§5.1

大數定律

§5.2中心極限定理第五章大數定律與中心極限定理§5.1大數定律給出幾種大數定律：切比雪夫弱大數定律、辛欽弱大數定律科爾莫哥洛夫強大數定律、博雷爾強大數定律討論“概率是頻率的穩(wěn)定值”（伯努利大數定律）的確切含義.對大數定律的直觀認識學校有10000個學生，平均身高為a；若隨意觀察1個學生的身高X1，則X1與a可能相差較大。隨意觀察10個學生的身高X1,

X2,…,

X10，則10個數據的均值(X1+X2+…+X10)/10與a較接近；若隨意觀察100個學生的身高X1,

X2,…,

X100，則100個數據的均值(X1+X2+…+X100)/100與a更接近；若隨意觀察n個學生的身高X1,

X2,…,

Xn

，則當n為很大數時，n個數據的均值(X1+X2+…+Xn

)/n

（樣本均值）

與a（總體平均值）充分接近.5.1.1大數定律問題的提法依概率收斂弱大數定律討論的就是依概率收斂.若對任意的>0，有則稱隨機變量序列{Xn}依概率收斂于Y,記為設有隨機變量序列X1,X2,…,Xn和隨機變量Y以概率1收斂強大數定律討論的就是以概率1收斂.如果則稱隨機變量序列{Xn}以概率1收斂于Y,記為設有隨機變量序列X1,X2,…,Xn和隨機變量Y可以證明，若則常用的幾個大數定律

大數定律一般形式：

若隨機變量序列{Xn}滿足：則稱{Xn}服從大數定律.切比雪夫大數定律證明用到切比雪夫不等式.切比雪夫弱大數定律的證明辛欽弱大數定律

定理5.1.2若隨機變量序列{Xn}獨立同分布，且Xn的數學期望存在，則{Xn}服從大數定律.伯努利大數定律推論5.1.1（伯努利大數定律（頻率收斂于概率））設vn

是n重伯努利試驗中事件A出現的次數，每次試驗中P(A)=p,則對任意的

>0，有意義：隨著n的增大，依概率意義講，頻率pn越來越接近概率p，而pn不接近p的可能性越來越小。不能說：，因為不管n有多大，仍可能有pn

偏離p的情形出現(雖然這些例外情形出現的概率趨于0)。注意點(1)伯努利大數定律是切比雪夫大數定律的特例.(2)伯努利大數定律是辛欽大數定律的特例.(3)各大數定律的條件是不同的，使用時注意甄別.5.1.3強大數定律推論5.1.2就是博雷爾（Borel強大數定律）.有關大數定律習題選講§5.2中心極限定理

討論獨立隨機變量和的極限分布,

本節(jié)指出極限分布為正態(tài)分布.內容提要：設{Xn}為獨立隨機變量序列，記其和為獨立同分布的中心極限定理定理5.2.1

林德伯格—萊維中心極限定理設{Xn}為獨立同分布隨機變量序列，數學期望為,方差為2>0，則{Xn}服從中心極限定理，即林德伯格—萊維中心極限定理的推論補充例1每袋味精的凈重為隨機變量，平均重量為100克，標準差為10克.一箱內裝200袋味精，求一箱味精的凈重大于20500克的概率?解:設箱中第i

袋味精的凈重為Xi,則Xi

獨立同分布，且E[Xi]=100，Var[Xi]=100，

由中心極限定理得，所求概率為：=0.0002故一箱味精的凈重大于20500克的概率為0.0002.(很小)補充例2

設X為一次射擊中命中的環(huán)數，其分布列為求100次射擊中命中環(huán)數在900環(huán)到930環(huán)之間的概率.XP109876

0.80.10.050.020.03解:設Xi

為第i

次射擊命中的環(huán)數，則Xi

獨立同分布，且E[Xi]

=9.62，Var[Xi]

=0.82，故=0.00021棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理是林德伯格—萊維中心極限定理的特例.棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理還有另一種敘述形式.二項分布的正態(tài)近似定理5.2.2

棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理設Yn

為服從二項分布b(n,p)的隨機變量，則當n

充分大時，有二項分布是離散分布，而正態(tài)分布是連續(xù)分布，所以用正態(tài)分布作為二項分布的近似時，可作如下修正：注意點(1)棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理的應用有三大類：

注意點(2)

ii)已知n

和概率，求x

；

iii)已知x

和概率，求n.i)已知n

和x，求概率；

例5.2.2設某地區(qū)原有一家小電影院，現擬籌建一所較大的電影院。根據分析，該地區(qū)每天平均看電影者約有n=1600人，預計新電影院開業(yè)后，平均約有3/4的觀眾將去新電影院。現計劃其座位數，要求座位數盡可能多，但“空座達到200或更多”的概率不能超過0.1，問設多少座位為好？解：設每天看電影的人編號1,2,3,…,1600,且令

假設各觀眾去不去電影院是獨立選擇的。則X1,

X2,…,

X1600是獨立的0-1分布的隨機變量。設座位數是m，按要求有

P(X1+X2+…+X1600≤m-200)≤0.1要在此條件下m最大，就是在上式取等號時.中心極限定理的應用例題補充一、給定n和x，求概率補充例3100個獨立工作(工作的概率為0.9)的部件組成一個系統(tǒng)，求系統(tǒng)中至少有85個部件工作的概率.解：用由此得：Xi=1表示第i個部件正常工作,反之記為Xi=0.又記Y=X1+X2+…+X100，則E[Y]=90，Var[Y]=9.二、給定n和概率，求x補充例4有200臺獨立工作(工作的概率為0.7)的機床，每臺機床工作時需15kw電力.問共需多少電力,才可有95%的可能性保證正常生產?解：用設供電量為x,則從Xi=1表示第i臺機床正常工作,反之記為Xi=0.又記Y=X1+X2+…+X200，則E[Y]=140，Var[Y]=42.中解得三、給定x

和概率，求n補充例5用調查對象中的收看比例k/n作為某電視節(jié)目的收視率p的估計。要有90％的把握，使k/n與p

的差異不大于0.05，問至少要調查多少對象？解：用根據題意Xn表示n

個調查對象中收看此節(jié)目的人數，則從中解得Xn服從b(n,p)分布，k為Xn的實際取值。又由可解得n=271補充例6

設每顆炮彈命中目標的概率為0.01，求500發(fā)炮彈中命中5發(fā)的概率.解:

設X

表示命中的炮彈數,則X~b(500,0.01)＝0.17635(2)應用正態(tài)逼近:P