1．2排列第1課時排列排列數(shù)公式1．理解排列的意義，并能用樹形圖正確寫出一些簡單排列問題的所有排列．(重點)2．掌握排列數(shù)公式及其推導方法，并能運用排列數(shù)公式進行運算或證明．(重點、難點)[基礎·初探]教材整理1排列的概念閱讀教材P11“例1”以上部分，完成下列問題．一般地，從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)兩個排列的元素相同，則這兩個排列是相同的排列．()(2)從六名學生中選三名學生參加數(shù)學、物理、化學競賽，共有多少種選法屬于排列問題．()(3)有十二名學生參加植樹活動，要求三人一組，共有多少種分組方案屬于排列問題．()(4)從3,5,7,9中任取兩個數(shù)進行指數(shù)運算，可以得到多少個冪屬于排列問題．()(5)從1,2,3,4中任取兩個數(shù)作為點的坐標，可以得到多少個點屬于排列問題．()【解析】(1)×因為相同的兩個排列不僅元素相同，而且元素的排列順序相同．(2)√因為三名學生參賽的科目不同為不同的選法，每種選法與“順序”有關，屬于排列問題．(3)×因為分組之后，各組與順序無關，故不屬于排列問題．(4)√因為任取的兩個數(shù)進行指數(shù)運算，底數(shù)不同、指數(shù)不同、結果不同．結果與順序有關，故屬于排列問題．(5)√因為縱、橫坐標不同，表示不同的點，故屬于排列問題．【答案】(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√教材整理2排列數(shù)與排列數(shù)公式閱讀教材P13～P14，完成下列問題.排列數(shù)定義及表示從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號Aeq\o\al(m,n)表示全排列的概念n個不同元素全部取出的一個排列階乘的概念把n·(n－1)·…·2·1記作n！，讀作：n的階乘排列數(shù)公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)階乘式Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)(n，m∈N*，m≤n)特殊情況Aeq\o\al(n,n)＝n！，Aeq\o\al(0,n)＝1,0?。?1．Aeq\o\al(2,4)＝________，Aeq\o\al(3,3)＝________.【解析】Aeq\o\al(2,4)＝4×3＝12；Aeq\o\al(3,3)＝3×2×1＝6.【答案】126\f(A\o\al(3,4),5！)＝________.【解析】eq\f(A\o\al(3,4),5！)＝eq\f(4×3×2,5×4×3×2×1)＝eq\f(1,5).【答案】eq\f(1,5)3．由1,2,3這三個數(shù)字組成的三位數(shù)分別是________．【解析】用樹形圖表示為由“樹形圖”可知組成的三位數(shù)為123,132,213,231,312,321，共6個．【答案】123,132,213,231,312,321[質疑·手記]預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]排列的概念判斷下列問題是否為排列問題．(1)北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設來回的票價相同)；(2)選2個小組分別去植樹和種菜；(3)選2個小組去種菜；(4)選10人組成一個學習小組；(5)選3個人分別擔任班長、學習委員、生活委員；(6)某班40名學生在假期相互通信．【精彩點撥】判斷是否為排列問題關鍵是選出的元素在被安排時，是否與順序有關．若與順序有關，就是排列問題，否則就不是排列問題．【自主解答】(1)中票價只有三種，雖然機票是不同的，但票價是一樣的，不存在順序問題，所以不是排列問題．(2)植樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．(3)(4)不存在順序問題，不屬于排列問題．(5)中每個人的職務不同，例如甲當班長或當學習委員是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．(6)A給B寫信與B給A寫信是不同的，所以存在著順序問題，屬于排列問題．所以在上述各題中(2)(5)(6)屬于排列問題．1．解決本題的關鍵有兩點：一是“取出元素不重復”，二是“與順序有關”．2．