qū)間外的誤差即為粗差，它所對(duì)應(yīng)的測(cè)量值即為壞值，應(yīng)予舍棄。設(shè)有一等精度獨(dú)立測(cè)量列xi（i＝1，2，…，n），其算數(shù)平均值為x，殘差為vi＝xi－x；按貝塞爾公式計(jì)算出的測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為σ，取極限誤差為3σ，則拉依達(dá)準(zhǔn)則（通常亦稱為3σ準(zhǔn)則）可由下式表示：|vb|＝|xb－x|＞3σ

（1-31）

一、拉依達(dá)準(zhǔn)則（3σ準(zhǔn)則）2023/2/1式中，b為整數(shù)且1≤b≤n，xb為壞值，vb為壞值的殘差，x為包括壞值在內(nèi)的全部測(cè)量值的算數(shù)平均值，3σ為準(zhǔn)則的判別值。使用3σ準(zhǔn)則需要注意以下幾點(diǎn)：①計(jì)算σ值時(shí)也應(yīng)包括壞值的殘差vb在內(nèi)，因?yàn)榇藭r(shí)尚不知道哪個(gè)值是壞值。②建議采用式（1-26）所示的貝塞爾公式計(jì)算σ。③舍棄1個(gè)壞值后應(yīng)重新應(yīng)用拉依達(dá)準(zhǔn)則檢查，直至無新的壞值出現(xiàn)為止。拉依達(dá)準(zhǔn)則簡便易用，應(yīng)用廣泛。但在理論上它是基于重復(fù)測(cè)量次數(shù)n→∞的，故當(dāng)n較小時(shí)就不夠可靠了，此時(shí)應(yīng)采用下面的格拉布斯準(zhǔn)則。2023/2/1格拉布斯準(zhǔn)則也是基于正態(tài)分布理論的，并考慮了測(cè)量次數(shù)n及標(biāo)準(zhǔn)偏差本身有誤差等影響因素，理論上比較嚴(yán)格，使用也比較方便。它利用了置信水平（顯著性水平）α。格拉布斯準(zhǔn)則：凡大于格拉布斯鑒別值（與3σ準(zhǔn)則不同之處）的殘差視為粗差。即|vb|＝|xb－x|＞[g(n,α)]?σ

（1-32）式中，n為測(cè)量次數(shù)，α為顯著性水平，[g(n,α)]?σ為格拉布斯鑒別值，g(n,α)為格拉布斯準(zhǔn)則判別系數(shù)，它與測(cè)量次數(shù)n和顯著性水平α有關(guān)，如下表所示。二、格拉布斯準(zhǔn)則2023/2/1α

n0.050.01α

n0.050.01α

n0.050.0131.151.15142.372.66252.663.0141.461.49152.412.71302.75—51.671.75162.442.75352.82—61.821.94172.472.79402.87—71.942.10182.502.82452.92—82.032.22192.532.85502.96—92.112.32202.562.88603.03—102.182.41212.582.91703.09—112.232.48222.602.94803.14—122.292.55232.622.96903.18—132.332.61242.642.991003.21—表1-3格拉布斯準(zhǔn)則判別系數(shù)g(n,α)2023/2/1下面，通過一個(gè)例子來具體討論一下粗差的判別與壞值的舍棄方法。例1-1

n＝16，取α＝0.05。注意：書上p17下面的印刷有3處錯(cuò)誤，分別為：①表1-4中第6列第12行的－0.23應(yīng)為－0.21；②倒數(shù)第4行的公式中，中括號(hào)中的內(nèi)容應(yīng)該再除以（15－1）；③倒數(shù)第3行的第2個(gè)“按拉依達(dá)準(zhǔn)則復(fù)查”應(yīng)改為“按格拉布斯準(zhǔn)則復(fù)查”。解：先作變換，令yi＝xi－39.50，列表計(jì)算如下。三、粗差判別舉例2023/2/1ixiyiy2ivi①vi②139.44－0.060.0036－0.18－0.12239.27－0.230.0529－0.35－0.29339.940.440.19360.320.38439.44－0.060.0036－0.18－0.12538.91－0.590.3481－0.71－0.65639.690.190.03610.070.13739.48－0.020.0004－0.14－0.08840.561.061.12360.94—939.780.280.07840.160.22表1-4（p17）：2023/2/1續(xù)前表：1039.680.180.03240.060.121139.35－0.150.0225－0.27－0.211239.710.210.04410.090.151339.46－0.040.0016－0.16－0.101440.120.620.38440.500.561539.760.260.06760.140.201639.39－0.110.0121－0.23－0.17計(jì)算①Σy①

