幾何:魅力及應用丘成桐美國哈佛大學

科學的興起與個人修養(yǎng)、團體文化有直接的關系。假如一個人的一生目標以逐利當官為大前提，做學問頂多是一個過渡手腕，即使小有成就，也難以持久。推動科研的熱情和好奇心很快就會冷淡。傳世之學，更無足論了。

即使我的學生中間也有很多年少得志的，不但有名聞全國，也有屢得獎于海外的。但往往沾沾自喜，以為學有成就，就爭名逐利、自夸自大。往往急功近利，導致文章錯誤百出。又為了做院士，花了很多時間去巴結權貴。在這樣的背景下，何以做高雅的學問，更遑論傳世之學了。

做大學問的學者，必需有崇高的志向。而立志不易，必需有深厚的文化環(huán)境和朋友老師的激勵才能形成這個先決的條件。

在西方，為了培養(yǎng)研究人員的素質，特別講究通

才教育。其實中國深厚的文化提供了做學問最好的背

景，中國詩詞歌賦意境高超，能夠純化個人的心志。

屈原天問篇一連問這么多問題，值得我們學習。孟子

知言養(yǎng)氣，是培養(yǎng)氣質和做學問的很好的方法。

我年少時家貧，父親卻勉我以學問，不以

富貴為志。父親寫了一本西洋哲學史，引文心

雕龍一小段，使我記憶尤深。

文心雕龍：

嗟呼，身與時舛，志共道申，

標心于萬古之上，而送懷與千

載之下。崇基學院門前對聯(lián)

崇高惟博愛本天地立心無間東西溝通學術

基礎在育才當海山勝境有懷抱與陶鑄人群

丘鎮(zhèn)英

父親很注重我有崇高的志向，所以很早教導我的古文中就有左傳論三不朽的文章。

左傳

叔孫豹論三不朽

太上有立德，其次有立功，其次有立言，雖久不廢，此之謂不朽。

立德立功之道，必以謙讓質樸為主﹁會當凌絕頂，一覽眾山小﹂輕妄浮誇之言也。

從中國古文中，可以看到做科學的方法，例如：

王國維論做大學問三個過程

晏殊昨夜西風凋碧樹，獨上高樓，望盡天涯路。

柳永……衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴。

辛棄疾……眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處。其實我想加一首詞：

宋徽宗……天遙地遠，萬水千山，知他故宮何處，怎不思量，除夢里有時曾去。

除了中國古代文學對我的影響外，我也看翻譯的西方文學

作品，其中一首詩使我十分感動的是：

英國大詩人拜倫

“希臘?。∧惚臼瞧胶蜁r代的愛嬌，你本是戰(zhàn)爭時代的天

驕。撒芷波，歌聲高，女詩人，熱情好。更有那德羅士、菲波

士榮光常照。此地是藝文舊壘，技術中潮，如今在否？算除卻

太陽光線，萬般沒了。”

“馬拉頓前?。∩饺菘~緲。馬拉頓后?。『ｉT環(huán)繞。如此好山河，也應有自由回照。我向那波斯軍墓門憑眺。難道我為奴為隸，今生便了？不信我為奴為隸，今生便了。”

梁啟超翻譯

歐幾里得(公元前350年)《原本》●歐幾里得幾何公設■任意兩點間可作唯一的直線■任何線段可以無限延長■以任一點為中心和任一距離為半徑可作一圓■所有直角彼此相等■對于一直線L和該直線外的一點P，存在唯一通過P，并和L不相交的直線?！瓗缀喂O僅是一些定義。—龐加萊畢達哥拉斯●給出一個直角三角形●該定理是幾何學的一個基礎●三元數(shù)組(3,4,5)在古代文明中是非常著名的。我們稱

(a,b,c)

為畢達哥拉斯三元數(shù)組。畢達哥拉斯三元數(shù)組●

希臘人意識到，當時，c

不是有理數(shù)，也就是說，c不是兩個整數(shù)的商。●可以用下面的公式找到整數(shù)的畢達哥拉斯三元數(shù)組這里

都是正整數(shù)。

（畢達哥拉斯，歐幾里得，丟番圖……）畢達哥拉斯三元數(shù)組一個困難問題：分類所有的有理數(shù)畢達哥拉斯三元數(shù)組，使其對應的直角三角形的面積為整數(shù)。這樣的整數(shù)叫同余數(shù)。同余數(shù)：例如，1，2，3，4不是；5，6，7是。面積為5同余數(shù)1983年，Tunnell用Birch-Swinnerton-Dyer猜想證明了：如果n

