排列組合綜合應(yīng)用知識(shí)梳理按照一定的順序所有排列n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)n·(n－1)(n－2)·…·3·2·1n！111典型題型例1：

用0、1、2、3、4五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重?cái)?shù)字的四位數(shù)，則在這些四位數(shù)中，（1）偶數(shù)有多少個(gè)？（2）被3整除的數(shù)有多少個(gè)？排數(shù)問題排人問題

例2：

4個(gè)男孩3個(gè)女孩，站成一排照相留念。1)若三個(gè)女孩要站在一起，有多少種不同的排法？2)若三個(gè)女孩要站在一起，四個(gè)男孩也要站在一起，有多少種不同的排法？3)若三個(gè)女孩互不相鄰，四個(gè)男孩也互不相鄰，有多少種不同的排法？

例2：

4個(gè)男孩3個(gè)女孩，站成一排照相留念。4)A、B小孩必須相鄰，且C、D小孩不能相鄰有多少種不同的排法？5)若其中A、B、C小孩有自己的順序，有多少種不同的排法？

例2：

4個(gè)男孩3個(gè)女孩，站成一排照相留念。解1：?jiǎn)枺喝鬉、B、C三個(gè)小孩按從高到矮的順序站，有多少種不同的排法？6）若前排站三人，后排站四人，其中的A、B兩小孩必須站前排且相鄰，有多少種不同的排法？

例2：

4個(gè)男孩3個(gè)女孩，站成一排照相留念。問：若7個(gè)座位3個(gè)孩子去坐，要求每個(gè)孩子的旁邊都有空位置，有多少種不同的排法？例3：（1）6本不同的書分給5名同學(xué)每人一本，有多少種不同分法？（2）5本相同的書分給6名同學(xué)每人至多一本，有多少種不同的分法？（3）6本不同的書全部分給5名同學(xué)每人至少一本，有多少種不同的分法？分配問題注：1.非均勻分組，，只需依次取出相應(yīng)元素即可2.均勻分成m組，由于出現(xiàn)重復(fù)現(xiàn)象，故需除以3.部分均勻分組，也會(huì)出現(xiàn)重復(fù)現(xiàn)象，有k部分均勻，就除以（5）分給甲乙丙丁四人，其中二人各一本，二人各二本例3：（6）7名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參加社會(huì)公益活動(dòng)，若每天安排3人，者有多少種不同的安排方法？分配問題例3：（7）將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級(jí)的3個(gè)班實(shí)習(xí)，每個(gè)班至少1名，最多2名，則不同的分配方案有多少？分配問題例4：（1）7個(gè)相同的小球，任意放入4個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少有1個(gè)小球的不同放法有多少種？分配問題解：將7個(gè)小球用3塊隔板分成4份但盒子又不能空隔板法相同(2)7個(gè)相同的小球放入到4個(gè)相同的盒子，每個(gè)

盒子至少放一個(gè)球變式：分：（1，1，1，4）；（1，1，2，3）；

（1，2，2，2）共3種。（3）7個(gè)不同的小球放入到4個(gè)相同的盒子，（4）7個(gè)不同的小球放入到4個(gè)不同的盒子，分配問題相同元素的分配問題：隔板法不同元素的分配問題：先組后排，注意分清—均勻分組，非均勻分組，部分均勻分組例4：（2）7個(gè)相同的小球，任意放入4個(gè)不同的盒子中，共有多少種不同的方法？分配問題解：相當(dāng)于將7個(gè)小球用3塊隔板分成4份隔板法例5：四面體的一個(gè)頂點(diǎn)是A，從其它頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)，使他們和點(diǎn)A在同一個(gè)平面上，則共有多少種不同的取法？組圖形問題1.每個(gè)側(cè)面上的2.頂點(diǎn)A與底面三線中線構(gòu)成的三角形例6：四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，從中任取4個(gè)不共面的點(diǎn)，有多少種不同的取法？組圖形問題1.四個(gè)側(cè)面2.各棱中點(diǎn)構(gòu)成的平行四邊形3.頂點(diǎn)與對(duì)面中線構(gòu)成的三角形例7：用正方體的8個(gè)頂點(diǎn)共可以組成多少個(gè)不同的四面體？組圖形問題1.6個(gè)側(cè)面2.6個(gè)對(duì)角面例8：10雙不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任取4只，試求符合下列各種情形的方法數(shù)？先成雙后成單（1）4只鞋子恰成兩雙；(2)4只鞋子沒有成雙；（3）4只鞋子中有2只成雙，另外2只不成雙;例9：8名外交工作者，其中3人只會(huì)英語(yǔ)，2人只會(huì)日語(yǔ)，3人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)，現(xiàn)從則8人中選3個(gè)會(huì)英語(yǔ)，3個(gè)會(huì)日語(yǔ)的人去完成一項(xiàng)任務(wù)，有多少種不同的選法？選人問題分三類：1.從多面手中選一人作為日語(yǔ)2.從多面手中選二人作為日語(yǔ)3.從多面手中選三人作為日語(yǔ)例10：將三種不同農(nóng)作物種植在下面五塊土地上，要求相鄰區(qū)域不種同一作物，則有多少種不同的種植方案？種植問題12345例11：給下面的5個(gè)行政區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，問共有多少種不同的涂色方案？涂色問題23154問：用4種顏色給下面的5個(gè)行政區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，問共有多少種不同的涂色方案？點(diǎn)評(píng)：據(jù)不相鄰區(qū)域按顏色分類例12：在下面的電路圖中求相應(yīng)的控制方法數(shù)？電路問題AB

(3)：A、B至少有一個(gè)正常工作？

(1)：用電器A正常工作？

(2)：用電器B正常工作？例13（1）某城市的街區(qū)由12個(gè)全等的矩形區(qū)組成其中實(shí)線表示馬路，從A走到B的最短路徑有多少種？BA最短路問題例13（2）1建筑工人從類似于×3的長(zhǎng)方體框架的A點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)B，每步走一個(gè)單位，且向上不能連續(xù)攀登，求他行走的最短路線共有多少？最短路問題AB第一步走完下面4×2的矩形框,第二步向上攀登,相當(dāng)于在6個(gè)空位中插入不相鄰的三個(gè)元素例14：將4個(gè)不同的小球放到編號(hào)為1、2、3、4的4個(gè)盒子中，則恰好有一個(gè)空盒子的方法有多少種？混合問題問：恰有兩個(gè)盒子不放小球的方法有多少種？例15：從5男3女中選5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，求符合下列條