第六章動(dòng)態(tài)載荷識(shí)別、模型修正與結(jié)構(gòu)動(dòng)力修改一、概述

前幾章中我們主要敘述了各種模態(tài)參數(shù)的辨識(shí)方法。得到了結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)（模態(tài)頻率，模態(tài)，模態(tài)阻尼，模態(tài)質(zhì)量，模態(tài)剛度，模態(tài)參與因子等）。模態(tài)參數(shù)辨識(shí)技術(shù)為結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性分析提供了有效的手段。模態(tài)分析技術(shù)還包括另一些分支，如載荷識(shí)別（結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中的另一類逆問題）、結(jié)構(gòu)物理參數(shù)辨識(shí)、結(jié)構(gòu)動(dòng)力修改、有限元模型修正與確認(rèn)和模態(tài)綜合等。載荷識(shí)別方法——是根據(jù)已知結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性和實(shí)測(cè)的動(dòng)力響應(yīng)及求結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)載荷。這一技術(shù)的發(fā)展給那些無法直接測(cè)量載荷的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)提供了一種動(dòng)態(tài)載荷的識(shí)別方法。系統(tǒng)激勵(lì)響應(yīng)結(jié)構(gòu)物理參數(shù)辨識(shí)及結(jié)構(gòu)動(dòng)力修改(重分析和動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì))技術(shù)——是模態(tài)分析與有限元分析和計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)（CAD）相結(jié)合的重要結(jié)合點(diǎn)，亦是模態(tài)分析技術(shù)進(jìn)入產(chǎn)品預(yù)設(shè)計(jì)階段的重要方面，它將成為計(jì)算機(jī)輔助工程（CAE）中的重要一環(huán)。有限元模型修正和確認(rèn)技術(shù)——在結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性分析中被廣泛應(yīng)用的有限元分析方法、由于在建立有限元模型時(shí)，引人各種人為的假設(shè),這些假設(shè)往往與實(shí)際情況有一定差別，造成有限元分析的結(jié)果不準(zhǔn)確。目前常用實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)的結(jié)果去修正和確認(rèn)有限元模型。二、結(jié)構(gòu)動(dòng)載荷識(shí)別

結(jié)構(gòu)動(dòng)力載荷識(shí)別方法是解決動(dòng)力載荷不易直接測(cè)量的難題。例如，火箭在飛行過程中所受的推力脈動(dòng)載荷，房屋或建筑物所受的地動(dòng)力或地震力，核反應(yīng)堆殼體在工作時(shí)所受的載荷，汽車行駛時(shí)所受的路面激勵(lì)力等，這些動(dòng)力載荷的直接測(cè)定十分困難，甚至是不可能的。因此人們自然寄希望于間接法。目前常用的間接法主要是指通過對(duì)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)（包括位移、速度、加速度等）測(cè)量，根據(jù)已知的結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性，識(shí)別結(jié)構(gòu)的動(dòng)載荷。這是一種結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中逆問題處理方法，稱為結(jié)構(gòu)載荷識(shí)別。結(jié)構(gòu)載荷識(shí)別技術(shù)還遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后于模態(tài)參數(shù)辨識(shí)技術(shù)的進(jìn)展。還有一系列問題需要進(jìn)一步研究，識(shí)別精度亦有待進(jìn)一步提高。載荷識(shí)別方法一般可分為兩大類，即頻域載荷識(shí)別法與時(shí)域載荷識(shí)別法。頻域識(shí)別法發(fā)展較早，已形成了比較完整的理論及計(jì)算方法，應(yīng)用亦較廣泛。時(shí)域法的研究目前還不夠深入，但近年來亦出現(xiàn)了一些具有應(yīng)用前景的方法（一）載荷識(shí)別的頻域方法

載荷識(shí)別的頻域法基本上有兩種，即頻響函數(shù)矩陣求逆法及模態(tài)坐標(biāo)變換法。前者只要知道頻響函數(shù)矩陣及響應(yīng)譜矩陣，即可識(shí)別動(dòng)態(tài)載荷；后者則必須知道系統(tǒng)的模態(tài)特性及模態(tài)參數(shù)（包括系統(tǒng)的各階振型矩陣）才能識(shí)別載荷在頻域中的特性，然后進(jìn)一步確定載荷的時(shí)間歷程。1.頻響函數(shù)矩陣求逆法

