最新考綱解讀掌握直線和直線、直線和平面、平面和平面所成的角的概念，應(yīng)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何中有關(guān)平行、垂直、角度等問(wèn)題．高考考查命題趨勢(shì)使用“向量”仍將會(huì)成為高考命題的熱點(diǎn)，一般選擇題、填空題重在考查向量的概念、數(shù)量積及其運(yùn)算律．在立體幾何的解答題中，建立空間直角坐標(biāo)系，以向量為工具，利用空間向量的坐標(biāo)和數(shù)量積解決直線、平面間各類角的問(wèn)題比用傳統(tǒng)立體幾何的方法簡(jiǎn)便快捷，空間向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算仍是2011年高考命題的重點(diǎn)．支持新課改，在重疊部分做文章，在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題.1.異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′，b′所成的銳角(或直角)叫異面直線a，b所成的角(或夾角)．2．直線和平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的角．一直線垂直于平面，所成的角是直角．一直線平行于平面或在平面內(nèi)，所成角為0°角．(2)范圍：(3)定理：斜線和平面所成的角是這條斜線和平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角．3．二面角(1)定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個(gè)部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面．若棱為l，兩個(gè)面分別為α，β的二面角記為α－l－β.(2)二面角的平面角：過(guò)二面角的棱上的一點(diǎn)O分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的兩條垂線OA，OB，則∠AOB叫做二面角α－l－β的平面角．作法：①定義法；②垂面法；③利用三垂線定理或其逆定理．(3)范圍：二面角的平面角范圍是[0°，180°]．二面角的平面角為直角時(shí)，則稱此二面角為直二面角，組成直二面角的兩個(gè)平面互相垂直．4．三種空間角的求法(1)幾何法：作—證—算；(2)向量法：①異面直線a，b所成的角θ：cosθ＝|cos<a，b>|；②直線a與平面α(法向量n)所成的角θ：sinθ＝|cos<a，n>|；③銳二面角θ：cosθ＝|cos<m，n>|，其中m，n為兩個(gè)面的法向量．(3)其他他公式式：①①平面面α的斜線線a與α內(nèi)一直直線b相交成成θ角，且且a與α相交成成φ1角，a在α上的射射影c與b相交成成φ2角，則則有cosφ1cosφ2＝cosθ.②求二二面角角的射射影公公式：：cosθ＝，，其中各各個(gè)符符號(hào)的的含義義是：：S是二面面角的的一個(gè)個(gè)面內(nèi)內(nèi)圖形形F的面積積，S′是圖圖形F在二面面角的的另一一個(gè)面面內(nèi)的的射影影，θ是二面面角的的大小小.1.求求空間間角一一般轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為為平面面角來(lái)來(lái)實(shí)現(xiàn)現(xiàn)，要要注意意三種種角的的范圍圍，求求角的的一般般步驟驟是：：(1)找或或作出出有關(guān)關(guān)的平平面角角；(2)證明明此角即為為所求；(3)化歸歸到一個(gè)三三角形中求求角．2．求空間間角的方法法：(1)幾何何法；(2)向量量法：①求求異面直線線所成的角角，轉(zhuǎn)化為為兩異面直直線的方向向向量的夾夾角(或其其補(bǔ)角)；；②求直線與與平面所成成的角，轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為直線線的方向向向量與平面面的法向量量的夾角(或其補(bǔ)角角)的余角角；③求二面角角，轉(zhuǎn)化為為兩平面的的法向量的的夾角(或或其補(bǔ)角)，求角之之前可以對(duì)對(duì)二面角的的范圍作一一下預(yù)判(銳角或鈍鈍角).一、選擇題題1．異面面直線a與b所成的角角為50°，P為空間一一點(diǎn)，則則過(guò)P點(diǎn)且與a、b所成的角角都是30°的的直線有有()A．1條條B．．2條C．3條條D．4條條[答案]B2．