第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述方法

---控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型目的

建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，為課程的后續(xù)內(nèi)容提供必備的工具內(nèi)容掌握建立物理系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法掌握數(shù)學(xué)模型的相互轉(zhuǎn)換掌握數(shù)學(xué)模型的圖解形式引言數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式。建立數(shù)學(xué)模型的目的：是分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的首要工作（或基礎(chǔ)工作）。有許多類型的控制系統(tǒng)，其組成可以是電氣的、機(jī)械的、液壓或氣動(dòng)的等等，然而描述這些系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的模型卻可以是相同的。在研究一個(gè)控制系統(tǒng)時(shí)，首先要建立該控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。得到了描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，就可以采用數(shù)學(xué)分析的方法來研究該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。建立數(shù)學(xué)模型的方法

解析法（機(jī)理模型）：依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理、化學(xué)定律，列出各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式。實(shí)驗(yàn)法（實(shí)驗(yàn)建模）：對(duì)系統(tǒng)施加典型測(cè)試信號(hào)（脈沖、階躍或正弦信號(hào)），記錄系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)曲線或頻率響應(yīng)曲線，從而獲得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或頻率特性。通過數(shù)學(xué)模型來研究自動(dòng)控制系統(tǒng)，就擺脫了各種類型系統(tǒng)的外部特征而抓住其內(nèi)在的共同運(yùn)動(dòng)規(guī)律.數(shù)學(xué)模型微分方程傳遞函數(shù)頻率特性結(jié)構(gòu)圖信號(hào)流圖狀態(tài)空間表達(dá)式反映元件及系統(tǒng)的特性要正確實(shí)驗(yàn)法解析法寫出的數(shù)學(xué)式子要簡(jiǎn)明數(shù)學(xué)模型時(shí)域：微分方程、差分方程、狀態(tài)方程復(fù)域：傳遞函數(shù)、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖頻域：頻率特性線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)微分方程頻率特性拉氏變換傅氏變換§2.1控制系統(tǒng)的微分方程引例：由電阻R與電容C組成的一階濾波電路，寫出以u(píng)i為輸入，uc為輸出的系統(tǒng)關(guān)系方程。

控制系統(tǒng)的微分方程依據(jù)：電學(xué)中的基爾霍夫定律

由（2）代入（1）得：令T=RC

方程可簡(jiǎn)寫為即兩邊求導(dǎo)得因?yàn)殡娙蓦娏鳛榫€性定常系統(tǒng)的微分方程可表示為線性定常系統(tǒng)滿足疊加定理參數(shù)為常數(shù)為輸出信號(hào)的各階導(dǎo)數(shù)為輸入信號(hào)的各階導(dǎo)數(shù)疊加定理如果有 輸入x1(t)輸出y1(t)

輸入x2(t)輸出y2(t)則系統(tǒng)的輸入為輸出保持線性可加為2.控制系統(tǒng)微分方程的建立用解析法建立運(yùn)動(dòng)方程的步驟是：

分析系統(tǒng)的工作原理和系統(tǒng)中各變量間的關(guān)系，確定出待研究元件或系統(tǒng)的輸入量和輸出量；從輸入端入手，依據(jù)各元件所遵循的物理、化學(xué)、生物等規(guī)律，列寫各自方程式；在可能條件下，對(duì)各元件的原始方程進(jìn)行適當(dāng)簡(jiǎn)化，略去一些次要因素或進(jìn)行線性化處理；對(duì)微分方程進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理：與輸出量相關(guān)的各項(xiàng)置于等號(hào)左側(cè)，而與輸入量相關(guān)的置于等號(hào)右邊；等號(hào)左右各項(xiàng)均按降冪排列；將各項(xiàng)系數(shù)歸化為具有一定物理意義的形式。消去中間變量，得到描述元件輸入和輸出關(guān)系的微分方程；電學(xué)系統(tǒng)：