該方法對(duì)系統(tǒng)的輸人（待識(shí)別）及輸出（實(shí)測(cè)響應(yīng)）之間的關(guān)系作如下假設(shè)：

(1）輸人輸出之間呈線性關(guān)系。

(2）系統(tǒng)的響應(yīng)完全由待識(shí)別的載荷所產(chǎn)生。

結(jié)構(gòu)的分成確定性響應(yīng)及隨機(jī)響應(yīng)兩種情況。

1）確定性響應(yīng)設(shè)系統(tǒng)響應(yīng)按其性質(zhì)可需要確定的載荷數(shù)為P，響應(yīng)的側(cè)量點(diǎn)數(shù)為L(zhǎng)，并且頻響函數(shù)矩陣是完整的。

載荷與響應(yīng)之間有如下大家熟悉的關(guān)系：

①式中：X（ω）為響應(yīng)譜向量（LX1）

；F（ω）為載荷譜向量（PX1）；H（ω）為頻響函數(shù)矩陣（LXP）上式的求解，理論上是非常容易的。若待定的載荷數(shù)P與響應(yīng)的測(cè)點(diǎn)數(shù)L相等，則H（ω）為方陣，因此載荷譜向量F（ω）可由下式求得

②

此法較為簡(jiǎn)單，在確定了頻響函數(shù)矩陣及響應(yīng)向量的傅氏譜后，便可計(jì)算載荷譜。但實(shí)際上，常常是欲識(shí)別的載荷數(shù)P與響應(yīng)的實(shí)際測(cè)量點(diǎn)數(shù)L不相等，通常是L≥P。因此必須對(duì)頻響函數(shù)矩陣求廣義逆。這樣，載荷識(shí)別的公式便為

式中H（ω）矩陣的上角符號(hào)“H”為共扼轉(zhuǎn)置。2）隨機(jī)響應(yīng)若系統(tǒng)在隨機(jī)激勵(lì)力作用下，其響應(yīng)亦為隨機(jī)的。此時(shí)，激勵(lì)力與響應(yīng)之間有如下關(guān)系

式中：SXX（ω）為被測(cè)各響應(yīng)之間的互功率譜密度矩陣，(LXL)；SFF（ω）為各待識(shí)別力之間的互功率譜密度矩陣，(PXP)。

在實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中，若各輸人力之間彼此獨(dú)立無關(guān)時(shí)矩陣SFF（ω）中的非對(duì)角線項(xiàng)均為零，即矩陣SFF（ω）為對(duì)角陣。

當(dāng)P＝L時(shí)，可以利用響應(yīng)的自功率譜密度求解各輸人力的自功率譜密度。此時(shí)可利用下式求解：③當(dāng)P＜L時(shí)，亦可用上式求解SFF

當(dāng)P＞L時(shí)，即激勵(lì)點(diǎn)的數(shù)目比測(cè)量點(diǎn)的數(shù)目大時(shí)，上式獨(dú)立方程個(gè)數(shù)有?L（L+1）個(gè)，因此，測(cè)點(diǎn)數(shù)必須滿足總之，動(dòng)態(tài)載荷識(shí)別就是求解式①或式③。通常方程個(gè)數(shù)大于未知數(shù)，是矛盾方程。在具體求解時(shí)，要盡量避免系數(shù)矩陣出現(xiàn)病態(tài)，在選擇響應(yīng)的測(cè)量位置和方向時(shí)，應(yīng)力求避免對(duì)稱。采用頻響函數(shù)矩陣求逆確定動(dòng)態(tài)載荷的方法雖然思路很簡(jiǎn)單，但當(dāng)要求確定的載荷數(shù)目P很大時(shí)，計(jì)算工作量較大，并在所感興趣的頻段內(nèi)，每個(gè)離散頻率ω都必須做矩陣求逆運(yùn)算。當(dāng)ω接近共振頻率時(shí)，會(huì)出現(xiàn)數(shù)值計(jì)算的不穩(wěn)定性問題。

3）上述頻響函數(shù)矩陣求逆確定動(dòng)態(tài)載荷的方法曾用于確定某直升機(jī)槳軸載荷。

直升機(jī)在飛行過程中所發(fā)生的振動(dòng)主要由旋翼、發(fā)動(dòng)機(jī)及尾槳所造成，最主要是旋翼產(chǎn)生的振動(dòng)載荷，其激勵(lì)頻率為轉(zhuǎn)速乘以葉片數(shù)。由于氣流不穩(wěn)定的影響，還有隨機(jī)成分存在。旋翼受力是直升機(jī)設(shè)計(jì)的最根本的依據(jù)，是決定飛機(jī)造價(jià)的重要因素。將這些力簡(jiǎn)化并轉(zhuǎn)到主軸上，定為被識(shí)別的載荷。

