定義：任一時刻，若流場中各點(diǎn)的流體速度都平行于某一固定平面，并且流場中個物理量在此平面的垂直方向上沒有變化，則表示這種流動為平面流動，或稱平面問題。數(shù)學(xué)表示：若流體運(yùn)動的平面為oxy平面，oz軸垂直于該平面，則對于平面流動則要求任一物理量f應(yīng)滿足：且w=0

在實(shí)際問題與自然現(xiàn)象中，并不存在嚴(yán)格的平面流動，但是當(dāng)流動的物理量在某一方向（例z軸方向）的變化相對于其他方向上的變化為小量，而且此方向上的速度近似等于零時，則就可以簡化為平面流動問題。推廣應(yīng)用：在某一方向求平均，把三維問題簡化為二維問題。C.H.4平面問題

4.1流函數(shù)的定義及其性質(zhì)

1.流函數(shù)的定義據(jù)數(shù)學(xué)分子中平面曲線積分與路徑無關(guān)的性質(zhì)可知，如果有P（x，y）和Q（x，y）兩個函數(shù)，而且P、Q及均在閉區(qū)域及其邊界上是單值連續(xù)的；若對于所有x，y，下等式成立：則必存在一個由如下線積分定義的函數(shù)F（x，y）該積分與路徑無關(guān)，而且有如下關(guān)系：流體力學(xué)中，不可壓流體的平面連續(xù)方程為：便可定義一個函數(shù)稱為流函數(shù)，在上述線積分時，t作為參數(shù)。

極坐標(biāo)下的不可壓連續(xù)方程可定義流函數(shù)為：定義流函數(shù)條件：二維、不可壓，與粘性、定常、無旋等無關(guān)。

2.流函數(shù)的一些性質(zhì)1）可以差一任意常數(shù)，而不影響流體運(yùn)動；2）等流函數(shù)線為流線不同的常數(shù)，便可得到不同的流線;反映的是流線族，故稱為流函數(shù)。3）兩點(diǎn)流函數(shù)值之差等于過此兩點(diǎn)連線的單位厚度曲面流量

4)與的關(guān)系5）對于不可壓平面無旋運(yùn)動，等速度勢線與等流函數(shù)線正交xByAdxdydl

4.2.復(fù)勢與復(fù)速度

1.復(fù)勢與復(fù)速度的定義

復(fù)勢:對于不可壓流體的平面無旋運(yùn)動，存在速度勢與流函數(shù)，且有與均是調(diào)和函數(shù)。定義一個z的解析函數(shù)W(z)W(z)與不可壓、平面無旋運(yùn)動一一對應(yīng)。復(fù)速度：定義復(fù)速度——復(fù)勢的導(dǎo)數(shù)：

復(fù)速度的共軛為：

復(fù)速度的模就是速度的絕對值

2.復(fù)勢的幾個性質(zhì)

1）W(z)可以差一任意常數(shù)而不影響流運(yùn)動；

2)3)實(shí)部：速度環(huán)流；虛部：流量4)在無源無匯的單連通區(qū)域內(nèi)，W(z)是單值函數(shù)。4.3基本流動及組合原理

W(z)與不可壓、平面無旋運(yùn)動一一對應(yīng)；對流場的研究轉(zhuǎn)化為對W(z)的研究。因?yàn)槿粢阎猈(z),流場的特性均可知道。先介紹具有基本意義的解析函數(shù)以及它們所對應(yīng)的基本流動，然后據(jù)解析函數(shù)的可疊加性，將某些基本的解析函數(shù)進(jìn)行疊加得到新的解析函數(shù)來研究較復(fù)雜一些的流動。

1.基本流動

1)均勻流動W表示的是沿x軸的均勻流動，流速為U。因?yàn)椋核运俣葎菖c流函數(shù)分別為：

流線：即平行于軸的直線。xyo

2)點(diǎn)渦旋設(shè)渦旋只在一點(diǎn)存在，除此以外流體均是無旋的，這種運(yùn)動稱作為點(diǎn)渦旋運(yùn)動。若點(diǎn)渦在原點(diǎn)，則復(fù)勢為：若點(diǎn)渦在，則復(fù)勢為：其中是點(diǎn)渦的強(qiáng)度由復(fù)勢可得到與為：則流動沿逆時針方向

則流動沿順時針方向

3)源與匯m為源或匯的強(qiáng)度用極坐標(biāo)的形式表示速度勢與流函數(shù)分別為：

速度分量為：

速度方向與同向，這時流體沿一族射線（流線）從不斷向外流出，似乎源泉一樣，所以這種流動成為點(diǎn)源。速度方向與反向，即向園心，這時流體沿流線流向一點(diǎn)，這種流動稱作點(diǎn)匯。

4)任意拐角繞流流線：

等勢線：零流線：即平行于x軸的直線，均勻流流線：

雙曲線，零流線:x=0,y=0速度：

無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為奇點(diǎn):

原點(diǎn)為駐點(diǎn):零流線:N=1N=2N=32.基本流動的疊加任意兩個或兩個以上解析函數(shù)的線性疊加（組合）仍然是解析函數(shù)，所以兩個或兩個以上復(fù)勢的線性組合仍能代表某一流場的復(fù)勢，于是，可以利用簡單的基本流動進(jìn)行適當(dāng)?shù)木€性組合來描述較復(fù)雜一些的流動1）偶極子定義：兩個強(qiáng)度同樣很大而又無限接近的源和匯構(gòu)成的流場成為偶，或偶極子。設(shè)源在原點(diǎn)，匯在處，則其復(fù)勢為：如果zo在x軸上，則