平面面α的斜線與與α所成的角角為30°，則則此斜線線和α內(nèi)所有不不過(guò)斜足足的直線線中所成成的角的的最大值值為()A．30°B．．60°°C．90°D．．150°[答案]C3．在邊邊長(zhǎng)為a的正三角角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面面角B－AD－C后，BC＝，，這時(shí)二二面角B－AD－C的大小為為()A．30°B．45°C．60°D．．90°[答案]C4．四面體ABCD中，E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)，若CD＝2AB，EF⊥AB，則EF與CD所成的角等于于()A．30°B．．45°C．60°D．90°°[答案]A5．在正方體體AC1中，E、F分別為D1C1與AB的中點(diǎn)，則A1B1與截面A1ECF所成的角為()[答案]A二、填空題6．一條直線線與直二面角角的兩個(gè)面所所成的角分別別是α和β，則α＋β的范圍是________．[答案][0°，90°]例1直三棱柱A1B1C1－ABC，∠BCA＝90°，，點(diǎn)D1、F1分別是是A1B1、A1C1的中點(diǎn)點(diǎn)，BC＝CA＝CC1，則BD1與AF1所成角角的余余弦值值是()[答案]A解法一一與解解法二二從兩兩個(gè)不不同角角度求求異面面直線線所成成的角角．解解法一一體現(xiàn)現(xiàn)傳統(tǒng)統(tǒng)方法法作——證——算；；解法法二把把角的的求解解轉(zhuǎn)化化為向向量運(yùn)運(yùn)算，，應(yīng)注注意體體會(huì)兩兩種方方法的的特點(diǎn)點(diǎn)．用用向量量法求求異面面直線線所成成的角角應(yīng)注注意兩兩向量量所成成的角角是否否為銳銳角或或直角角．例2在正四四面體體ABCD中，E為AD的中點(diǎn)點(diǎn)，求求直線線CE與平面面BCD成的角角．[分析析]求線面面角的的關(guān)鍵鍵在于于找出出斜線線在平平面內(nèi)內(nèi)的射射影，，即找找垂面面，有有了垂垂面即即可在在垂面面內(nèi)作作交線線的垂垂線，，線面面角即即可作作出，，然后后轉(zhuǎn)化化到三三角形形中求求解．．[解]解法一一：取取BC的中點(diǎn)點(diǎn)F，連結(jié)結(jié)AF、DF.∵正四四面體體ABCD，∴BC⊥AF，BC⊥DF，∴BC⊥面面AFD，而B(niǎo)C?平面面BCD，∴面面AFD⊥面面BCD，過(guò)E作EH⊥DF于H，而DF?平面面BCD，則則EH⊥面面BCD，則∠∠ECH為CE與面面BCD所成成的的角角．．在Rt△△CEH中，，sin∠∠ECH＝即CE與平平面面BCD成的的角角為為arcsin(1)用用傳傳統(tǒng)統(tǒng)方方法法求求線線面面角角：：““作作——證證——求求\””；；(2)利利用公式式cosθ＝cosβ·cosγ求線面角角；(3)用用向量法法求線面面角先處處理平面面的法向向量，再再求直線線的方向向向量與與法向量量夾角間間的夾角角轉(zhuǎn)化為為線面角角．例3(2009全國(guó)國(guó)1)如圖，四四棱錐S－ABCD中，底面面ABCD為矩形，，SD⊥底面ABCD，AD＝，，DC＝SD＝2，點(diǎn)點(diǎn)M在側(cè)棱SC上，∠ABM＝60°°.(1)證證明：M是側(cè)棱SC的中點(diǎn)；；(2)求求二面角角S－AM－B的大小．．(2)解解法一：：過(guò)M作CD的平行線線．法1：利利用三垂垂線定理理求解．．在新教教材中弱弱化了三三垂線定定理．這這兩年高高考中求求二面角角也基本本上不用用三垂線線定理的的方法求求二面角角．過(guò)M作MJ∥CD交SD于J，作SH⊥AJ交AJ于H，作HK⊥AM交AM于K，則JM∥CD，JM⊥面SAD，面SAD⊥面MBA，SH⊥面AMB∴∠SKH即為所所求二二面角角的補(bǔ)補(bǔ)角．．二面角角是三三種角角中最最復(fù)雜雜的一一種，，用向向量方方法處處理二二面角角問(wèn)題題時(shí)，，將傳傳統(tǒng)求求二面面角問(wèn)問(wèn)題時(shí)時(shí)的三三部曲曲：““作——證——求””直接接簡(jiǎn)化化成了了一步步曲：：“計(jì)計(jì)算””，這這表面面似乎乎淡化化了學(xué)學(xué)生的的空間間想象象能力力，實(shí)實(shí)質(zhì)不不然，，向量量法對(duì)對(duì)學(xué)生生的空空間想想象能能力要要求更更高，，也更更加重重視對(duì)對(duì)學(xué)生生創(chuàng)新新能力力的培培養(yǎng)，，體現(xiàn)現(xiàn)了教教育改改革的的精神神．空間角的求求解有兩種種方法：一一種是幾何