元件約束三種基本線性元件電阻R、電容C和電感L電學(xué)系統(tǒng)：

網(wǎng)絡(luò)約束基爾霍夫電壓電流定律：在電路的任一閉合回路中，各支路電壓的代數(shù)和為零流出（或流入）任意節(jié)點(diǎn)的各支路電流的代數(shù)和為零例：考慮由電阻R與電容C組成的一階濾波電路，寫出以u(píng)i

為輸入，u0為輸出的微分方程。由基爾霍夫電壓定律元件約束整理得關(guān)注：系統(tǒng)中獨(dú)立蓄能元件的個(gè)數(shù)與微分方程階數(shù)的關(guān)系。力學(xué)系統(tǒng)：

牛頓定律約束例：設(shè)彈簧－質(zhì)量－阻尼器系統(tǒng)如圖所示，試列出以力Fi

為輸入，以質(zhì)量單元的位移x為輸出的運(yùn)動(dòng)方程。物體所受的外力合等于物體質(zhì)量與加速度的乘積由牛頓第二定律：外力粘性阻力彈性阻力代入整理合力mFk(彈簧的拉力)Fi(t)外力Ff阻尼器的阻力虎克定律:彈簧彈力等于彈性系數(shù)與相對(duì)變形位移的乘積粘性摩擦定律:粘性摩擦力等于摩擦系數(shù)與相對(duì)速度的乘積§2.2非線性微分方程的線性化為什么要線性化非線性系統(tǒng)的性質(zhì)比線性系統(tǒng)要復(fù)雜得多哪種非線性系統(tǒng)可以線性化連續(xù)可導(dǎo)的非線性系統(tǒng)如何進(jìn)行線性化使用小偏差法

部分非線性系統(tǒng)，在一定條件下可近似地視為線性系統(tǒng)，這種有條件地把非線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型化為線性數(shù)學(xué)模型來處理的方法，稱為非線性數(shù)學(xué)模型的線性化。連續(xù)可導(dǎo)的非線性特性本質(zhì)非線性特性除本質(zhì)非線性系統(tǒng)之外，大部分非線性系統(tǒng)都可以在工作點(diǎn)鄰域線性化。小偏差理論具有連續(xù)變化的非線性函數(shù)A[x0，y0]為預(yù)定工作點(diǎn)，則該非線性函數(shù)可以線性化的條件是變量x偏離預(yù)定工作點(diǎn)很小。在給定工作點(diǎn)領(lǐng)域?qū)⒋朔蔷€性函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)，并略去二階及二階以上的各項(xiàng)，用所得的線性化方程代替原有的非線性方程。近似線性化方程為令作變量替換得線性化方程非線性系統(tǒng)作線性化時(shí)的步驟：

例：三相全橋整流調(diào)速裝置輸入量為控制角輸出量為整流電壓UD

,二者之間的關(guān)系為試建立其線性化方程。解：預(yù)定工作點(diǎn)為線性化方程為例：?jiǎn)螖[系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為試列寫其線性化方程。解：運(yùn)動(dòng)方程中的非線性項(xiàng)為預(yù)定工作點(diǎn)為線性關(guān)系為當(dāng)預(yù)定工作點(diǎn)為[0,0]線性化方程為當(dāng)預(yù)定工作點(diǎn)為

線性化方程為注意本質(zhì)非線性系統(tǒng)不可以作線性化。

工作點(diǎn)鄰域的線性化方程是增量方程，增量范圍過大時(shí)，將不滿足線性化條件。

不同的工作點(diǎn)，不同的線性化系數(shù)，有不同的線性化方程。多變量情況時(shí)，其線性化方法相似。為連續(xù)可導(dǎo)的非線性函數(shù)為預(yù)定工作點(diǎn)，則其在預(yù)定工作點(diǎn)附近的線性化方程為§2.3拉氏變換及其應(yīng)用拉氏變換f(t)F(s)拉氏變換的基本定理拉氏反變換F(s)f(t)拉氏變換法求解微分方程§2.3拉氏變換及其應(yīng)用已知時(shí)域函數(shù)f(t)

