2-4基本教學(xué)要求

一、掌握功的概念,能計算變力的功，理解保守力作功的特點及勢能的概念，會計算萬有引力、重力和彈性力的勢能．

二、掌握動能定理、功能原理和機械能守恒定律，掌握運用動量和能量守恒定律分析力學(xué)問題的思想和方法．

三、了解完全彈性碰撞和完全非彈性碰撞的特點，并能處理較簡單的完全彈性碰撞和完全非彈性碰撞的問題．2-4

基本教學(xué)要求END§2-4能量守恒定律2-4-1功和功率

功是度量能量轉(zhuǎn)換的基本物理量，它描寫了力對空間積累作用。功的定義：

在力的作用下，物體發(fā)生了位移，則把力在位移方向的分力與位移的乘積稱為功。國際單位：焦耳（J

）N·m

質(zhì)點由a點沿曲線運動到b點的過程中，變力所作的功。元功：合力的功：結(jié)論：合力對質(zhì)點所作的功等于每個分力對質(zhì)點作功之代數(shù)和。在直角坐標(biāo)系Oxyz中在自然坐標(biāo)系中，力和可寫成如下形式：質(zhì)點沿曲線從s0運動到s1過程中，力所做的功為：功率是反映作功快慢程度的物理量。功率：單位時間內(nèi)所作的功。平均功率：瞬時功率：瓦特（W）=（J/s）例1、設(shè)作用在質(zhì)量為2kg的物體上的力F=6tN。如果物體由靜止出發(fā)沿直線運動，在頭2（s）內(nèi)這力作了多少功？解：兩邊積分：2-4-2動能和動能定理動能：質(zhì)點因有速度而具有的作功本領(lǐng)。單位：（J）設(shè)質(zhì)點m在力的作用下沿曲線從a點移動到b點元功：1．質(zhì)點動能定理總功：質(zhì)點的動能定理：合外力對質(zhì)點所做的功等于質(zhì)點動能的增量。解

例質(zhì)量為

的質(zhì)點,在平面內(nèi)運動,方程為

，求從到這段時間內(nèi)，外力對質(zhì)點作的功.2．質(zhì)點系的動能定理i一個由n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，考察第i個質(zhì)點。質(zhì)點的動能定理：

對系統(tǒng)內(nèi)所有質(zhì)點求和

質(zhì)點系動能的增量等于作用于系統(tǒng)的所有外力和內(nèi)力作功之代數(shù)和。質(zhì)點系的動能定理：

內(nèi)力做功可以改變系統(tǒng)的總動能。值得注意：例2

如圖所示，用質(zhì)量為M的鐵錘把質(zhì)量為m的釘子敲入木板。設(shè)木板對釘子的阻力與釘子進入木板的深度成正比。在鐵錘敲打第一次時，能夠把釘子敲入1cm深，若鐵錘第二次敲釘子的速度情況與第一次完全相同，問第二次能把釘子敲入多深？解設(shè)鐵錘敲打釘子前的速度為v0，敲打后兩者的共同速度為v。鐵錘第一次敲打時，克服阻力做功，設(shè)釘子所受阻力大小為：由動能定理，有：設(shè)鐵錘第二次敲打時能敲入的深度為ΔS

，則有化簡后第二次能敲入的深度為：2-4-3保守力與非保守力勢能（1）重力的功初始位置末了位置

重力做功僅取決于質(zhì)點的始、末位置za和zb，與質(zhì)點經(jīng)過的具體路徑無關(guān)。（2）萬有引力作功

設(shè)質(zhì)量為M的質(zhì)點固定，另一質(zhì)量為m的質(zhì)點在M的引力場中從a點運動到b點。cMab

萬有引力作功只與質(zhì)點的始、末位置有關(guān)，而與具體路徑無關(guān)。（3）彈性力的功x2box1mxamFx由虎克定律：

彈性力作功只與彈簧的起始和終了位置有關(guān)，而與彈性變形的過程無關(guān)。保守力：作功與路徑無關(guān)，只與始末位置有關(guān)的力。保守力的特點：保守力沿任何閉合路徑作功等于零。證明：設(shè)保守力沿閉合路徑acbda作功abcd按保守力的特點：因為：所以：證畢保守力的功與勢能的關(guān)系：物體在保守力場中a、b兩點的勢能Epa與

Epb之差，等于質(zhì)點由a點移動到b點過程中保守力所做的功Wab。保守力做功在數(shù)值上等于系統(tǒng)勢能的減少。勢能由物體的相對位置所確定的系統(tǒng)能量稱為勢能（Ep）說明：（1）勢能是一個系統(tǒng)的屬性。勢能的大小只有相對的意義，相對于勢能的零點而言。（2）（3）勢能的零點可以任意選取。

設(shè)空間r0點為勢能的零點，則空間任意一點r的勢能為：結(jié)論：

空間某點的勢能Ep在數(shù)值上等于質(zhì)點從該點移動到勢能零點時保守力做的功。重力勢能：（地面（h=0）為勢能零點）彈性勢能：（彈簧自由端為勢能零點）引力勢能：（無限遠處為勢能零點）保守力與勢能的積分關(guān)系：保守力與勢能的微分關(guān)系：因為：所以：保守力的矢量式：

