數(shù)量關(guān)系

—第7章第一部分矢量代數(shù)第二部分空間解析幾何

在三維空間中:空間形式

—基本方法

—坐標(biāo),方程（組）矢量代數(shù)與空間解析幾何點(diǎn),線,面坐標(biāo)法;向量法7.16.1.1空間直角坐標(biāo)系6.1.2矢量及其坐標(biāo)表示6.1.3矢量的線性運(yùn)算與性質(zhì)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束矢(向)量及其線性運(yùn)算第6章ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ7.1.1空間直角坐標(biāo)系分別作三條以O(shè)為原點(diǎn)且相互垂直的數(shù)軸,組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系

坐標(biāo)原點(diǎn)

坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z

軸(豎軸)過空間一定點(diǎn)O,

坐標(biāo)面

卦限(八個(gè))zox面機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束Ⅰ各軸的正向依右手法則確定，1.原點(diǎn)、坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面及卦限(右手系)。坐標(biāo)軸:坐標(biāo)面:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.坐標(biāo)面、坐標(biāo)軸的表示向徑3.空間直角坐標(biāo)系下點(diǎn)的坐標(biāo)坐標(biāo)軸上各點(diǎn)的坐標(biāo)：坐標(biāo)面上的各點(diǎn)坐標(biāo)：點(diǎn)

M特殊點(diǎn)的坐標(biāo):有序數(shù)組(稱為點(diǎn)

M

的坐標(biāo)）原點(diǎn)O(0,0,0);機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束●P∈x軸Q∈y軸R∈z軸A∈xoy

面B∈yoz

面C∈zox

面O4.空間直角坐標(biāo)系下兩點(diǎn)間的距離設(shè)是空間中的兩點(diǎn)，過這兩點(diǎn)各作三個(gè)分別垂直于坐標(biāo)軸的平面，為對角線的長方體，這六個(gè)平面圍成以由直角三角形勾股定理得：●●●●機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.

證:即為等腰三角形。是等腰三角形。為頂點(diǎn)的三角形機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束求證以如圖所示：例2.

等距離的點(diǎn)。解:

設(shè)該點(diǎn)為：解得故所求點(diǎn)為:及思考:

(1)如何求在

xoy

面上與A,B

等距離之點(diǎn)的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B

等距離之點(diǎn)的軌跡方程?機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束在z

軸上求與兩點(diǎn)提示：(1)設(shè)動點(diǎn)為利用得且(2)設(shè)動點(diǎn)為利用得表示法：矢量的模：矢量的大小,7.1.2

矢（向）量的概念矢(向)量：既有大小,又有方向的量稱為矢（向）量。矢徑

(向徑)：自由矢量：與起點(diǎn)無關(guān)的矢量；起點(diǎn)在原點(diǎn)的矢量，單位矢量：模為1的矢量,零矢量：模為0的矢量,有向線段，或機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1.定義記作：記作：記作：記作：記作：矢量的方向：有向線段所指的方向；（零矢量的方向不定?。┮?guī)定:零矢量與任何矢量平行;因平行矢量可平移到同一直線上,故兩矢量平行又稱兩矢量共線若k(≥3)個(gè)矢量經(jīng)平移可移到同一平面上,則稱此k個(gè)矢量共面（或線性相關(guān)）

.若兩矢量與大小相等方向相同，則稱它們相等，記作：記作：‖若矢量與矢量方向相同或相反，則稱它們平行，記作：與矢量模相同方向相反的矢量稱為矢量的負(fù)矢量，（或線性相關(guān)）

.2.

矢(向)量的坐標(biāo)及其模由于定義

:對于矢量必有點(diǎn)A

的坐標(biāo)稱為矢量的坐標(biāo)（分量），顯然，對應(yīng)坐標(biāo)（分量）均相等；記作：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.矢(向)量的方向設(shè)任取空間一點(diǎn)O,稱=∠AOB(0≤≤)

為的夾角。與三坐標(biāo)軸正向的夾角稱為矢量矢量的方向角的余弦值機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義：設(shè)作記作：︿的方向角；稱為該矢量的方向余弦。α,β,γ矢量的方向余弦公式為：任意一組與矢量的方向余弦成比例的數(shù)的方向數(shù)。稱為矢量由公式有：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束7.1.3向量的線性運(yùn)算與性質(zhì)1.定義：設(shè)為實(shí)數(shù)，2.性質(zhì)ⅱ）ⅳ）ⅲ）（交換律）均為常數(shù)）ⅴ）（結(jié)合律）?。C(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束（分配律）若顯然由于矢量是矢量方向上的單位矢量，（的）單位矢量。ⅶ）所以，矢量ⅵ）機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束常簡稱為定理1.

存在數(shù)≠0使得：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束為兩個(gè)非零矢量,則設(shè)∥與的對應(yīng)非零分量（坐標(biāo)）成比例。證明：∥∥取得即3.矢量的（垂直）投影定義:設(shè)矢量為任一矢量，︿稱為矢量在矢量上的投影（值）;稱為矢量在矢量上的投影（矢量）;數(shù)值（量）矢量︿機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束由此得：4.

矢（向）量的合成與（垂直）分解令則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束由矢（向）量的合成與（垂直）分解公式：得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束對角線的有向線段，三角形法則:矢量的減法:矢量相加的幾何法則:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束將兩矢量的起點(diǎn)重合，構(gòu)成一平行四邊形，以此二矢量為鄰邊由矢量的起點(diǎn)到平行四邊形將兩矢量首尾相連，從第一個(gè)矢量的起點(diǎn)到第二個(gè)矢量的終點(diǎn)所構(gòu)成的有向線段稱為兩矢量的和矢量。將兩夭量的起點(diǎn)重合，以減矢量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，為終點(diǎn)所構(gòu)成的有向線段，平行四邊形法則:稱為兩矢量的差矢量。被減矢量的終點(diǎn)稱為兩矢量的和矢量。機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束多個(gè)矢量相加的幾何法則:將相加的各矢量分別一一首尾相連，以第一個(gè)加項(xiàng)矢量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，例如，最后一個(gè)加項(xiàng)矢量的終點(diǎn)為終點(diǎn)構(gòu)成一有向線段，稱此有向線段為此多個(gè)矢量的和矢量。計(jì)算以下五個(gè)矢量的和，設(shè)M

為解:ABCD對角線的交點(diǎn),機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例

3.試用矢量分別表示如下圖所示：例4.和的模、方向余弦和方向角。解:計(jì)算矢量機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束已知兩點(diǎn)例5.

已知兩點(diǎn)和解:求機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.在AB直線上求一點(diǎn)M,解:如圖所示及實(shí)數(shù)得即機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束使得：已知兩點(diǎn)設(shè)M

的坐標(biāo)為：說明:由公式：得定比分點(diǎn)公式:點(diǎn)

M為AB

的中點(diǎn),于是得中點(diǎn)公式:機(jī)