第五章

大數(shù)定律和中心極限定理15.1契比雪夫不等式定理:設(shè)隨機變量X具有期望E(X)及方差D(X),則>0,有:或2例1已知E(X)=100,D(X)=30,試估計X落在(70,130)內(nèi)的概率解:P{70<X<130}=P{|X100|<30}由契比雪夫不等式,得:0.967契比雪夫不等式給出了在隨機變量X的分布未知情況下,事件{|XE(X)|<}或{|XE(X)|≥}的概率的一種估計方法3例2已知某種股票每股價格X的平均值為1元,標(biāo)準(zhǔn)差為0.1元,求a,使股價超過1+a元或低于1a元的概率小于10%解:由契比雪夫不等式,得:令a2≥0.1a≥0.3245.2大數(shù)定律我們曾經(jīng)說,頻率是概率的反映,隨著觀察次數(shù)的增大,頻率將會逐漸穩(wěn)定到概率.這里是指試驗的次數(shù)無限增大時,在某種收斂意義下逼近某一定數(shù),這就是所謂大數(shù)定律5契比雪夫大數(shù)定律設(shè)隨機變量X1,X2,...,Xn,...相互獨立,且分別具有期望E(Xk)和方差D(Xk)(k=1,2,...),若方差有界,則>0,有:6由契比雪夫不等式,得:n1表明:算術(shù)平均值依概率收斂于數(shù)學(xué)期望7貝努里大數(shù)定律

設(shè)n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生nA次,在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p,則>0,有:8∵令由契比雪夫大數(shù)定律得出結(jié)論E(Xi)=p,D(Xi)=p(1p)又表明:頻率依概率收斂于概率p以嚴格的數(shù)學(xué)形式表達了頻率的穩(wěn)定性9例1設(shè)隨機變量Xk(k=1,2,...)相互獨立,具有同一分布:E(Xk)=0,D(Xk)=2,且E(Xk4)(k=1,2,...)存在,試證明:>0,

[證]:令Yk=Xk2(k=1,2,...)由已知,Yk(k=1,2,...)相互獨立E(Yk)=E(Xk2)=D(Xk)+E2(Xk)=210D(Yk)=E(Yk2)E2(Yk)=E(Xk4)4由契比雪夫大數(shù)定律:>0,有115.3中心極限定理在一定條件下,大量獨立隨機變量的和的分布以正態(tài)分布為極限分布的這一類定理稱為中心極限定理

12的分布函數(shù)Fn(x)收斂到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù).獨立同分布的中心極限定理設(shè)隨機變量X1,X2,…,Xn,…相互獨立,服從同一分布,且具有期望和方差:

E(Xk)=,D(Xk)=2>0(k=1,2,…),則隨機變量13即xR,滿足:注意到:14例如,P{a<X<b}15例3某大型商場每天接待顧客10000人,設(shè)每位顧客的消費額(元)服從[200,2000]上的均勻分布,且顧客的消費額是相互獨立的,試求該商場的銷售額(元)在平均銷售額上、下浮動不超過30000元的概率解:設(shè)第k位顧客的消費額為Xk

(k=1,2,…,10000)商場日銷售額為X,則所求為:P{|XE(X)|≤30000}16由已知,=100001100=11106由獨立同分布中心極限定理,有:17P{30000≤X11×106≤30000}2(0.58)10.4418棣莫夫-拉普拉斯定理設(shè)隨機變量Xn~B(n,p)(n=1,2,…),則xR,有:(二項分布以正態(tài)分布為極限分布)19∵令X1,X2,…,Xn,…相互獨立,均服從以p為參數(shù)的兩點分布則由獨立同分布中心極限定理得出結(jié)論20小結(jié)1.會利用契