第七章立體幾何第六節(jié)空間直角坐標(biāo)系、空間向量及其運(yùn)算(理)

主干回顧·夯實(shí)基礎(chǔ)一、空間向量的有關(guān)概念名稱定義空間向量在空間中，具有_____和_____的量叫做空間向量，其大小叫做向量的_____或___單位向量長(zhǎng)度或模為_(kāi)__的向量零向量______的向量大小方向長(zhǎng)度模1模為0名稱定義相等向量方向_____且模相等的向量相反向量方向______且模相等的向量共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線_________或_____，則這些向量叫做共線向量或平行向量，a平行于b記作a∥b共面向量平行于__________的向量，叫做共面向量相同相反互相平行重合同一平面二、共線向量、共面向量定理和空間向量基本定理1．共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得_________.a＝λb1

3．空間向量基本定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫做基向量．三、空間向量的數(shù)量積1．定義已知空間兩個(gè)非零向量a，b，則______________叫做向量a，b的數(shù)量積，記作____，即_______________________．其中〈a，b〉為向量a，b的夾角．2．運(yùn)算律(1)交換律：____________；(2)分配律：____________________；(3)結(jié)合律：______________________________．a(chǎn)·b＝b·aa·(b＋c)＝a·b＋a·cλ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)(λ∈R)|a||b|cos〈a，b〉a·ba·b＝|a||b|cos〈a，b〉四、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)(a，b為非零向量)向量和a＋b＝_________________________向量差a－b＝_________________________數(shù)量積a·b＝______________________共線a∥b?_______________________________(λ∈R)(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝01．判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)空間向量是由平面向量拓展而來(lái)的，因此空間向量的概念和性質(zhì)與平面向量的概念和性質(zhì)相同或相似．(

)(2)空間中任意兩非零向量a，b共面．(

)(3)在立體幾何中求線段的長(zhǎng)度時(shí)，可轉(zhuǎn)化為a·a＝|a|2，或利用空間兩點(diǎn)間的距離公式求解．(

)(4)向量a，a＋b，a－b可構(gòu)成空間的一個(gè)基底．(

)(5)空間的基底是任意的，但只要基底確定，空間任一向量則都可由基底唯一確定．(

)[答案及提示](1)√

(2)√

(3)√(4)×向量a，a＋b，a－b共面，故不能作為基底．(5)√考點(diǎn)技法·全面突破空間向量的線性運(yùn)算(☆☆☆)1．空間向量的線性運(yùn)算類似于平面向量的線性運(yùn)算．2．用已知向量表示未知向量時(shí)，要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘的幾何意義，同時(shí)一定要結(jié)合圖形，靈活運(yùn)用三角形法則或平行四邊形法則進(jìn)行求解．[典例1]

已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，共線向量、共面向量定理的應(yīng)用(☆☆☆)[典例2]

如圖，四棱柱ABCDA1B1C1D1的各個(gè)側(cè)面均為平行四邊形，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.(1)求線段AC1的長(zhǎng)；(2)求異面直線AC1與A1D所成角的余弦值；(3)求證：AA1⊥BD.空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用(☆☆☆☆)學(xué)科素能·增分寶典易錯(cuò)易誤系列之(十八)對(duì)向量夾角的定義認(rèn)識(shí)不清致誤

[溫馨提示]

用定義計(jì)算兩向量的數(shù)量積時(shí)，要正確確定兩向量夾角的大小，特別是在與二面角結(jié)合的問(wèn)題中，一定要分清向量的夾角與二面角大小的關(guān)系．[針對(duì)訓(xùn)練]