，如果滿足相應(yīng)的收斂條件，則可以定義其拉氏變換為拉氏變換的定義式中變量s為復(fù)變量，表示為s=+

j

記為函數(shù)f(t)的拉氏變換當(dāng)t<0,f(t)=0拉氏積分運(yùn)算符復(fù)變量一一映射拉氏變換為拉普拉斯（Laplace）變換的簡(jiǎn)稱對(duì)于任何時(shí)間連續(xù)的時(shí)間函數(shù)來說，它與拉氏變換之間保持唯一的對(duì)應(yīng)關(guān)系。2.常用信號(hào)的拉氏變換單位脈沖信號(hào)f(t)0at1/a單位脈沖信號(hào)數(shù)學(xué)表達(dá)式單位階躍信號(hào)數(shù)學(xué)表達(dá)式單位斜坡信號(hào)數(shù)學(xué)表達(dá)式指數(shù)信號(hào)數(shù)學(xué)表達(dá)式正、余弦信號(hào)數(shù)學(xué)表達(dá)式3.拉氏變換的基本定理線性定理

若函數(shù)分別有其拉氏變換：則延遲定理若則例

：周期鋸齒波信號(hào)如圖所示，試求該信號(hào)的拉氏變換。解：第一周期信號(hào)由延遲定理對(duì)于周期信號(hào)有衰減定理若則例：求函數(shù) 的拉氏變換解：微分定理若且f(t)的各階導(dǎo)數(shù)存在，則f(t)

各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換為：微分定理若初始條件為零s為微分算子積分定理若則為積分算子若初始條件為零，則初值定理且在t=0處有初值f(

0

)若終值定理若且f(∞)存在，則

則卷積定理若則卷積4.拉氏變換的優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)化函數(shù)簡(jiǎn)化運(yùn)算5.拉氏反變換拉氏變換：已知f(t)

求F(s)拉氏反變換：已知F(s)

求f(

t)

根據(jù)拉氏變換的基本定理部分分式法分母全部為單根分母有重根拉氏變換的逆運(yùn)算稱為拉氏反變換。幾個(gè)重要的拉氏變換對(duì)f(t)

F(s)f(t)

F(s)A(s)=0全部為單根為F(s)對(duì)應(yīng)于極點(diǎn)si

的留數(shù)。A(s)=0所有的解稱為F(s)的極點(diǎn)。例:已知 求F(s)

拉氏反變換。解：A(s)=0有重根………例：求 的拉氏反變換f(t)。解：例：已知 試求其拉氏反變換

f(t)解：微分方程的求解經(jīng)典法求解拉氏變換法求解簡(jiǎn)單問題：已知系統(tǒng)的輸入信號(hào)，系統(tǒng)的輸出隨時(shí)間變化的規(guī)律如何？6.應(yīng)用拉氏變換解微分方程方程兩邊作拉氏變換代入初始條件和輸入信號(hào)寫出輸出量的拉氏變換作拉氏反變換求出系統(tǒng)輸出的時(shí)間解

例：求解微分方程例

RC濾波電路如圖所示，輸入電壓信號(hào)ui(t)=5V，電容的初始電壓uc(0)

分別為0V和1V時(shí)，分別求時(shí)間解uc(t)。

解：兩邊取拉氏變換得將代入，整理得

uc(0)=0V

時(shí)uc(0)=1V

時(shí)問題：

以微分方程作為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，當(dāng)系統(tǒng)的參數(shù)變化時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)如何分析？

應(yīng)用傳遞函數(shù)將實(shí)數(shù)中的微分運(yùn)算變成復(fù)數(shù)中的代數(shù)運(yùn)算，可使問題分析大大簡(jiǎn)化。傳遞函數(shù)不僅可以表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，而且還可以用來研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響。系統(tǒng)微分方程初始條件為零時(shí)，拉氏變換為§2.4傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的定義

