公式名稱所求已知系數符號數學表達式一次支付終值公式FP(F/P,i,n)一次支付現值公式PF(P/F,i,n)年金終值公式FA(F/A,i,n)償債基金公式AF(A/F,i,n)年金現值公式PA(P/A,i,n)資金回收公式AP(A/P,i,n)上節(jié)回顧運用利息公式應注意的問題:實施方案的初始投資，假定發(fā)生在方案的壽命期初；方案實施過程中的經常性支出，假定發(fā)生在計息期（年）末；P在當前年度開始時發(fā)生（0時點處）；F在當前以后的第n年年末發(fā)生（第n年年末）；A在考察期間各年年末發(fā)生。當問題包括P和A時，系列的第一個A是在P發(fā)生一年后的年末發(fā)生；當問題包括F和A時，系列的最后一個A是和F同時發(fā)生；等差/等比系列中，第一個G/At發(fā)生在系列的第二年年末。各系數之間的關系倒數關系：乘積關系：特殊關系：第二章現金流量與資金的時間價值現金流量資金的時間價值資金時間價值的復利計算名義利率和實際利率資金時間價值基本公式的應用32.4名義利率和實際利率2.4.1基本概念名義利率與實際利率的關系同單利與復利的關系一樣。當計息周期小于利率周期時，則有了名義利率和實際利率的概念。名義利率——用計息周期利率按單利計算的利率周期（年）利率，即由計息周期利率i乘以一個利率周期（年）內的計息周期數m所得到的利率周期（年）利率。實際利率——用計息周期利率按復利計算的利率周期（年）利率。4利率周期常以年為單位。設計息周期利率為i，一年中計息m次。按單利計算年名義利率r：一年末利息和I=m.P.i則由利率的定義可知：r=I/P=i×m按復利計算年實際利率ieff：一年末利息和則由利率的定義可知：5年名義利率(r)計息周期年計息次數計息周期利率(i=r/m)年實際利率(ieff)10%年110%10%半年25%10.25%季42.5%10.38%月120.833%10.47%日3650.0274%10.52%6名義利率與實際利率的比較：當計息周期等于利率周期（年）時，名義利率與實際利率相等。當計息周期小于利率周期（年）時，實際利率大于名義利率；且計息次數越多，實際利率與名義利率的差值就越大。名義利率不能完全反映資金的時間價值，實際利率才真實地反映了資金的時間價值。7例:已知某項目的計息期為月,月利率為8‰,則項目的名義利率為()。A.8%B.8‰C.9.6%D.6‰例:若i1=2i2；n1=n2/2，則當P相同時有()。A.（F/P，i1，n1）<（F/P，i2，n2）B.（F/P，i1，n1）>（F/P，i2，n2）C.（F/P，i1，n1）=（F/P，i2，n2）D.無法確定兩者的關系答案:A答案:C8例：某廠擬向兩個銀行貸款以擴大生產，甲銀行年利率為16%，計息每年一次。乙銀行年利率為15%，但每月計息一次。試比較哪家銀行貸款條件優(yōu)惠些？解：因為i乙>i甲，所以甲銀行貸款條件優(yōu)惠些。9例：現投資1000元，時間為10年，年利率為8%，每季度計息一次，求10年末終值。解：季度計息周期利率為8%÷4=2%，①用年實際利率求解:年有效利率i為：ieff