是一個奇的非平方整數(shù)，

n

是同余數(shù)當且僅當滿足方程的三元數(shù)組(x,y,z)

的個數(shù)是滿足方程

的三元數(shù)組(x,y,z)

的個數(shù)的兩倍。橢圓曲線如果同余數(shù)n

是由三元數(shù)組(x,y,z)構成的直角三角形的面積，這里x,y,z均是有理數(shù)，設

我們發(fā)現(xiàn)

滿足該方程的曲線叫橢圓曲線，它們構成一個群。

橢圓曲線如果和

是一曲線的兩點，是直線和該曲線的交點，那么稍后我們將看到橢圓曲線在現(xiàn)代幾何和在弦理論中起著非常重要的作用。橢圓曲線–同余數(shù)n

是同余數(shù)

橢圓曲線有無限多個有理數(shù)解。某些相伴的函數(shù)在處為零。Theta函數(shù)的某些積的系數(shù)為零。柏拉圖多面體正多面體是凸體，每個面是相同的正多邊形，每個頂點相連著同樣數(shù)目的面。僅有五種：正四面體，立方體，正八面體，正十二面體，正二十面體。柏拉圖多面體這些多面體和復奇點的現(xiàn)代理論有關，也和弦理論中非緊致卡拉比—丘成桐流形有關。各多面體間的對偶面頂點邊正四面體446立方體6812正八面體8612正十二面體122030正二十面體201230歐拉數(shù)對于柏拉圖多面體:歐拉注意到如果一個閉曲面能連續(xù)地形變到一個閉的多面體。分別記V,E,F,為該多面體的頂點數(shù),邊數(shù)和面數(shù)，那么

這里h是環(huán)柄個數(shù)對于球面,h=0,2(1-h)稱為歐拉數(shù)歐拉數(shù)環(huán)柄數(shù)分別為1,2,3對稱性—正多面形正多面體、磚瓦面、幾何圖案給出對稱性概念，支配著幾何學的發(fā)展。晶體按照對稱群分類高斯—博涅公式對多面體我們可以指定與某個頂點v相連的面的曲率為-與v相連的面的內夾角所有頂點處曲率之和為高斯-博涅-魏依-艾倫多夫和陳省身推廣了上述公式高斯—博涅公式這類聯(lián)系幾何信息和拓撲量的公式在現(xiàn)代幾何學和現(xiàn)代物理學中有著顯著的重要性。（在物理語言中，這類公式聯(lián)系著拓撲荷，拓撲缺陷。）這類理論建立在陳類基礎上。1960年阿蒂亞-辛格作出了光輝的推廣。分析和幾何產(chǎn)生了緊密的聯(lián)系。天文測量希臘天文學家將幾何學應用于天文測量。例如，地球的直徑（在賽伊尼的埃拉斯特尼(公元前275年-195年))。對天文測量的愿望反過來又影響著幾何學和三角學的發(fā)展?！嘈盼?，如果我可以重新開始學習，我將聽從柏拉圖的建議，從數(shù)學開始。

——伽利略文藝復興時期笛卡兒(1596-1650)解析幾何：笛卡兒坐標系德薩格(1591-1661)射影幾何費馬(1601-1665)變分原理：測地線牛頓(1642-1727)微積分