1）.被識(shí)別載荷。被識(shí)別的載荷為作用在主軸上的6個(gè)力和力矩，即

載荷向量為載荷的方向和和位置如上圖所示。2）.響應(yīng)測(cè)量。測(cè)量的響應(yīng)是主減速器架8個(gè)支撐桿上的應(yīng)變。采用應(yīng)變片粘貼于桿身，應(yīng)變信號(hào)通過遙測(cè)裝置接收，作為飛機(jī)的響應(yīng)信號(hào)。遙測(cè)裝置的原理框圖如圖所示。由于6個(gè)激勵(lì)力。作用均通過此8個(gè)支撐桿傳到整個(gè)機(jī)身上，因此這些桿的應(yīng)變能很好地反映激勵(lì)力的大小及性質(zhì)，并可直接用于減速器支架的疲勞問題研究。

3）.應(yīng)變頻響函數(shù)矩陣的測(cè)量。頻響函數(shù)的測(cè)量在地面進(jìn)行。將飛機(jī)懸吊在空中，模擬飛機(jī)在空中的自由狀態(tài)。懸吊系統(tǒng)垂直方向的固有頻率為0.9Hz。分別對(duì)帶旋翼和不帶旋翼兩種情況進(jìn)行試驗(yàn)，以作比較。采用應(yīng)變頻響函數(shù)矩陣的直接測(cè)試方法激勵(lì)方式有兩種：一為敲擊法，激勵(lì)力的大小為3kN（300kgf)，脈沖持續(xù)時(shí)間8ms左右；一為正弦激勵(lì)，其中又采用階梯形式、慢掃描、快掃描三種方式加載。正弦激勵(lì)力的大小在100N(10kgf）左右。為獲得力矩載荷，采用偏心加力，用數(shù)據(jù)處理方法解偶。數(shù)據(jù)處理的關(guān)鍵是對(duì)小信噪比信號(hào)的處理問題。

下圖為一典型的頻響函數(shù)和相干函數(shù)。4）.空中飛行實(shí)測(cè)（得到未知力作用下的應(yīng)變響應(yīng)）。信號(hào)的傳遞和匯集采用PCM編碼遠(yuǎn)程遙測(cè)系統(tǒng)。實(shí)測(cè)應(yīng)變的時(shí)間歷程如下圖所示。在實(shí)側(cè)應(yīng)變中，靜應(yīng)變量為主，約占90%，動(dòng)應(yīng)變基本上是周期性函數(shù)，其頻率為12Hz。約有10％的隨機(jī)成分，采用多次平均法，以提高數(shù)據(jù)的可靠性。5）.6個(gè)激勵(lì)力的計(jì)算。主減速器支架是結(jié)構(gòu)對(duì)稱，但受力并不對(duì)稱的構(gòu)件。為了避免方程系數(shù)矩陣的病態(tài)，對(duì)實(shí)測(cè)的16個(gè)位置，只選取了L=6，分別位于6個(gè)桿子，使用對(duì)應(yīng)這6點(diǎn)的應(yīng)變頻響函數(shù)矩陣，求解式。求解方法采用主元素消去法,得到六個(gè)待識(shí)別力.表6.1a,6.1b和6.1c給出了測(cè)試的應(yīng)變響應(yīng),應(yīng)變頻響函數(shù)和識(shí)別出來的外載荷.

表6-1a實(shí)測(cè)應(yīng)變響應(yīng)結(jié)果06.02.2023表6-1b應(yīng)變頻響函數(shù)表6-1c識(shí)別出的動(dòng)載荷2.模態(tài)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法

在已知結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)情況下,動(dòng)態(tài)載荷的識(shí)別可依據(jù)模態(tài)參數(shù)，采用模態(tài)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的方法來獲得。

對(duì)N自由度，且具有比例阻尼的線性系統(tǒng)，已知其模態(tài)矩陣為Φ（NXN），系統(tǒng)的響應(yīng)譜向量為X（ω）(NX1)，它們之間有如下關(guān)系：①

式中②

稱為頻域模態(tài)坐標(biāo)向量。

式中的?