=(1+2%)4－1=8.2432%F=1000(F/P，8.2432%，10)=2208（元）②用季度利率求解:F=1000(F/P，2%，40)=1000×2.2080=2208（元）F=？1000…012340季度102.4.2連續(xù)（瞬時）復利——當計息周期趨于無窮小，一年內計息次數m趨于無限大，即m→∞,此時可視為計息沒有時間間隔而成為連續(xù)計息。年實際利率為：式中：e自然對數的底，其數值為2.7182811將連續(xù)復利引入普通復利公式得：12例：某地向世界銀行貸款100萬美元，年利率為10％，試用間斷計息法和連續(xù)計息法分別計算5年后的本利和。解：①用間斷復利計算：F=P(1+i)n=P(F/P,i,n)=100(F/P,10%,5)=100×1.6105＝161.05（萬）②用連續(xù)復利計息計算：利率：i=er-1F=P(1+i)n=P(1+er-1)n=Pern=100×e0.1×5＝164.887（萬）132.4.3名義利率和有效（年）利率的應用計息周期等于收付周期——直接運用6個基本公式計息周期小于收付周期——按實際利率/計息周期利率計算計息周期大于收付周期——計息期內不計息/單利計息/復利計息141、計息周期等于收付周期——根據計息周期利率，利用復利計算公式進行計算。例：年利率為12%，每半年計息1次，從現在起連續(xù)3年每半年末等額存款為200元，問與其等值的第0年的現值是多少？解：計息周期利率（半年實際利率）i＝12％/2＝6％P=200×(P／A，6％，6)＝983.46（元）15按收付周期的實際利率計算；按計息周期利率計算。例：年利率12％，按季度計息，連續(xù)5年，在年末借款500元，求第5年末的等值借款額F？5001813192014150123456789101211Ⅰ500500(年)Ⅱ500ⅢⅣ1716Ⅴ500(季)F？2、計息周期小于收付周期16按收付周期的實際利率計算step1——計算收付周期的實際利率，本例為1年，以1年為基礎進行計算：step2——以年實際利率為基礎，原現金流量轉變?yōu)榈阮~年值A與終值F的資金等值計算問題，即：（元）5001813192014150123456789101211Ⅰ500500(年)Ⅱ500ⅢⅣ1716Ⅴ500(季)F？17計息周期利率i=12%/4=3%。解法一：將等額支付的每個現金流量看作一次支付，求出每個支付的終值，然后將其累加，即為等額現金流量的實際終值F：按計息周期利率計算5001813192014150123456789101211Ⅰ500500(年)Ⅱ500ⅢⅣ1716Ⅴ500(季)F？（元）18step2——經等值轉變，計息周期等于收付周期，所有現金流量全部轉變?yōu)樘幱谟嬒⒅芷谀┑牡戎惮F金流量，其終值為：161813192014150123456789101211Ⅰ(年)ⅡⅢⅣ17Ⅴ(季)解法二：step1——取一個收付周期，將該周期末的現金流量轉變?yōu)榈戎档挠嬒⒅芷谀┑牡阮~支付序列；01234Ⅰ500(年)(季)01234Ⅰ119.5(年)(季)（元）（元）191001239746581112（月）3001001001003、計息周期大于收付周期計息期內的收付不計息；計息期內的收付按單利計息；計息期內的收付按復利計息。例：現金流量圖如圖所示，年利率為12%，每季度計息一次，求年末終值F為多少？20計息期內的收付不計息——現金流出額放在計息期初，現金流入額放在期末，計息期分界點處的支付保持不變。解：計息周期利率i=12%/4=3%。1001239746581112（月）3001001001001001324（季）30030020030010021計息期內收付按單利計息——見P311001239746581112（月）300100100100解：計息周期利率i=12%/4=3%。22計息期內收付按復利計息——見P321001239746581112（月）300100100100解：計息周期利率（季實際利率）i=12%/4=3%。23作業(yè)二P34—T8、11、1224上節(jié)回顧求每半年向銀行借1400元，連續(xù)借10年的等額支付系列的等值終值。利息分別按以下三種情況計息:1）年利率為12％，每年計息一次

；2）年利率為12％，每半年計息一次；3）年利率為12％，每季度計息一次。解：1）計息期長于收付期：若計息期內的收付不計息，則實際的現金流量圖：F=14002(F/A,12％，10)＝49136（元）01210年14001400r=12%,A=2800252）計息期等于收付期F=1400(F/A,12%÷2，102）＝51500（元）3）計息期短于收付期取一個收付周期（季）進行分析：i＝12％÷4＝3％F=1400(A/F，3%，2)(F/A，3%，410）=52000（元）012341920半年i＝12％÷2＝6％,A=140001234季度14001400i＝12％÷4＝3％A=1400(A/F,3%,2)按收付周期（季）實際利率計算？262.5資金時間價值基本公式的應用復利系數表中包含了三種數據，即系數、利率、計息次數。根據各系數符號，查表即可得到相應的系數；知道了三項數據中的任意兩項，還可以通過查表得到另一項。一、資金的等值計算二、計算未知利率三、計算未知年數272.5.1資金的等值計算例:某企業(yè)現貸款10000元，年利率為6%，十年內償還完畢，試確定下列四種償還方案的償還數額。方案Ⅰ：每年償還利息，到期償還本金。方案Ⅱ：每年償還利息，并償還本金1000元，剩余部分十年末到期全部償還。方案Ⅲ：十年內每年等額償還全部本利。方案Ⅳ：十年末一次償還全部本利。28解：計算結果見下表：(單位:元)年數