萊布尼茨(1646-1716)微積分源于少數(shù)原理，…卻結出累累碩果，這就是幾何的驕傲。——牛頓拓撲和幾何的現(xiàn)代發(fā)展歐拉(1707-1783)多面體的歐拉公式，組合幾何，變分分析，幾何與力學，極小曲面。高斯(1777-1855)雙曲幾何(和羅巴切夫斯基(1792-1856),波爾約(1802-1829)一起)，高斯曲率的內蘊定義。)曲率的內蘊定義一張紙的曲率為零?？梢詫⒓垙澇梢粋€圓柱面。兩個曲面是相同的：不拖長或撕裂曲面。兩曲面的形狀不同。兩類幾何：內蘊度量給出高斯曲率外蘊形狀給出主曲率懸鏈面–螺旋面(等距形變)。demo高斯(1817)我越來越確信幾何的必然性無法被驗證，至少現(xiàn)在無法被人類或為了人類而驗證。我們或許能在未來領悟到那無法知曉的空間的本質。我們無法把幾何和純粹是先驗的算術歸為一類。幾何和力學卻不可分割。黎曼(1826-1866)在抽象定義的空間上引入黎曼度量在無窮小近似下就是歐氏幾何。然而只在一階近似下是等同的。二階近似由度量的曲率張量來衡量。導致了幾何學的革命?？死锼雇匈M爾，列維-齊維塔，比安基……，發(fā)展了這類抽象空間上的微積分。黎曼面后來人們意識到對二維空間，每個黎曼度量都可以寫成如果引入復數(shù)度量可寫成黎曼面這樣的復坐標在相差一個全純變換的意義下是唯一的。具有這樣復坐標的抽象二維空間稱為黎曼面。此概念應用于計算機圖形學。黎曼面●曲面間的全純變換demo高斯曲率黎曼面的高斯曲率為黎曼面給出稱為復流形的首個例子。問題：如何重新發(fā)現(xiàn)度量？有一個黎曼面，即給出一個復坐標z。有一個定義在黎曼面上的曲率函數(shù)K。高斯曲率

黎曼度量的曲率在高維情形，黎曼度量的曲率遠不是一個數(shù)量函數(shù)，它依賴于空間在某個截面上是如何彎曲的，稱為曲率張量?？梢詫θ壳蕪埩靠s并，得到一個小的張量，稱為里奇張量。記為。里奇張量是一個對稱張量，其跡稱為數(shù)量曲率。記為。愛因斯坦方程黎曼幾何被愛因斯坦(在格羅斯曼、希爾伯特幫助下)用來描述廣義相對論。廣義相對論融合了狹義相對論和引力。愛因斯坦方程這里是物質張量（引力由度量的全部的曲率張量來描述）。愛因斯坦方程對幾何學家們啟發(fā)深刻。這是一個高度非線性理論。（是引力位勢，是未知量）。時空

一般地，我們不能期望由愛因斯坦方程定義的時空有很多的對稱性。因而，很多經(jīng)典力學中的守恒量在廣義相對論無法直接定義。這里包括質量、動量、角動量等。對于廣義相對論中的孤立物理系統(tǒng)，時空在無窮遠處基本上是平坦地，因而具漸進對稱性。這給出了總質量、總動量和總角動量的定義。正質量一個復雜的問題是在某些合理的條件下,證明總質量是正的。這對應著幾何中，在某些數(shù)量曲率的限制下，研究三維流形的幾何。蕭恩和丘成桐用經(jīng)典的變分方法證明了正質量猜想：研究空間中的極小曲面。后來威騰用狄拉克方程和超引力重新證明了正質量猜想。求解愛因斯坦方程廣義相對論中困難的問題是如何求解愛因斯坦方程。物質張量為零的情形。黎曼幾何中一個非常有趣的問題：能否找到一個閉空間，沒有物質卻有引力？當空間具超對稱性時，該問題較容易。求解愛因斯坦方程例如,當空間具復坐標黎曼度量并可寫成這種情況下，有一個重要的量有拓撲意義。由陳省身引入，刻畫著空間的整體拓撲，稱為第一陳類。空間容許真空解要求第一陳類為零。卡拉比-丘成桐空間第一陳類為零可以在代數(shù)意義下驗證。丘成桐證明了第一陳類為零的復曲面上存在具超對稱的真空愛因斯坦方程的解。這是卡拉比猜想的一部分。這類空間稱為卡拉比-丘成桐空間。橢圓曲線也是一個卡拉比-丘成桐空間。柏拉圖多面體和某些卡拉比-丘成桐空間有著緊密地聯(lián)系?？ɡ?丘成桐空間記X為一五次卡拉比-丘成桐空間，其由射影空間中的下述齊次多項式定義:

簡單地說，X上d次有理曲線是一個d次多項式解

記是X上d次有理曲線的個數(shù)。如何計算一百多年來一直困擾著數(shù)學家們。物理學中的鏡像對稱預言可用經(jīng)典超幾何函數(shù)來計算所有的。1998年，連文豪-劉克峰-丘成桐首次給出完整的論證，使問題得以最終解決?？ɡ炔孪氲慕鉀Q卡拉比猜想的解決也給出了具負宇宙常數(shù)的度量。這類度量實際上是龐加萊在曲面上構造的度量的推廣。最顯著的斷言是一個由復代數(shù)多項式定義的空間如果能形變到一個復線性空間，那么這個空間也是復線性的?？勺C明一個基本的不等式（米姚卡-丘成桐）：對于代數(shù)曲面S,

是曲面的歐拉數(shù)，和曲面的拓撲指標有關。該不等式顯示，對代數(shù)曲面，存在一些非平凡的拓撲限制。全純1-形式受到流體力學和麥克斯韋方程的啟發(fā)，嘉當，德·拉姆，霍奇，小平邦彥發(fā)展了流形上的調和形式理論，將流形上的分析與整體拓撲聯(lián)系起來。例子，在閉曲面上，每個環(huán)柄給出一個全純1-形式。其給出了在曲面上構造正交網(wǎng)的一種方法。性質：三角剖分和分解

相互獨立大范圍分析的發(fā)展霍奇理論的發(fā)展在代數(shù)幾何中引入了基本的分析工具。黎曼-洛赫公式和阿蒂亞-辛格指標公式被用來解決代數(shù)幾何以及量子場論中的基本問題，影響深遠。在過去的三十年中，量子理論和量子場論對幾何學也有著重要的啟發(fā)。楊振寧-米爾斯理論楊振寧-米爾斯理論也將非線性理論帶入幾何學。唐納森理論給出四維流形拓撲研究的重要意義。對埃米特型楊-米爾斯聯(lián)絡的唐納森-烏倫貝克-丘成桐定理給出代數(shù)幾何的一個新工具。許多重要的非線性微分方程在現(xiàn)代幾何學中變得非?；酒骄柿髡{和映照里奇流(哈密爾頓方程)這些方程的超對性形式正變得重要非線性理論非常依賴于對線性理論的深刻理解。雙曲方程的線性理論還沒有被很好的理解。弦理論這些方法已經(jīng)大量應用于現(xiàn)代弦理論。幾何對量子場論的研究卓有成效、神奇非凡。微分方程在代數(shù)和代數(shù)幾何中也導致深刻的結果

有著同樣的神奇性。數(shù)學和大部分物理可以認為是幾何的一部分。討論我們能直覺地感覺到幾何概念或許讓幾何成為宇宙構成的最好語言。在21世紀，我們將無法區(qū)別下面的學科：物理學：量子力學，廣義相對論，弦理論。幾何學：示性類，指標公式。算子理論。非線性橢圓、拋物方程、雙曲系統(tǒng)、混合型方程。拓撲、代數(shù)幾何、數(shù)論。

物理和幾何基本物理牛頓力學量子物理廣義相對論高能物理現(xiàn)象的解釋、幾何概念的豐富新工具的引入物理實驗,觀察自洽性，由數(shù)學（幾何）驗證基本物理的概念性突破幾何中的分析及方程基本原理通過數(shù)學上的復雜的計算，基本原理應用于應用學科。幾何現(xiàn)象，統(tǒng)計現(xiàn)象，非線性方程，非線性離散現(xiàn)象，等等。從應用學科中抽象出普適方法，演化成數(shù)學學科?；驹?。我毫不猶豫地說，數(shù)學家值得為自己的天空去耕耘，值得為了那些在物理學中沒有應用的理論去研究。——龐加萊

數(shù)學家就象法蘭西人，無論你對他們說什么，他們總是翻譯成變得完全不同的，自己的語言。——歌德

數(shù)學研究介乎物理、文學與工程之間。

物理所以見其真也，

文學所以見其美也，

工程所以見其用也。

而三者相通。

以下引文心雕龍論文學之道：

體性

夫有天資，學慎始習，斫梓染絲，功在初化，

器成彩定，難可翻移。故童子雕琢，必先雅制，沿

根討葉，思轉自圓。八體雖殊，會通合數(shù)，得其環(huán)

中，則輻輳相成。故宜摹體以定習，因性以練才，

文之司南，用此道也。

人之秉才，遲速異分，文之制體，大小殊功。相

如含筆而腐毫，楊雄輟翰而驚夢。桓譚疾感于苦思，

王充