，從數(shù)學(xué)意義上講，即為坐標(biāo)變換矩陣，通過它把物理坐標(biāo)下的響應(yīng)X（ω）變換到模態(tài)坐標(biāo)中的響應(yīng)Q（ω）。于是，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式轉(zhuǎn)換到模態(tài)坐標(biāo)中后為

③式中：mr

、cr、kr，為系統(tǒng)第r階模態(tài)的模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)阻尼、模態(tài)剛度；P（ω）為頻域中的廣義力（或模態(tài)力）向量。它們都是系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，都可由模態(tài)分析得到。

因此，在測(cè)定了系統(tǒng)的響應(yīng)及己知模態(tài)矩陣Φ后，即可由式②求得模態(tài)坐標(biāo)向量Q（ω）然后由式③求得模態(tài)力向量P（ω）,則動(dòng)態(tài)載荷譜向量可由下式確定

④

對(duì)實(shí)際工程結(jié)構(gòu)往往不能得到完整的模態(tài)集，只能得到部分模態(tài)。若只有n個(gè)模態(tài)，n<N，而且測(cè)量響應(yīng)的點(diǎn)數(shù)L往往亦小于自由度數(shù)，L<N，則式②改寫為

模態(tài)坐標(biāo)向量可由下式計(jì)算式③的階數(shù)也應(yīng)是n階的，此時(shí)可識(shí)別的動(dòng)態(tài)載荷數(shù)P不能大于模態(tài)數(shù)n，也不能大于響應(yīng)的測(cè)點(diǎn)數(shù)L,P≤L，P≤n。此時(shí)矩陣φ不再是方陣，因此動(dòng)態(tài)載荷可由下式確定：式中是從模態(tài)矩陣Φ中挑選相應(yīng)的P行而形成的。

3.優(yōu)化逆系統(tǒng)方法從理論上講利用頻響函數(shù)矩陣求逆法識(shí)別動(dòng)態(tài)載荷時(shí)，利用式第7頁(yè)②可方便地求出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)力向量。但實(shí)際上，對(duì)于一個(gè)實(shí)際結(jié)果系統(tǒng)而言，測(cè)量噪聲及各種信號(hào)污染是不可避免的。即使能得到真實(shí)的頻響函數(shù)值，用式亦得不出精確的動(dòng)態(tài)載荷。動(dòng)載荷識(shí)別的度很大程度上取決于頻響函數(shù)矩陣的條件數(shù)，大的條件數(shù)常使它“病態(tài)”。在求逆運(yùn)算時(shí)將造成較大誤差，使識(shí)別失敗。條件數(shù)事實(shí)上表示了矩陣計(jì)算對(duì)于誤差的敏感性。對(duì)于，如果的條件數(shù)大，的微小改變就能引起解較大的改變，數(shù)值穩(wěn)定性差。4.多輸人多輸出動(dòng)態(tài)載荷識(shí)別的逆系統(tǒng)優(yōu)化估計(jì)方法，可使動(dòng)態(tài)載荷估計(jì)的總均方差最小。

1)理論分析考慮如圖多輸入多輸出系統(tǒng)，其中fi（t），xi（t）和mi（t）（i=1,2，…，p）分別表示系統(tǒng)輸入載荷的真實(shí)值、測(cè)量值和輸入噪聲；vj（t），yj（t）和nj（t）（j=1,2,…，q）分別表示系統(tǒng)輸出的真實(shí)值、測(cè)量值和輸出噪聲。這里我們假定噪聲信號(hào)為零均值穩(wěn)態(tài)隨機(jī)過程，且與任何其他信號(hào)無關(guān)，由圖示符號(hào)系統(tǒng)我們有定義一個(gè)線性時(shí)不變逆系統(tǒng)，并以真實(shí)系統(tǒng)的輸出y(t）作為該系統(tǒng)的輸人，原輸入為它的輸出，令該系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣為ω（t)，即

⑤

這里為逆系統(tǒng)愉出的估計(jì)值。選擇矩陣ω（t）使該系統(tǒng)之輸出估計(jì)值與真實(shí)系統(tǒng)輸入值之間的總均方差最小，此時(shí)該逆系統(tǒng)之輸出入即為真實(shí)系統(tǒng)輸人（動(dòng)態(tài)載荷）的最佳估計(jì)。式中ε表示估計(jì)誤差向量：;E表示期望值。式⑤可進(jìn)一步寫成這里Ji為第i個(gè)的載荷估計(jì)誤差：上兩式表明，如果每一個(gè)載荷的均方估計(jì)誤差都最小，則所有載荷的總體均方估計(jì)誤差亦最小。因此，我們先考慮第i個(gè)載荷的估計(jì)。由式⑤我們有

⑥

ε

這里ωi，j（t）為逆系統(tǒng)的第j個(gè)輸入與第i個(gè)輸出之間的脈沖響應(yīng)函數(shù)。由此，要使Ji為最小，則需滿足綜合考慮上述三式可得