流線：等勢線:速度：

2）圓柱繞流在偶極子的基礎(chǔ)上，再疊加一個沿x軸的均勻流，這時流場復(fù)勢應(yīng)為：流線

零流線

若以零流線作為邊界，便可得繞過半徑為得圓柱體的均勻繞流;若柱體的半徑用a表示，即

園柱面上，

可見，在繞圓柱流動中，沿圓柱體表面流體只有切向速度而無經(jīng)向速度。稱A,B點(diǎn)為駐點(diǎn)；

最大

ABCD4.4平面壁鏡像與圓定理1.平面壁鏡緣

1）y=0的平面壁緣（對稱于軸）若在的域中存在若干源、匯、偶極子或其它奇點(diǎn)，其復(fù)勢為f(z)，則在流場中插入y=0的平面壁后，在的域中，復(fù)勢變?yōu)椋浩渲惺菍(z)中除z以外的復(fù)數(shù)取共軛。例設(shè)在z0處有一強(qiáng)度為m的點(diǎn)源，求地面(取x軸)對它影響。解已知不考慮地面時，點(diǎn)源的復(fù)勢為：考慮地面后，據(jù)上面的公式可知復(fù)勢應(yīng)變?yōu)椋嚎紤]地面后的復(fù)勢相當(dāng)于在的共軛點(diǎn)上z0放置了一同等強(qiáng)度的點(diǎn)源。2)X=0的平面壁像（對稱于y軸）若在的域中存在若干源、匯、偶極子或其它奇點(diǎn)，其復(fù)勢為f(z)，則在流場中插入x=0的平面壁后，在的域中，復(fù)勢變?yōu)椋菏街斜硎緦(z)中除z以外的復(fù)數(shù)取共軛，并以-z代替z。例設(shè)在z0處有一強(qiáng)度為m的點(diǎn)源，求放入壁面x=0后流場的復(fù)勢。解已知插入壁面x=0以前的復(fù)勢為：插入壁面后的復(fù)勢變?yōu)椋?.園柱面的鏡像-園定理若f(z)為沒有園柱邊界時流場的復(fù)勢，而且在中f(z)沒有奇點(diǎn)，則在此流場中插入的不動園柱后，在園柱外的復(fù)勢為：式中表示對f(z)中除z以外各復(fù)數(shù)值取共軛，并以取代z。例在均勻流場中，于處加上一園柱，求該園柱影響后的流場。解已知均勻流復(fù)勢為：據(jù)園定理，園柱影響后的復(fù)勢為：aoyx

例在園柱外x=b處()有一強(qiáng)度為m的源，求考慮園柱后的復(fù)勢。

解已知強(qiáng)度為m的源的復(fù)勢為：據(jù)園定理，園柱影響后的復(fù)勢為：abyx4.5保角變換方法

對于理想不可壓平面無旋流動的問題，可歸結(jié)為尋求滿足邊界條件能反映流場的復(fù)勢。對于較簡單的邊界，用前面介紹的方法便可求得復(fù)勢，但當(dāng)邊界較復(fù)雜時，尋求復(fù)勢較困難，再簡單介紹一個利用復(fù)變函數(shù)這個數(shù)學(xué)工具即通過保角變換求復(fù)勢的方法?；舅枷耄海?）通過一個解析變換，,把實(shí)際平面上較復(fù)雜的物面邊界變成輔助平面上較簡單形狀的邊界，即把復(fù)雜的不易求得的流場變成簡單的易確定的流場。（2）確定實(shí)際平面及輔助平面上的對應(yīng)關(guān)系（3）在輔助平面上，復(fù)勢比較容易確定;于是利用上面的關(guān)系就可確定z平面上的W(z).

該方法的關(guān)鍵在于導(dǎo)求適當(dāng)?shù)慕馕鲎儞Q，將復(fù)雜的物面形狀變成簡單的物面形狀。下面我們先介紹一個最有名的變換。

可證明，該變化是把平面上中心在圓點(diǎn)半徑為的圓變成z平面上的橢圓，其中長、半軸分別為a、b。則上式的反演（取正號，使橢圓內(nèi)變成圓內(nèi)，橢圓外變成圓外）就是把z平面上的半軸分別為a與b的橢圓外部區(qū)域變成平面上半徑為的圓的外部區(qū)域1、茹柯夫斯基變換2、橢圓柱繞流

在z平面上有一以勻速U，方向與x軸同方向的均勻流繞橢圓柱的流場，求其復(fù)勢。

(1)首先通過茹柯夫斯基變換，把z平面上半軸分別為a與b的橢圓外部區(qū)域變成平面上的半徑為的圓外部區(qū)域，即：(2)確定在平面上的復(fù)勢

因?yàn)樵谄矫嫔鲜蔷鶆蛄骼@圓柱的流動，故其復(fù)勢可寫成：利用變換關(guān)系

,代入上式，便可得在z平面上均勻流繞橢圓柱的復(fù)勢：所以，均勻流繞橢園柱的復(fù)勢可寫成：

4.6定常流場中的物體受力

作用在物體上力和合力矩的計(jì)算。先求物體表面上的速度分布，然后據(jù)伯努力積分求出物體表面的壓力分布。本節(jié)介紹的Blasius-恰普雷金公式給我們提供了一個據(jù)已知的柱外部平面的復(fù)勢W（z）來求作用在這一任意形狀柱體上的力和力矩。

勃拉休斯-恰普雷金公式假定：理想流體、不可壓縮、平面定常運(yùn)動、無旋、不考慮質(zhì)量力，流體無分離地繞過不動物體，物體上受到的合力及合力矩可表示為：知道復(fù)勢