1.980.1242.4050.060計(jì)算②Σy②

0.920.0611.28142023/2/1由式（1-26）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差（表1-4的計(jì)算①，n＝16）：⑴按3σ準(zhǔn)則判別計(jì)算殘差：平均值y＝0.124，vi＝y(tǒng)i－y＝y(tǒng)i－0.124；列入表1-4中。鑒別值為3?σ1＝1.14。檢查結(jié)果表明，沒有任何一個(gè)測(cè)量值的殘差的絕對(duì)值超過判別值3?σ1，即對(duì)于所有的i，均有|vi|＝|yi－y|＝|yi－0.124|＜3?σ1＝1.14第一次檢查這組測(cè)量數(shù)據(jù)未發(fā)現(xiàn)粗差及壞值。2023/2/1⑵按格拉布斯準(zhǔn)則判別由于取α＝0.05，故由表1-3可查得格拉布斯準(zhǔn)則的判別系數(shù)為g(n,α)＝g(16，0.05)＝2.44。于是，可得格拉布斯鑒別值為g(n,α)?σ1＝2.44×0.38＝0.927≈0.93。由前面的殘差計(jì)算結(jié)果可見，第8個(gè)殘差v8的絕對(duì)值超過了鑒別值0.93，即|v8|＝|y8－y|＝|1.1236－0.124|＝0.936≈0.94＞0.93因此，v8為粗差，第8個(gè)測(cè)量值x8為壞值，應(yīng)予舍棄。舍棄后應(yīng)進(jìn)一步檢查計(jì)算?？梢姡?σ準(zhǔn)則判斷沒有發(fā)現(xiàn)的壞值，被格拉布斯準(zhǔn)則發(fā)現(xiàn)了。2023/2/1第二次計(jì)算（表1-4的計(jì)算②）：去掉了壞值x8之后，還剩下15個(gè)數(shù)據(jù)，即n＝15。首先重新計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差（下式中?σ2的下標(biāo)2表示第二次計(jì)算）：注意小數(shù)部分最后一位的“0”，下同。⑴按3σ準(zhǔn)則判別重新計(jì)算殘差：平均值y＝0.061，vi＝y(tǒng)i－y，列入表1-4中。鑒別值為3?σ2＝0.90。檢查結(jié)果表明，沒有任何一個(gè)測(cè)量值的殘差的絕對(duì)值超過判別值3?σ2＝0.90，即對(duì)于所有的i，均有|vi|＝|yi－y|＜3?σ1＝0.90因此，第二次檢查這組測(cè)量數(shù)據(jù)未發(fā)現(xiàn)粗差及壞值。2023/2/1⑵按格拉布斯準(zhǔn)則判別由于取α＝0.05，故由表1-3可查得格拉布斯準(zhǔn)則的判別系數(shù)為g(n,α)＝g(15，0.05)＝2.41。于是，鑒別值為g(n,α)?σ2＝2.41×0.30＝0.723≈0.72檢查結(jié)果表明，沒有任何一個(gè)測(cè)量值的殘差的絕對(duì)值超過鑒別值0.72，即對(duì)于所有的i，均有