傳遞函數(shù)的性質(zhì)典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)的定義

在零初始條件下，系統(tǒng)或環(huán)節(jié)輸出信號(hào)的拉氏變換與輸入信號(hào)的拉氏變換之比，稱為系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)則輸出的拉氏變換為傳遞函數(shù)的表示形式多項(xiàng)式形式零極點(diǎn)形式因?yàn)榻M成系統(tǒng)的元部件或多或少存在慣性，所以G(s)的分母階次大于等于分子階次，即,是有理真分式。若,我們就說這是物理不可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)。特征方程K根軌跡增益，首項(xiàng)系數(shù)歸一實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)零極點(diǎn)形式例：

系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程模型為：其中，y為輸出，r為輸入，請(qǐng)確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：對(duì)方程兩端取拉氏變換，得：

代入零初始條件，得：

于是，傳遞函數(shù)為：

2.傳遞函數(shù)的性質(zhì)

(1)傳遞函數(shù)是一種數(shù)學(xué)模型，是對(duì)微分方程在零初始條件下進(jìn)行拉氏變換得到的；

(2)傳遞函數(shù)與微分方程一一對(duì)應(yīng)；

(3)傳遞函數(shù)描述了系統(tǒng)的外部特性。不反映系統(tǒng)的內(nèi)部物理結(jié)構(gòu)的有關(guān)信息；

(4)傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而與輸入和初始條件等外部因素?zé)o關(guān)；

(5)傳遞函數(shù)與系統(tǒng)的輸入輸出的位置有關(guān)；

(6)傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)。3.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

1）比例環(huán)節(jié):其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下面的代數(shù)方程式來表示式中——環(huán)節(jié)的放大系數(shù)，為一常數(shù)。傳遞函數(shù)為：特點(diǎn)：輸入輸出量成比例，無失真和時(shí)間延遲。實(shí)例：電子放大器，齒輪，電阻(電位器)，感應(yīng)式變送器等。2）積分環(huán)節(jié):其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下面的微分方程式來表示傳遞函數(shù)為：特點(diǎn)：輸出量與輸入量的積分成正比例，當(dāng)輸入消失，輸出具有記憶功能。實(shí)例：電動(dòng)機(jī)角速度與角度間的傳遞函數(shù)，模擬計(jì)算機(jī)中的積分器等。3）微分環(huán)節(jié)：是積分的逆運(yùn)算，其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下式來表示傳遞函數(shù)為：式中——環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。特點(diǎn)：輸出量正比輸入量變化的速度，能預(yù)示輸入信號(hào)的變化趨勢(shì)。實(shí)例：測(cè)速發(fā)電機(jī)輸出電壓與輸入角度間的傳遞函數(shù)即為微分環(huán)節(jié)。4）一階慣性環(huán)節(jié):其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下面的常系數(shù)非齊次微分方程式來表示傳遞函數(shù)為：式中T——環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。特點(diǎn)：含一個(gè)儲(chǔ)能元件，對(duì)突變的輸入,其輸出不能立即發(fā)現(xiàn)，輸出無振蕩。

