最新考綱解讀1．掌握平面向量的數量積及其幾何意義．2．了解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題．3．掌握向量垂直的條件．高考考查命題趨勢1．向量的數量積及運算律一直是高考數學的熱點內容之一，是高考命題的必選素材．考查形式多為小題，考查內容主要是向量的數量積、幾何意義、模以及夾角、共線和垂直問題．2．作為工具在考查三角函數、立體幾何、平面解析幾何等內容時經常用到．在2009年高考中有10套試卷在此知識點命題多以選擇題、填空題出現，如2009全國Ⅱ，6；2009全國Ⅰ，6；2009湖北，17.3．估計在2011年高考中仍是考查熱點．若單獨命題則以選擇題或填空題出現.注意：當且僅當兩個非零向量a，b同方向量時，θ＝0°，當且僅當a，b反方向時θ＝180°，當且僅當a與b垂直時θ＝90°，記作a⊥b.(2)已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，則a·b＝|a|·|b|cosθ叫做a與b的數量積(或內積)．規(guī)定：0·a＝0注意：投影的絕對值稱為射影．投影是實數，不是向量；而射影是非負實數．數量積的幾何意義：a·b等于a的長度與b在a方向上的投影的乘積．3．平面向量數量積的運算律(1)交換律成立：a·b＝b·a(2)對實數的結合律成立：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R)(3)分配律成立：(a±b)·c＝a·c±b·c＝c·(a±b)注意：(1)結合律不成立：a·(b·c)≠(a·b)·c；(2)消去律不成立a·b＝a·c不能得到b＝c.(3)a·b＝0不能得到a＝0或b＝0.4．兩個個非零向向量垂直直的充要要條件a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.1.兩個個向量的的數量積積是一個個實數，，向量加加、減、、數乘運運算的運運算結果果是向量量．2．數量量積的記記號是a·b不能寫成成a×b也不能寫寫成ab.3．若a、b為實數，，且a·b＝0，則則有a＝0或b＝0，，但a·b＝0卻卻不能能得出出a＝0或或b＝0.若a、b、c∈R，且a≠0，，則由由ab＝ac可得b＝c，但由由a·b＝a·c及a≠0卻卻不能能推出出b＝c.4．若若a、b、c∈R，則a(bc)＝(ab)c(結合合律)成立立，但但對于于向量量a、b、c，(a·b)c≠a(b·c)，這這是因因為數數量a·b與c相乘是是與c共線的的向量量，而而數量量b·c與a相乘則則是與與a共線的的向量量，所所以一一般二二者是是不等等的．．5．若若a、b∈R，則|a·b|＝|a|·|b|，但但對于于向量量a、b，卻有有|a·b|≤|a|·|b|，等等號當當且僅僅當a∥b時成立立．這這是因因為|a·b|＝|a|·|b|·|cosθ|而|cosθ|≤1.一、選選擇題題1．(2009年福福建卷卷理9文12)設a、b、c為同一一平面面內具具有相相同起起點的的任意意三個個非零零向量量，且且滿足足a與b不共線線，a⊥c，|a|＝|c|，則則|b·c|的值值一定定等于于()A．以a，b為兩邊的△△的面積B．以b，c為兩邊的△△面積C．以a，b為鄰邊的?的面積D．以b，c為鄰邊的?的面積[答案]C[答案]C[答案]B二、填空題題4．向量a、b滿足(a－b)·(2a＋b)＝－4，，且|a|＝2，|b|＝4，則則a、b夾角的余弦弦值等于________．．6．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，則則a在b方向上的投投影為________．7．已知|a|＝3，|b|＝5，如如果a∥b，則a·b＝________.[錯誤分析析]忽視平行向向量的概念念．a、b的夾角為0°、180°.[解析]∵a∥b，∴a與b夾角是0°°或180°即α＝0°或180°∴a·b＝|a||b|cosα＝±15[答案]±15例1判斷下列各各命題正確確與否：(1)0··a＝0；(2)0··a＝0；(3)若a≠0，a·b＝a·c，則b＝c；(4)若a·b＝a·c，則b≠c當且僅當a＝0時成立立；(5)對任任意向量a，有a2＝|a|2(6)(a·b)·c＝a·(b·c)對任意a，b，c向量都成立立；(7)a·b＝0?a＝0或b＝0；(8)|a·b|＝|a|·|b|(9)若a、b的夾角為θ，則b在a上的投影為為：b·cosθ.[解](1)錯：：因為實數數與向量的的積還是向向量，所以以是錯的．．(2)對；；因為向量量的積是數數量積，所所以是實數數故正確．．