判斷一個具體問題是否為排列問題，就看取出元素后排列是有序的還是無序的，而檢驗它是否有序的依據(jù)就是變換元素的“位置”(這里的“位置”應視具體問題的性質和條件來決定)，看其結果是否有變化，有變化就是排列問題，無變化就不是排列問題．[再練一題]1．判斷下列問題是否是排列問題．(1)從1到10十個自然數(shù)中任取兩個數(shù)組成直角坐標平面內的點的坐標，可得多少個不同的點的坐標？(2)從10名同學中任抽兩名同學去學校開座談會，有多少種不同的抽取方法？(3)某商場有四個大門，若從一個門進去，購買物品后再從另一個門出來，不同的出入方式共有多少種？【解】(1)由于取出的兩數(shù)組成點的坐標與哪一個數(shù)作橫坐標，哪一個數(shù)作縱坐標的順序有關，所以這是一個排列問題．(2)因為從10名同學中抽取兩人去學校開座談會的方式不用考慮兩人的順序，所以這不是排列問題．(3)因為從一門進，從另一門出是有順序的，所以是排列問題．綜上，(1)、(3)是排列問題，(2)不是排列問題．排列的列舉問題寫出下列問題的所有排列．(1)從1,2,3,4四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字組成兩位數(shù)，共有多少個不同的兩位數(shù)？(2)寫出從4個元素a，b，c，d中任取3個元素的所有排列．【精彩點撥】(1)直接列舉數(shù)字．(2)先畫樹形圖，再結合樹形圖寫出．【自主解答】(1)所有兩位數(shù)是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12個不同的兩位數(shù)．(2)由題意作樹形圖，如圖．故所有的排列為：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24個．在排列個數(shù)不多的情況下，樹形圖是一種比較有效的表示方式.在操作中先將元素按一定順序排出，然后以先安排哪個元素為分類標準進行分類，在每一類中再按余下的元素在前面元素不變的情況下確定第二個元素，再按此元素分類，依次進行，直到完成一個排列，這樣能不重不漏，然后按樹形圖寫出排列.[再練一題]2．(1)北京、廣州、南京、天津4個城市相互通航，應該有________種機票.【導學號：29440003】(2)A，B，C，D四名同學排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有________種不同的排列方法？【解析】(1)列出每一個起點和終點情況，如圖所示．故符合題意的機票種類有：北京→廣州，北京→南京，北京→天津，廣州→南京，廣州→天津，廣州→北京，南京→天津，南京→北京，南京→廣州，天津→北京，天津→廣州，天津→南京，共12種．(2)因為A不排第一，排第一位的情況有3類(可從B，C，D中任選一人排)，而此時兼顧分析B的排法，列樹形圖如圖．所以符合題意的所有排列是：BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA共14種．【答案】(1)12(2)14[探究共研型]排列數(shù)公式的推導及應用探究1兩個同學從寫有數(shù)字1,2,3,4的卡片中選取卡片進行組數(shù)字游戲．從這4個數(shù)字中選出2個或3個分別能構成多少個無重復數(shù)字的兩位數(shù)或三位數(shù)？【提示】從這4個數(shù)字中選出2個能構成Aeq\o\al(2,4)＝4×3＝12個無重復數(shù)字的兩位數(shù)；若選出3個能構成Aeq\o\al(3,4)＝4×3×2＝24個無重復數(shù)字的三位數(shù)．探究2由探究1知Aeq\o\al(2,4)＝4×3＝12，Aeq\o\al(3,4)＝4×3×2＝24，你能否得出Aeq\o\al(2,n)的意義和Aeq\o\al(2,n)的值？【提示】Aeq\o\al(2,n)的意義：假定有排好順序的2個空位，從n個元素a1，a2，…，an中任取2個元素去填空，一個空位填一個元素，每一種填法就得到一個排列；反過來，任一個排列總可以由這樣的一種填法得到，因此，所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)Aeq\o\al(2,n).由分步計數(shù)原理知完成上述填空共有n(n－1)種填法，所以Aeq\o\al(2,n)＝n(n－1)．探究3你能寫出Aeq\o\al(m,n)的值嗎？有什么特征？若m＝n呢？