實(shí)例：RC網(wǎng)絡(luò)，直流伺服電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)也包含這一環(huán)節(jié)。5）二階振蕩環(huán)節(jié)：其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下面的二階微分方程式來表示。傳遞函數(shù)為：特點(diǎn)：環(huán)節(jié)中有兩個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，并可進(jìn)行能量交換，其輸出出現(xiàn)振蕩。實(shí)例：RLC電路的輸出與輸入電壓間的傳遞函數(shù)。6）延遲環(huán)節(jié)：其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下式來表示傳遞函數(shù)為：式中——延遲時(shí)間特點(diǎn)：輸出量能準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)輸入量，但須延遲一固定的時(shí)間間隔。實(shí)例：管道壓力、流量等物理量的控制，其數(shù)學(xué)模型就包含有延遲環(huán)節(jié)。典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)（1）比例環(huán)節(jié)（2）積分環(huán)節(jié)（3）微分環(huán)節(jié)（4）一階慣性環(huán)節(jié)（5）二階振蕩環(huán)節(jié)（6）延遲環(huán)節(jié)以上6種是常見的基本典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型1）是按數(shù)學(xué)模型的共性建立的，與系統(tǒng)元件不是一一對(duì)應(yīng)的；2）同一元件，取不同的輸入輸出量，有不同的傳遞函數(shù)；3）環(huán)節(jié)是相對(duì)的，一定條件下可以轉(zhuǎn)化；4）基本環(huán)節(jié)適合線性定常系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型描述?！?.5動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖

1．結(jié)構(gòu)圖的組成

2．結(jié)構(gòu)圖的建立

3．結(jié)構(gòu)圖的等效變換

4．梅遜公式1）信號(hào)線：有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)傳遞方向。2）引出點(diǎn)：信號(hào)引出或測(cè)量的位置。從同一信號(hào)線上引出的信號(hào)，數(shù)值和性質(zhì)完全相同1.結(jié)構(gòu)圖的組成結(jié)構(gòu)圖又稱方塊圖，是一種網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束下的有向線圖，由以下幾部分組成：

U(s)Y(s)Y(s)Y(s)3）綜合點(diǎn)：對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上的信號(hào)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，“＋”表示相加，常省略，“－”表示相減。4）方框：表示典型環(huán)節(jié)或其組合，框內(nèi)為對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)，兩側(cè)為輸入、輸出信號(hào)線。E(s)=R(s)-Y(s)R(s)Y(s)G(s)R(s)Y(s)結(jié)構(gòu)圖的特性：1）結(jié)構(gòu)圖是線圖方式的數(shù)學(xué)模型，可以用來描述系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)關(guān)系。2）結(jié)構(gòu)圖上可以表示出系統(tǒng)的一些中間變量或者系統(tǒng)的內(nèi)部信息。這一點(diǎn)不同于僅符合端口關(guān)系的傳遞函數(shù)。3）結(jié)構(gòu)圖與代數(shù)方程組等價(jià)?？梢酝ㄟ^結(jié)構(gòu)圖化簡(jiǎn)的方法化簡(jiǎn)代數(shù)方程組，將結(jié)構(gòu)圖化為一個(gè)方塊，即求得控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。2.結(jié)構(gòu)圖的建立３）根據(jù)信號(hào)的流向關(guān)系，依次將各方框連接起來，構(gòu)成系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。建立系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的一般步驟為：

１）列出描述系統(tǒng)各環(huán)節(jié)或元件的運(yùn)動(dòng)方程式，確定其傳遞函數(shù)。２）繪出各環(huán)節(jié)或元件的方框，方框中示明其傳遞函數(shù)，并以箭頭和字母符號(hào)表明其輸入量和輸出量。例

已知兩級(jí)RC

網(wǎng)絡(luò)如圖所示，作出該系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。解：1）建立各元件的微分方程2）將各元件的微分方程進(jìn)行拉氏變換，并改寫成以下相乘形式3）按照變量的傳遞順序，依次將各元件的結(jié)構(gòu)圖連接起來，繪出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖另解：1）以每個(gè)電路元件為環(huán)節(jié)畫出方塊圖①②④③2）以信號(hào)傳遞方向把個(gè)環(huán)節(jié)方框連接起來，繪出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖作用：1）直觀形象的分析變量之間的關(guān)系

2）方便求解傳遞函數(shù)或3.結(jié)構(gòu)圖化簡(jiǎn)