⑦

上式表明，對(duì)于一個(gè)多輸人多輸出系統(tǒng)來說，當(dāng)每一個(gè)載荷的估計(jì)誤差與任意一個(gè)響應(yīng)的測(cè)量值正交，則所有載荷的總體均方估計(jì)誤差最小。該結(jié)論亦可視為多輸人多輸出系統(tǒng)的一個(gè)廣義正交性原理。將⑥式代入⑦式得作期望運(yùn)算得到兩端作傅氏變換得到對(duì)所有的激勵(lì)力于是有W是逆系統(tǒng)的頻響函數(shù)由上式得到

⑧

F是未知的，是要識(shí)別的，為什么⑧式成立？這是因?yàn)樵到y(tǒng)的輸出X，就是逆系統(tǒng)的輸入F。所以當(dāng)逆系統(tǒng)確定后就有這就是動(dòng)載荷在頻域的優(yōu)化估計(jì)值，它的時(shí)域估計(jì)值（時(shí)間歷程）就可由的傅氏逆變換求得。

（二）載荷識(shí)別的時(shí)域法

載荷識(shí)別的時(shí)域法提出較晚，目前國(guó)內(nèi)外正在展開研究。這些方法中有建立在求解Volterra第一類積分方程問題基礎(chǔ)上的針對(duì)連續(xù)系統(tǒng)及離散系統(tǒng)的時(shí)域辨識(shí)法；亦有建立在微小時(shí)間內(nèi)動(dòng)態(tài)載荷為階躍函數(shù)假設(shè)基礎(chǔ)上的求解振動(dòng)微分方程的方法。后者主要針對(duì)離散系統(tǒng)。由于在實(shí)際工程應(yīng)用中，離散系統(tǒng)更多為人們所采用，因此本節(jié)著重介紹針對(duì)離散系統(tǒng)的時(shí)域動(dòng)態(tài)載荷識(shí)別方法。

1．基本原理

N自由度，且具有比例阻尼的線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式為

①

式中：M、C、K分別為N×N階的系統(tǒng)質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；X（t）、X（t）、分別為N×l階的位移、速度及加速度響應(yīng)向量;F(t）為動(dòng)態(tài)力向量，亦為Nxl階。

由理論計(jì)算或?qū)嶒?yàn)?zāi)B(tài)分析方法可求得該系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)：模態(tài)頻率ωr，模態(tài)向量φr，模態(tài)阻尼ζr，模態(tài)質(zhì)量m，模態(tài)剛度kr，r=l,2，…，n。由各階模態(tài)向量組成模態(tài)矩陣

②

應(yīng)用模態(tài)坐標(biāo)變換

式中Q(t)為模態(tài)坐標(biāo)向量，N×1.于是①式可改寫為用模態(tài)坐標(biāo)表示的非耦合方程式式中Mr、Cr、Kr分別為模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)阻尼及模態(tài)剛度矩陣，N×N階。模態(tài)頻率及模態(tài)阻尼比為③

④⑤⑥

對(duì)第r階模態(tài)，則有

式即為以模態(tài)坐標(biāo)描述的微分方程。時(shí)域辨識(shí)的基本思想是在已知模態(tài)坐標(biāo)qr（t）或，的基礎(chǔ)上由上式求得模態(tài)力Pr（t），再求得F（t）對(duì)于離散系統(tǒng)，我們?cè)谇蠼馍鲜鑫⒎址匠虝r(shí)，假設(shè)在微小的時(shí)間區(qū)域內(nèi)，模態(tài)力pr（t）是一個(gè)階躍函數(shù)。設(shè)此時(shí)間區(qū)域?yàn)?/p>

，在此區(qū)域內(nèi)的模態(tài)力為prj，(j=1,2,…，s）。我們可以根據(jù)

區(qū)域內(nèi)的響應(yīng)計(jì)算prj

。逐個(gè)區(qū)域計(jì)算，最后可得模態(tài)力pr（t）的離散時(shí)間歷程prj，(j=1，2，…s，）。

上式是一個(gè)解耦的獨(dú)立方程，相當(dāng)于單自由度系統(tǒng)的微分方程。由振動(dòng)理論可知，對(duì)一單自由度系統(tǒng)，在階躍力prj

用下，系統(tǒng)的位移響應(yīng)解為

⑧

式中D為常數(shù)，由初始條件決定。設(shè)初始條件為將上述初始條件代入⑧，在區(qū)間Δt內(nèi)求解，可由下式得階躍函數(shù)prj

式中：如果只知道位移響應(yīng)qrj（j=1,2,3，…，s）,則⑧式可寫為應(yīng)用此式時(shí)，認(rèn)為pr在區(qū)間2Δt=tj+1-tj-1為階躍函數(shù)。若模態(tài)位移，速度及加速度均為已知，則模態(tài)力計(jì)算公式還可以寫為由上三式