貸款額

四種等值的償還方案10000

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

Ⅳ0

60016001359

1

60015401359

2

60014801359

3

60014201359

4

60013601359

5

60013601359

6

60013001359

7

60012401359

8

60011801359

9

60011201359

10

106001060135917910合計

1600013300135901791029由計算結果可看出，四種方案償還的總數額是不相同的，但四種償還方案與10000元本金是等值的。從投資者立場來看，四種方案中任何一種都可以償付他現在的投資。從貸款者的立場來看，只要他同意在今后以四種方式中的任何一種來償還，他今日都可得到10000元的使用權。302.5.2計算未知利率在計算技術方案的等值時，有時會遇到這樣一種情況：即現金流量P、F、A以及計算期n均為已知量，而利率i為待求的未知量。比如，求方案的收益率、國民經濟的增長率等。這時，可以借助查復利系數表利用線性內插法近似地求出i來。31例：某人今年初借貸1000萬元，8年內，每年還154.7萬元，正好在第8年末還清，問這筆借款的年利率是多少？解：已知P=1000萬，A=154.7萬，n=8由A=P(A/P,i,n)知：(A/P,i,8)=A/P=154.7/1000=0.1547查表中的資金回收系數列，在n=8的一行里，0.1547所對應的i為5%。故所求i=5%。32例:已知現在投資300元，9年后可一次獲得525元。求利率i為多少？解：利用一次支付終值公式由F=P（F/P，i，n）得：（F/P，i，9）=F/P=525/300=1.750從復利表上查到，當n=9時，1.750落在利率6%和7%之間。從6%的位置查到1.689，從7%的位置上查到1.838。用線性內插法可得：i=6%+(1.750-1.6895)(7%-6%)=6.41%33線性內插法設兩個已知的現金流量之比（F/P，F/A或P/A等）對應的系數為f0，左右最接近的利率為i1和i2，i1對應的系數為f1，i2對應f2。由相似比可知：注意：函數的連續(xù)性表明，當自變量增值趨于0時，才能將此變化范圍內的函數近似看做直線。故選取的i1和i2應無限接近。一般相差3%~5%時，通過線性內插法求得的誤差在可接受范圍內。0i1f1i2f2利率i系數fi0f034例：某人有資金10萬元，有兩個投資方向供選擇：一是存入銀行，每年復利率為10％；另一是購買五年期的債券，115元面值債券發(fā)行價為100元，每期分息8元，到期后由發(fā)行者以面值收回。試計算出債券利率，比較哪個方案有利。012345年i=？A=8P=100F=115

35解：依題意有：100=8(P/A,i,5)+115(P/F,i,5)用試算的方法，可得：P(10%)=8(P/A,10％,5)+115(P/F,10％,5)＝101.73（元）P(12%)=8(P/A,12％,5)+115(P/F,12％,5)＝94.09（元）用線性內插法：36例:某公司欲買一臺機床，有兩種付款方式：（1）若買時一次付清，則售價30000元；（2）買時第一次支付10000元，以后24個月內每月支付1000元。取銀行利率為12%，問若這兩種付款方案在經濟上是等值的話，那么，對于等值的兩種付款方式，賣方實際上得到了多大的名義利率與實際利率?37解：兩種付款方式中有10000元現值相同，剩下20000元付款方式不同，根據題意：已知P=20000元，A=1000元，n=24個月，求月利率i＝？（P/A，i，24）=20000/1000=20查復利表：（P/A，1%，24）=21.243,（P/A，2%，24）=18.914那么賣方得到的年名義利率：r=12×1.534%=18.408%38賣方得到的年實際利率：由于上述的名義利率18.408%和實際利率20.04%都高于銀行利率12%，因此，第一種付款方式對買方有利，而第二種付款方式對賣方有利，按銀行利率，賣方所得的現值為：P=P1+A（P/A，i，n）=10000+1000(P/A，1%，24)=31243.4（元）39練習:

設有一個25歲的人投資人身保險，保險期50年，在這段期間，每年末繳納150元保險費，在保險期間內，若發(fā)生人身死亡或期末死亡，保險人均可獲得10000元。問投這段保險期的實際利率？若該人52歲去世，銀行年利率為6%，問保險公司是否吃虧？40解：已知A=150元，F=10000元，n=50年，求i=？（F/A，i，50）=10000/150=66.667查復利表：（F/A，1%，50）=64.463，（F/A，2%，50）=84.579所以,50年保險期的實際利率為1.11%41若此人52歲去世，則在保險期內的第27年保險公司要賠償10000元，看其是否吃虧，就與存銀行所得本利和作比較：F=A（F/A，i，n）=150(F/A，6%，27)=150×63.706=9555.9（元）保險公司虧損：10000-9555.9=444.1（元）可見此人投保期間的實際利率只有1.11%，若此人52歲時去世，則保險公司就虧444.1元。422.5.3計算未知年數在計算技術方案的等值中另一種可能的情況是：已知方案現金流量P、F或A，以及方案的利率i，而方案的計算期n為待求的未知量。例如，要求計算方案的投資回收期、借款清償期等。這時仍可借助查復利表，利用線性內插法近似地求出n來。其求解基本思路與計算未知利率大體相同。43例:假定國民經濟收入的年增長率為10%，如果使國民經濟收入翻兩番，問從現在起