(3)錯；；因為a·b＝|a|·|b|cosθ，a·c＝|a|·|c|cosφ所以由a≠0，a·b＝a·c得|b|cosθ＝|c|cosφ.因此原結結論是錯的的．(4)錯；；反例：當當a⊥b，a⊥c時滿足a·b＝a·c且b≠c，但此時a不一定是零零向量所以以原結論是是錯的．(5)對；；由向量的的數量積定定義式知是是正確的．．(6)錯；；因為(a·b)和(b·c)均是實數數，所以(a·b)·c與c平行，而a·(b·c)與a平行，a與c不一定平行行，所以等等式不成立立．(7)錯；；因為a·b＝|a|·|b|cosθ＝0?|a|＝0或|b|＝0或cosθ＝0，所以以原結論是是錯的．(8)錯；；因為a·b＝|a|·|b|cosθ，－1≤cosθ≤1∴－|a|·|b|≤a·b≤|a|·|b|，故原結結論是錯的的．(9)錯；；若a、b的夾角為θ，則b在a上的投影應應為：|b|·cosθ，所以原結結論是錯的的．1．通過該該題我們清清楚了實數數與向量的的乘積和向向量的數量量積之間的的區(qū)別與聯聯系，重點點清楚0··a為零向量，，而0·a為零實數．．2．通過該題題我們應該該清楚：向向量的數量量積與實數數間的乘積積運算是不不一樣的，，不能直接接照搬實數數的乘法規(guī)規(guī)律．3．向量的的數量積公公式較多，，且容易混混淆，在學學習中要分分清、理解解其實質，，注意區(qū)分分平行向量量、同向向向量、反向向向量、單單位向量等等概念．思考探究1若a、b、c為任意向量量，m∈R，則下列等等式不一定定成立的是是()A．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)B．(a＋b)·c＝a·c＋b·cC．m(a＋b)＝ma＋mbD．(a·b)·c＝a·(b·c)[解析]因為A、、B、C均是公公式，所所以都正正確．應應用排除除法知只只有D選選項是錯錯的．因為(a·b)和(b·c)均是實實數，所所以(a·b)·c與c平行，而而a·(b·c)與a平行，a與c不一定平平行．所所以選項項D不一一定成立立．[答案]D例2已知|a|＝1，，|b|＝5，，且a、b的夾角為為60°°，求下下列各式式子的值值；(1)a·2b；(2)3a2＋b2；(3)(5a＋b)·(3a－2b)；(4)|4a＋b|[分析]直接根據據定義或或性質計計算即可可．[解](1)a·2b＝|a|·|2b|cos60°°＝5(2)3a2＋b2＝3|a|2＋|b|2＝3＋25＝28例3已知向量量a＝(m－2，m＋3)，，b＝(2m＋1，m－2)的的夾角為為鈍角，，求m的取值范范圍．[分析]根據向量量的數量量積公式式知，只只需讓a·b<0且a與b不共線即即可．1．本題題易錯點點(1)兩兩個向量量的數量量積a·b易錯為a×b，書寫時時要嚴格格區(qū)分，，符合““·”在在向量運運算中不不是乘號號，既不不能省略略，也不不能用““×”代代替；(2)把把a·b＝|a|·|b|·|cosα|與“a·b＝|a|·|b|”混淆淆．(3)兩兩個向量量的夾角角為鈍角角時，忽忽視平角角的情況況．思考探究究2(1)已已知兩單單位向量量a與b的夾角為為120°，若若c＝2a－b，d＝3b－a，試求c與d的夾角．．[分析]要求兩向向量夾角角θ的取值范范圍，可可先求cosθ的取值范范圍．(2)設設非零向向量a＝(x,2x)，b＝(－3x,2)，且且a，b的夾角為為鈍角，，求x的取值范范圍．[分析]解題思維維的入手手點是在在“Rt△ABC中”，據此進進行翻譯譯和轉化化1．向量量作為高高考的必必考內容容，它可可以與三三角函數數、解析析幾何等等知識綜綜合，如如本題(是2004年年湖北高高考卷第第19題題)2．利用向向量處理理幾何問問題的方方法步驟驟為：①①建立平平面直角角坐標系系；②設設點的坐坐標；③③求出有有關向量量的坐標標；④利利用向量量的運算算計算結結果；⑤⑤得到結結論．思考探究究3已知：如如圖所示示，ABCD是菱形，，AC和BD是它的兩兩條對角角線，求求證：AC⊥BD.[思路點點撥]對于線段段的垂直直，可以以聯想到到兩個向向量垂直直的充要要條件，，而對于于這一條條件的應應用，可可以考慮慮向量式式的形式式，也可可以考慮慮坐標形形式的充充要條件件．[點評]如能熟練練應用向向量的坐坐標表示示及運算算，則將將給解題題帶來一一定的方方便，通通過向量量的坐標標表示，，可以把把幾何問問題的證證明轉化化成代數數式的運運算，體體現了向向量的數數與形的的橋梁作作用.注重數學學思想方方法的數數學1．數形結合合的思想想方法．．由于向量本身身具有代數形形式和幾何形形式雙重身份份，所以在向向量知識的整整個學習過程程中，都體現現了數形結合合的思想方法法，在解決問問題過程中要要形成見數思思形、以形助助數的思維習習慣，以加深深理解知識要要