(結(jié)構(gòu)圖的等效變換）化簡(jiǎn)目的：

將結(jié)構(gòu)圖化簡(jiǎn)為一個(gè)方塊，即傳遞函數(shù)。化簡(jiǎn)原則：

保證化簡(jiǎn)前后的代數(shù)等價(jià)關(guān)系不變

等效變換結(jié)構(gòu)圖的變換應(yīng)按等效原則進(jìn)行。所謂等效，即對(duì)結(jié)構(gòu)圖的任一部分進(jìn)行變換時(shí)，變換前后輸入輸出的數(shù)學(xué)關(guān)系保持不變。結(jié)構(gòu)圖的基本組成形式串聯(lián)連接，并聯(lián)連接，反饋連接等效變換法則

環(huán)節(jié)串聯(lián)G2(s)X1(s)G1(s)X(s)Y(s)環(huán)節(jié)并聯(lián)

X(s)G2(s)G1(s)Y1(s)Y2(s)Y(s)反饋回路化簡(jiǎn)負(fù)反饋正反饋G(s)E(s)Y(s)Y(s)R(s)B(s)H(s)R(s)相加點(diǎn)移動(dòng)前移后移互易在移動(dòng)支路中串入所越過的傳遞函數(shù)方框在移動(dòng)支路中串入所越過的傳遞函數(shù)的倒數(shù)方框

引出點(diǎn)移動(dòng)前移后移在移動(dòng)支路中串入所越過的傳遞函數(shù)方框在移動(dòng)支路中串入所越過的傳遞函數(shù)的倒數(shù)方框

abab相鄰引出點(diǎn)可互換位置、可合并相鄰相加點(diǎn)可互換位置、可合并baba信號(hào)的引出點(diǎn)與相加點(diǎn)不可以互換（1）用最少的步驟將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖化成由三種基本結(jié)構(gòu)組成的圖形，然后通過串聯(lián)和并聯(lián)變換化簡(jiǎn)信號(hào)通道，通過反饋回路變換化簡(jiǎn)回路（記住公式）。變換思路（2）通過相加點(diǎn)和引出點(diǎn)的移動(dòng)(向同類移動(dòng),并利用可交換性法則）,解除回路之間互相交叉的部分,從而簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)圖。簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)圖求傳遞函數(shù)的一般步驟(1)確定輸入量與輸出量，如果作用在系統(tǒng)上的輸入量有多個(gè)(分別作用在系統(tǒng)的不同部位)，則必須分別對(duì)每個(gè)輸入量逐個(gè)進(jìn)行結(jié)構(gòu)變換，求得各自的傳遞函數(shù)。對(duì)于有多個(gè)輸出量的情況，也應(yīng)分別處理。(2)若結(jié)構(gòu)圖中有交叉關(guān)系，應(yīng)運(yùn)用等效變換法則，首先將交叉消除，化為無交叉的單回路結(jié)構(gòu)。(3)對(duì)于回路可由里向外變換，直至變換為一個(gè)等效的方框，即得到所求的傳遞函數(shù)。變換技巧一：向同類移動(dòng)

引出點(diǎn)向引出點(diǎn)移動(dòng)，相加點(diǎn)向相加點(diǎn)移動(dòng)。移動(dòng)后再將它們合并，以減少結(jié)構(gòu)圖中引出點(diǎn)和相加點(diǎn)的數(shù)目。一般適用于前向通道。變換技巧引出點(diǎn)移動(dòng)G1G2G3G4H3H2H1abG1G2G3G4H3H2H1G41向同類移動(dòng)G2H1G1G3相加點(diǎn)移動(dòng)G1G2G3H1G2無用功向同類移動(dòng)G1化簡(jiǎn)G2H1G1G3G1G2H1G1+G3G1ReductionG2H1G1+G3G1G1+G321+--Y(s)R(s)+例：求傳遞函數(shù)Y(s)/R(s)+-2Y(s)1-R(s)+Y(s)1-R(s)例