【提示】Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N*，m≤n)．(1)公式特征：第一個因數(shù)是n，后面每一個因數(shù)比它前面一個少1，最后一個因數(shù)是n－m＋1，共有m個因數(shù)；(2)全排列：當n＝m時，即n個不同元素全部取出的一個排列．全排列數(shù)：Aeq\o\al(n,n)＝n(n－1)(n－2)·…2·1＝n！(叫做n的階乘)．另外，我們規(guī)定0！＝1.所以Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)＝eq\f(A\o\al(n,n),A\o\al(n－m,n－m)).(1)計算：eq\f(A\o\al(5,9)＋A\o\al(4,9),A\o\al(6,10)－A\o\al(5,10))；(2)證明：Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n).【精彩點撥】第(1)題可直接運用排列數(shù)公式，也可采用階乘式；第(2)題首先分析各項的關系，利用Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)進行變形推導．【自主解答】(1)法一：eq\f(A\o\al(5,9)＋A\o\al(4,9),A\o\al(6,10)－A\o\al(5,10))＝eq\f(5A\o\al(4,9)＋A\o\al(4,9),50A\o\al(4,9)－10A\o\al(4,9))＝eq\f(5＋1,50－10)＝eq\f(3,20).法二：eq\f(A\o\al(5,9)＋A\o\al(4,9),A\o\al(6,10)－A\o\al(5,10))＝eq\f(\f(9！,4！)＋\f(9！,5！),\f(10！,4！)－\f(10！,5！))＝eq\f(5×9！＋9！,5×10！－10！)＝eq\f(6×9！,4×10！)＝eq\f(3,20).(2)證明：∵Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n＋1！,n＋1－m！)－eq\f(n！,n－m！)＝eq\f(n！,n－m！)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n＋1－m)－1))＝eq\f(n！,n－m！)·eq\f(m,n＋1－m)＝m·eq\f(n！,n＋1－m！)＝mAeq\o\al(m－1,n)，∴Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n).排列數(shù)的計算方法1．排列數(shù)的計算主要是利用排列數(shù)的乘積公式進行，應用時注意：連續(xù)正整數(shù)的積可以寫成某個排列數(shù)，其中最大的是排列元素的總個數(shù)，而正整數(shù)(因式)的個數(shù)是選取元素的個數(shù)，這是排列數(shù)公式的逆用．2．應用排列數(shù)公式的階乘形式時，一般寫出它們的式子后，再提取公因式，然后計算，這樣往往會減少運算量．[再練一題]3．求3Aeq\o\al(x,8)＝4Aeq\o\al(x－1,9)中的x.【導學號：29440004】【解】原方程3Aeq\o\al(x,8)＝4Aeq\o\al(x－1,9)可化為eq\f(3×8！,8－x！)＝eq\f(4×9！,10－x！)，即eq\f(3×8！,8－x！)＝eq\f(4×9×8！,10－x9－x8－x！)，化簡，得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤8，,x－1≤9，))解得x≤8.所以原方程的解為x＝6.[構建·體系]1．下列問題中：①10本不同的書分給10名同學，每人一本；②10位同學互通一次電話；③10位同學互通一封信；④10個沒有任何三點共線的點構成的線段．其中屬于排列問題的是________．(將正確序號填上)【解析】①和③中兩個元素交換順序，結果發(fā)生變化，所以①和③是排列問題．【答案】①③2．從甲、乙、丙三人中選兩人站成一排的所有站法為________．(填序號)①甲乙，乙甲，甲丙，丙甲；②甲乙丙，乙丙甲；③甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙；④甲乙，甲丙，乙丙．【解析】這是一個排列問題，與順序有關，任意兩人對應的是兩種站法，故③正確．【答案】③3．5本不同的課外讀物分給5位同學，每人一本，則不同的分配方法有________種．