|vi|＝|yi－y|＝|yi－0.061|＜0.72因此，第二次檢查這組測(cè)量數(shù)據(jù)亦未發(fā)現(xiàn)粗差及壞值。至此，粗差判別結(jié)束，全部測(cè)量值中僅x8為壞值，應(yīng)予舍棄。2023/2/1由上述計(jì)算過程可見，使用式（1-26）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差?σ比使用式（1-24）計(jì)算的確具有明顯的優(yōu)越性：①避免了求算數(shù)平均值時(shí)除不盡而引入的舍入誤差；②在舍棄壞值之后，又避免了重復(fù)計(jì)算每個(gè)vi及vi2值的麻煩。這里需要注意的是，雖然在判斷過程中也計(jì)算了算數(shù)平均值x和殘差vi，但這個(gè)計(jì)算與標(biāo)準(zhǔn)偏差＾σ的計(jì)算是無關(guān)的，它們的舍入誤差只與其本身有關(guān)，并不影響其它參數(shù)的計(jì)算。同時(shí)，也不需要計(jì)算vi2值。由此可見，這種計(jì)算方法使得測(cè)量值的處理具有更高的準(zhǔn)確度，即具有更小的數(shù)據(jù)處理誤差。2023/2/11.6系統(tǒng)誤差1．恒定系差大小和符號(hào)恒定不變的系差。又可分為恒正系差和恒負(fù)系差。恒定系差用前述處理隨機(jī)誤差（偶然誤差）的方法是難以發(fā)現(xiàn)的。一、分類2023/2/1例如，對(duì)于某一等精度測(cè)量列x1，x2，…，xn，考慮到隨機(jī)誤差時(shí)，無恒定系差時(shí)的算術(shù)平均值為殘差為vi＝xi－x；存在恒定系差ε時(shí)的算術(shù)平均值為此時(shí)的殘差為vi＝xi－x＝(xi＋ε)－(x＋ε)＝vi。于是可見，無恒定系差和有恒定系差時(shí)的殘差vi值是完全相同的。標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的情況也是如此。2023/2/12．變值系差按照已知的一定規(guī)律變化的系差。根據(jù)變化特點(diǎn)，還可分為以下幾類。⑴累積（累進(jìn)）系差。隨時(shí)間增長誤差逐漸加大或減少的系差；線性系差，非線性系差。⑵周期系差。在測(cè)量過程中，大小和符號(hào)均按一定周期變化的系差。⑶復(fù)雜變值系差。即變化規(guī)律尚不清楚的系差。有時(shí)會(huì)向隨機(jī)誤差轉(zhuǎn)化，可按隨機(jī)誤差處理。2023/2/1產(chǎn)生系差的原因：①客觀原因測(cè)量儀器、系統(tǒng)或測(cè)量方法不完善；②主觀原因儀表使用不當(dāng)、環(huán)境條件不滿足要求、經(jīng)驗(yàn)及技術(shù)水平不足、操作不細(xì)心等等。2023/2/1最根本的還是要做好測(cè)量前的準(zhǔn)備工作——防患于未然，以消除系差的來源。首先，應(yīng)檢查測(cè)量儀器本身的性能是否符合要求。其次，應(yīng)仔細(xì)檢查儀器是否處于正常工作條件下。此外，還要檢查測(cè)量系統(tǒng)和測(cè)量方法本身是否正確，等等。測(cè)量過程中為減少和消除系差常用的幾個(gè)方法如下。二、消除方法2023/2/11．交換法將引起系差的某些條件相互交換，并保持其它條件不變，使產(chǎn)生系差的因素對(duì)測(cè)量結(jié)果起相反作用，從而抵消系差。例如，當(dāng)機(jī)械天平兩臂的長度不相等時(shí)，會(huì)帶來測(cè)量誤差，如果交換砝碼和被測(cè)物的位置，即可抵消這一誤差。2．換向法也稱為上下讀數(shù)法。機(jī)械式測(cè)量機(jī)構(gòu)的空程或間隙等影響會(huì)造成測(cè)量誤差，取上行讀數(shù)和下行讀數(shù)的平均值即可消除這一類誤差。2023/2/13．校準(zhǔn)法用上一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)器具檢定。對(duì)恒定系差定期檢定即可，對(duì)累積系差則須經(jīng)常標(biāo)定。4．補(bǔ)償法某項(xiàng)測(cè)量條件的變化或儀器某個(gè)環(huán)節(jié)的非線性會(huì)引入變值系差，此時(shí)可采取補(bǔ)償措施，自動(dòng)消除系差。例如，環(huán)境溫度的變化是最常見的影響測(cè)量準(zhǔn)確度的主要因素，采用溫度補(bǔ)償措施即可消除溫度變化所帶來的系差。2023/2/11．恒定系差的估計(jì)設(shè)n個(gè)測(cè)量值為xi（i＝1，2，…，n），其算數(shù)平均值為x，真值為x0，則測(cè)量誤差（即絕對(duì)誤差）為δi＝xi－x0＝(xi－x)＋(x－x0)＝vi＋ε

（1-33）式中，ε為測(cè)量過程的恒定系差，由式（1-33），它可表示為ε＝i－vi

（1-34）三、估計(jì)方法2023/2/1考慮到所有殘差之和為0，（由殘差定義vi＝xi－x，兩邊同時(shí)取i個(gè)值之和即可得此結(jié)論，是殘差的重要性質(zhì)）并在式（1-34）兩邊求平均值，于是可得上式表明，測(cè)量值真誤差的平均值δ就是測(cè)量過程中的恒定系差，其修正值為：C＝－ε＝－δ

