學(xué)業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達標]一、選擇題1．下列條件中，能使直線m⊥平面α的是()A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B．m⊥b，b∥αC．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α【解析】由線線平行及線面垂直的判定知選項D正確．【答案】D2．如圖1-2-47，三棱錐P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，則直線PB和平面ABC所成的角是()圖1-2-47A．∠BPA B．∠PBAC．∠PBC D．以上都不對【解析】由PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，得PA⊥平面ABC，所以∠PBA為BP與平面ABC所成的角．故選B.【答案】B3．已知直線m，n是異面直線，則過直線n且與直線m垂直的平面()A．有且只有一個 B．至多一個C．有一個或無數(shù)個 D．不存在【解析】若異面直線m、n垂直，則符合要求的平面有一個，否則不存在．【答案】B4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1\f(\r(2),3) \f(\r(3),3)\f(2,3) \f(\r(6),3)【解析】如圖所示，連接BD交AC于點O，連接D1O，由于BB1∥DD1，∴DD1與平面ACD1所成的角就是BB1與平面ACD1所成的角．易知∠DD1O即為所求．設(shè)正方體的棱長為1，則DD1＝1，DO＝eq\f(\r(2),2)，D1O＝eq\f(\r(6),2)，∴cos∠DD1O＝eq\f(DD1,D1O)＝eq\f(2,\r(6))＝eq\f(\r(6),3).∴BB1與平面ACD1所成的角的余弦值為eq\f(\r(6),3).【答案】D5．(2023·成都高二檢測)已知ABCD-A1B1C1D1A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1 D．AC1⊥BD1【解析】正方體中由BD∥B1D1，易知A正確；由BD⊥AC，BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1，從而BD⊥AC1，即B正確；由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C因此AC1⊥平面CB1D1，即C正確；由于四邊形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正確．故選D.【答案】D二、填空題6．(2023·太原高一檢測)如圖1-2-48，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，垂足為B，則CD與AB的位置關(guān)系是________．圖1-2-48【解析】∵EA⊥α，CD?α，根據(jù)直線和平面垂直的定義，則有CD⊥EA.同樣，∵EB⊥β，CD?β，則有EB⊥CD.又EA∩EB＝E，∴CD⊥平面AEB.又∵AB?平面AEB，∴CD⊥AB.【答案】CD⊥AB7．如圖1-2-49所示，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個數(shù)有________．圖1-2-49【解析】eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥平面ABC,BC?平面ABC))?eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥BC,AC⊥BC,PA∩AC＝A))?BC⊥平面PAC?BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.【答案】48．(2023·淮安高二檢測)如圖1-2-50，四棱錐S-ABCD的底面ABCD為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結(jié)論中正確的有________個．圖1-2-50①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA與平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB與SC所成的角等于DC與SC所成的角．【解析】因為SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD.因為ABCD是正方形，所以AC⊥BD.又BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正確．因為AB∥CD，AB?平面SCD，CD?平面SCD，所以AB∥平面SCD，故②正確．因為AD是SA在平面ABCD內(nèi)的射影，所以SA與平面ABCD所成的角是∠SAD.故③正確．因為AB∥CD，所以AB與SC所成的角等于DC與SC所成的角，故④正確．【答案】4三、解答題9．如圖1-2-51，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE.求證：AE⊥BE.【導(dǎo)學(xué)號：60870043】圖1-2-51【證明】∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE.又AE?平面ABE，∴AE⊥BC.∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，∴AE⊥BF.又∵BF?平面BCE，BC?平面BCE，BF∩BC＝B，∴AE⊥平面BCE.又BE?平面BCE，∴AE⊥BE.10．如圖1-2-52所示，三棱錐A-SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直線AS與平面SBC所成的角．圖1-2-52【解】因為∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB與△SAC都是等邊三角形．因此AB＝AC.如圖所示，取BC的中點D，連接AD，SD，則AD⊥BC.設(shè)SA＝a，則在Rt△SBC中，BC＝eq\r(2)a，CD＝SD＝eq\f(\r(2),2)a.在Rt△ADC中，AD＝eq\r(AC2－CD2)＝eq\f(\r(2),2)a.則AD2＋SD2＝SA2，所以AD⊥SD.又BC∩SD＝D，所以AD⊥平面SBC.因此∠ASD即為直線AS與平面SBC所成的角．在Rt△ASD中，SD＝AD＝eq\f(\r(2),2)a，所以∠ASD＝45°，即直線AS與平面SBC所成的角為45°.[能力提升]1．已知三條相交于點P的線段PA，PB，PC兩兩垂直，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，則垂足H是三角形ABC的()A．外心 B．內(nèi)心C．垂心 D．重心【解析】如圖，∵PA、PB、PC兩兩垂直，∴PA⊥平面PBC，∴PA⊥BC.又BC⊥PH，PA∩PH＝P，∴BC⊥平面PAH，∴BC⊥AH.同理AB⊥CH，AC⊥BH.∴點H為△ABC的垂心．【答案】C2．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝eq\r(6)，則PC與平面ABCD所成角的大小為()A．30° B．45°C．60° D．90°【解析】如圖，連接AC.∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA就是PC與平面ABCD所成的角．∵AC＝eq\r(2)，PA＝eq\r(6)，∴tan∠PCA＝eq\f(PA,AC)＝eq\f(\r(6),\r(2))＝eq\r(3).∴∠PCA＝60°.【答案】C3．如圖1-2-53，∠ACB＝90°，平面ABC外有一點P，PC＝4cm，點P到角的兩邊AC、BC的距離都等于2eq\r(3)cm，那么PC與平面ABC所成角的大小為________．圖1-2-53【解析】過P作PO⊥平面ABC，垂足為O，連接CO，則CO為∠ACB的平分線，且∠PCO為PC與平面ABC所成的角，設(shè)其為θ，連接OF，易知△CFO為直角三角形，又PC＝4，PF＝2eq\r(3)，∴CF＝2，∴CO＝2eq\r(2)，在Rt△PCO中，cosθ＝eq\f(CO,PC)＝eq\f(\r(2),2)，∴θ＝45°.【答案】45°4．如圖1-2-54，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點，AN⊥PM，N為垂足．圖1-2-54(1)求證：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB.【證明】(1)∵AB為⊙O的直徑，∴