兩級(jí)RC濾波網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試采用結(jié)構(gòu)圖等價(jià)變換法化簡(jiǎn)結(jié)構(gòu)圖。解：令例：化簡(jiǎn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，求取系統(tǒng)傳遞函數(shù)。系統(tǒng)傳遞函數(shù)例：化簡(jiǎn)結(jié)構(gòu)圖求系統(tǒng)傳函。變換技巧二：作用分解

同一個(gè)變量作用于兩個(gè)相加點(diǎn)，或者是兩個(gè)變量作用于同一個(gè)方框，可以把這種作用分解成兩個(gè)單獨(dú)的回路，用以化解回路之間的相互交叉。一般適用于反饋通道。G1G4H3G2G3H1H1H3G1G4G2G3H3H1作用分解G1G4H3G2G3H1H1H3G1G4G2G3H3H1作用分解先簡(jiǎn)化紅線框例：求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。反思：有沒有更好的方法？4.梅遜公式（Mason）

梅遜公式是基于信號(hào)流圖理論的計(jì)算公式，是一種簡(jiǎn)捷方便的方法。

結(jié)構(gòu)圖及其等效變換雖然對(duì)分析系統(tǒng)很有效，但是對(duì)于比較復(fù)雜的系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)圖的變換和化簡(jiǎn)過程往往顯得繁瑣、費(fèi)時(shí)，并易于出錯(cuò)。如采用信號(hào)流圖，則可利用梅遜公式，不需作變換，也不必化簡(jiǎn)，可將傳遞函數(shù)一次寫出。

信號(hào)流圖由節(jié)點(diǎn)和支路組成

O：節(jié)點(diǎn)，表示系統(tǒng)中的變量或信號(hào)。

：支路，連接節(jié)點(diǎn)的有向線段，上寫傳遞函數(shù)（稱為支路增益）表示變量之間的傳輸關(guān)系。

箭頭方向表示信號(hào)傳送方向。信號(hào)流圖理論信號(hào)流圖和及結(jié)構(gòu)圖類似，都可用來表示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和信號(hào)傳送過程中的數(shù)學(xué)關(guān)系。因而信號(hào)流圖也是數(shù)學(xué)模型一種表示。x1x4x3x2abc1信號(hào)流圖的基本術(shù)語1.輸入節(jié)點(diǎn)：只有輸出支路，沒有輸入支路的節(jié)點(diǎn)稱為輸入點(diǎn)。它對(duì)應(yīng)于自變量。3.混合節(jié)點(diǎn)：既有輸入支點(diǎn)也有輸出支點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)稱為混合節(jié)點(diǎn)。輸入節(jié)點(diǎn)輸出節(jié)點(diǎn)輸入節(jié)點(diǎn)2.輸出節(jié)點(diǎn)：只有輸入支路，沒有輸出支路的節(jié)點(diǎn)稱為輸出節(jié)點(diǎn)。它對(duì)應(yīng)于因變量。4.通路：從某一節(jié)點(diǎn)開始沿支路箭頭方向經(jīng)過各相連支路到另一節(jié)點(diǎn)（或同一節(jié)點(diǎn)）構(gòu)成的路徑稱為通路。5.開通路：與任一節(jié)點(diǎn)相交不多于一次的通路稱為開通路。6.閉通路：如果通路的終點(diǎn)就是通路的起點(diǎn)，并且與任何其他節(jié)點(diǎn)相交不多于一次的稱為閉通路或稱為回路。7.回路增益：回路中各支路增益的乘積稱為回路增益。8.前向通路：從輸入節(jié)點(diǎn)開始并終止于輸出節(jié)點(diǎn)且與其他節(jié)點(diǎn)相交不多于一次的通路，稱為前向通路。9.前向通路增益：在前向通路中，各支路增益的乘積稱為前向通路增益。10.不接觸回路：如果一信號(hào)流圖有多個(gè)回路，各回路之間沒有任何公共節(jié)點(diǎn)，就稱為不接觸回路，反之稱為接觸回路。和和輸出節(jié)點(diǎn)1混合節(jié)點(diǎn)