（1-36）

2023/2/12．變值系差的估計(jì)為了較精確地估計(jì)變值系差的影響，往往采用解析或?qū)嶒?yàn)方法找出其變化規(guī)律。然而在很多情況下難以找到變值系差的數(shù)學(xué)模型；同時(shí)，在準(zhǔn)確度要求不高的情況下也沒有必要找到精確的數(shù)學(xué)模型。此時(shí)，只要估計(jì)出變值系差的下限值a和上限值b即可。設(shè)a＜b，可將變值系差分為兩部分：ε＝(b＋a)/2，e＝(b－a)/2 （1-37）式中，ε稱為變值系差的恒定部分，e稱為變值系差的變化部分，用來估計(jì)系差的變化范圍。2023/2/11.7誤差的傳遞及誤差的合成與分配1．誤差的傳遞：間接測(cè)量的需要。例如測(cè)量某一物質(zhì)的比重，首先要測(cè)量該物質(zhì)樣品的質(zhì)量，其次還要測(cè)量該樣品的體積，然后再用公式“質(zhì)量÷體積”來計(jì)算該物質(zhì)的比重?！百|(zhì)量”和“體積”的測(cè)量都是直接測(cè)量，而“比重”的測(cè)量就是間接測(cè)量?！氨戎亍钡臏y(cè)量誤差是由“質(zhì)量”的測(cè)量誤差和“體積”的測(cè)量誤差共同決定的。確定間接測(cè)量誤差的過程中，就需要將直接測(cè)量的誤差“傳遞”過來。一、系差的傳遞，二、隨差的傳遞2023/2/12．誤差的合成用于測(cè)量結(jié)果的分析。任何測(cè)量結(jié)果都包含一定的測(cè)量誤差，這是測(cè)量過程中各個(gè)環(huán)節(jié)一系列誤差因素共同作用的結(jié)果。如何正確地分析和綜合這些誤差因素，并正確地表述這些誤差的綜合影響，就是誤差合成要研究的基本內(nèi)容。一、隨差的合成，二、系差的合成，三、隨差與系差的合成，四、最后結(jié)果的表示2023/2/13．誤差的分配：用于測(cè)量系統(tǒng)（裝置、方案）的設(shè)計(jì)與綜合。在設(shè)計(jì)測(cè)量儀表和測(cè)量方案等情況下，需要事先給定測(cè)量結(jié)果的總允許誤差，然后據(jù)此確定各個(gè)單項(xiàng)誤差。如何合理地確定各個(gè)單項(xiàng)誤差，以保證測(cè)量準(zhǔn)確度，這就是誤差分配要研究的基本內(nèi)容。顯然，誤差分配的難度要高于誤差合成。2023/2/11.8最小二乘原理如前所述，由式（1-16）得到的等精度測(cè)量的子樣的算數(shù)平均值x，是母體的數(shù)學(xué)期望Mx或真值x0的最佳估值。即：當(dāng)n→∞時(shí)，x→x0。理論上可以嚴(yán)格證明：真值x0的最佳估值＾x0即算數(shù)平均值x，具有殘差平方和最小的特性，這就是著名的最小二乘原理。下面，通過一個(gè)并不嚴(yán)格的證明來進(jìn)一步了解這個(gè)著名的原理。2023/2/1設(shè)有一獨(dú)立等精度測(cè)量列xi（i＝1，2，…，n），其殘差為vi＝xi－x，殘差平方和為：（1-64）若不按式（1-16）計(jì)算算數(shù)平均值x，會(huì)有什么結(jié)果呢？例如，對(duì)n個(gè)獨(dú)立等精度的測(cè)量值，任取其中m個(gè)（m＜n＝或m＝n＋k，n個(gè)值中有k個(gè)重復(fù)使用）計(jì)算其平均值，記為x?（以區(qū)別于算數(shù)平均值x），并設(shè)其殘差為di＝xi－x?，則此時(shí)的殘差平方和為：2023/2/1（1-65）由式（1-64）和式（1-65），并注意到x≠x?，則有:2023/2/1可見，欲求真值的最佳估值，應(yīng)使各測(cè)量值的殘差平方和最小。 證畢。由于殘差為實(shí)數(shù)，即各殘差的平方和必為正數(shù)，故由前面對(duì)方差和標(biāo)準(zhǔn)偏差的討論（參考式（1-23）～（1-26）的討論）可知，殘差平方和最小就保證了相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)偏差和方差為最小值，同時(shí)也說明了測(cè)量數(shù)據(jù)的離散度最小，測(cè)量準(zhǔn)確度高。最小二乘原理在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中是個(gè)廣義的和普遍的原則，得到了相當(dāng)廣泛的應(yīng)用。2023/2/11.9曲線的擬合在實(shí)踐中，經(jīng)常需要通過一組實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)來求得某些變量之間的最佳函數(shù)關(guān)系式，如y＝f(x)。這一過程就稱之為曲線擬合，該曲線方程稱為回歸方程。最小二乘原理和方法就是保證具有最佳擬合與回歸的最基本也是最常用的方法。2023/2/1一、直線擬合兩個(gè)變量之間的線性關(guān)系是一種最簡單也是最理想的函數(shù)關(guān)系，故先討論之。掌握了直線擬合的方法，曲線擬合就比較容易理解了。y6420