輸入節(jié)點(diǎn)1x2x3x4x5x6x23a32a34a45a25a44a24a12a43a1235453a單獨(dú)回路(7個(gè))不接觸回路(2組)信號(hào)流圖的基本性質(zhì)1．節(jié)點(diǎn)代表系統(tǒng)中的變量,并等于所有流入該節(jié)點(diǎn)的信號(hào)之和。在節(jié)點(diǎn)上可以把所有輸入支路的信號(hào)疊加，并把相加后的信號(hào)傳送到所有的輸出支路。2．以支路表示變量或信號(hào)的傳輸和變換過程，信號(hào)只能沿著支路的箭頭方向傳輸。在信號(hào)流圖中每經(jīng)過一條支路，相當(dāng)于在方框圖中經(jīng)過一個(gè)用方框表示的環(huán)節(jié)。3．通過增加一個(gè)具有單位增益的支路，可以把混合節(jié)點(diǎn)化為輸出接點(diǎn)。4．對(duì)于同一系統(tǒng)，信號(hào)流圖的形式不是唯一的。信號(hào)流圖和方框圖是一一對(duì)應(yīng)的，且可以互相轉(zhuǎn)化。5.信號(hào)流圖只適用于線性系統(tǒng)。由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號(hào)流圖

信號(hào)流圖包含了結(jié)構(gòu)圖所包含的全部信息，在描述系統(tǒng)性能方面，其作用是相等的。但是，在圖形結(jié)構(gòu)上更簡(jiǎn)單方便。結(jié)構(gòu)圖：輸入量相加點(diǎn)引出點(diǎn)信號(hào)線方框輸出量信流圖：輸入節(jié)點(diǎn)混合節(jié)點(diǎn)支路輸出節(jié)點(diǎn)由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號(hào)流圖的步驟

結(jié)構(gòu)圖信流圖變量傳遞相加點(diǎn)變成混合節(jié)點(diǎn)－11）將方框圖的所有信號(hào)(變量)換成節(jié)點(diǎn)，并按方框圖的順序分布好；2）用標(biāo)有傳遞函數(shù)的線段(支路)代替結(jié)構(gòu)圖中的方框。例：畫出系統(tǒng)的信流圖。

G1G6G7G2G3G5-H1-H2G4abcdR(s)C(s)注意：引出點(diǎn)和比較點(diǎn)相鄰的處理例：繪制下圖所示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖對(duì)應(yīng)的信號(hào)流圖。1將結(jié)構(gòu)圖的變量換成節(jié)點(diǎn)，并按結(jié)構(gòu)圖的順序分布好；解：2用標(biāo)有傳遞函數(shù)的線段(支路)代替結(jié)構(gòu)圖中的函數(shù)方框。abc結(jié)構(gòu)圖信號(hào)流圖梅遜公式回路總增益

(閉環(huán)傳函)第i個(gè)前向通路增益第i條前向通路余子式特征式例：用梅遜公式求下圖中信號(hào)流圖的傳遞函數(shù)。解：（1）找出上圖中所有的前向通路只有一條前向通路

（2）找出系統(tǒng)中存在的所有的回路共有三個(gè)回路，三個(gè)回路的增益之和為（4）由于這三個(gè)回路都與前向通路相接觸，故其余因子Δ1=1。（5）故該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

（3）這三個(gè)回路都存在公共節(jié)點(diǎn)，即不存在不接觸回路。故系統(tǒng)的特征方程式為：例：設(shè)某系統(tǒng)的方框圖如圖所示，試求其傳遞函數(shù)。H2CG2G3G4-RG1--H1G3R(S)11G1G2C(s)G4-1-H2