保守力沿各坐標(biāo)方向的分量，在數(shù)值上等于系統(tǒng)的勢能沿相應(yīng)方向的空間變化率的負值，其方向指向勢能降低的方向。結(jié)論：2-4-4機械能守恒定律質(zhì)點系的動能定理：其中機械能

質(zhì)點系機械能的增量等于所有外力和所有非保守內(nèi)力所作功的代數(shù)和。質(zhì)點系的功能原理如果，

當(dāng)系統(tǒng)只受保守內(nèi)力作功時，質(zhì)點系的總機械能保持不變。機械能守恒定律注意：（1）機械能守恒定律只適用于慣性系，不適合于非慣性系。這是因為慣性力可能作功。（2）在某一慣性系中機械能守恒，但在另一慣性系中機械能不一定守恒。這是因為外力的功與參考系的選擇有關(guān)。對一個參考系外力功為零，但在另一參考系中外力功也許不為零。例3.

傳送帶沿斜面向上運行速度為v=1m/s，設(shè)物料無初速地每秒鐘落到傳送帶下端的質(zhì)量為M=50kg/s，并被輸送到高度h=5m處，求配置的電動機所需功率。（忽略一切由于摩擦和碰撞造成的能量損失）解：在Δt時間內(nèi)，質(zhì)量為MΔt的物料落到皮帶上，并獲得速度v

。Δt內(nèi)系統(tǒng)動能的增量：重力做功：電動機對系統(tǒng)做的功：由動能定理：例4.

一長度為2l的均質(zhì)鏈條，平衡地懸掛在一光滑圓柱形木釘上。若從靜止開始而滑動，求當(dāng)鏈條離開木釘時的速率（木釘?shù)闹睆娇梢院雎裕┙庠O(shè)單位長度的質(zhì)量為λ始末兩態(tài)的中心分別為c和c′機械能守恒：解得例5.計算第一，第二宇宙速度1.第一宇宙速度已知：地球半徑為R，質(zhì)量為M，衛(wèi)星質(zhì)量為m。要使衛(wèi)星在距地面h高度繞地球作勻速圓周運動，求其發(fā)射速度。解：設(shè)發(fā)射速度為v1，繞地球的運動速度為v。機械能守恒：RMm由萬有引力定律和牛頓定律：解方程組，得：代入上式，得：2.第二宇宙速度宇宙飛船脫離地球引力而必須具有的發(fā)射速度（1）脫離地球引力時，飛船的動能必須大于或至少等于零。由機械能守恒定律：解得：（2）脫離地球引力處，飛船的引力勢能為零。

一輕彈簧,其一端系在鉛直放置的圓環(huán)的頂點P，另一端系一質(zhì)量為m

的小球,小球穿過圓環(huán)并在環(huán)上運動(μ=0)．開始球靜止于點A,彈簧處于自然狀態(tài)，其長為環(huán)半徑R;當(dāng)球運動到環(huán)的底端點B時，球?qū)Νh(huán)沒有壓力．求彈簧的勁度系數(shù)．

解以彈簧、小球和地球為一系統(tǒng)只有保守內(nèi)力做功系統(tǒng)即又所以取點B為重力勢能零點2-4-5碰撞

兩個或兩個以上的物體在運動中發(fā)生極其短暫的相互作用，使物體的運動狀態(tài)發(fā)生急劇變化，這一過程稱為碰撞。動量守恒完全彈性碰撞：碰撞后物體系統(tǒng)的動能沒有損失。非彈性碰撞：碰撞后物體系統(tǒng)的動能有損失。完全非彈性碰撞：碰撞后物體系統(tǒng)的動能有損失，且碰撞后物體以同一速度運動。1.完全彈性碰撞(1)

如果m1=

m2

，則v1=

v20

，v2=v10，即兩物體在碰撞時速度發(fā)生了交換。(2)

如果v20=0

,且m2

>>

m1,則v1=

-

v10,

v2=

02．完全非彈性碰撞

由動量守恒定律完全非彈性碰撞中動能的損失

牛頓的碰撞定律：在一維對心碰撞中，碰撞后兩物體的分離速度v2-v1

與碰撞前兩物體的接近速度v10-v20

成正比，比值由兩物體的材料性質(zhì)決定。3．非彈性碰撞

e為恢復(fù)系數(shù)

e

=

0，則v2

=v1，為完全非彈性碰撞。e=1，則分離速度等于接近速度，為完全彈性碰撞。一般非彈性碰撞碰撞：0

<

e<

1

§2-5守恒定律和對稱性

如果系統(tǒng)的狀態(tài)在某種操作下保持不變，則稱該系統(tǒng)對于這一操作具有對稱性。

如果某一物理現(xiàn)象或規(guī)律在某一變換下保持不變，則稱該現(xiàn)象或規(guī)律具有該變換所對應(yīng)的對稱性。物理學(xué)中最常見的對稱操作：時間操作：時間平移、時間反演等；空間操作：空間平移、旋轉(zhuǎn)、鏡像反射、空間反演等。時空操作：伽利略變換、洛侖茲變換等。

1．空間的對稱性及其操作（1）空間平移操作系統(tǒng)具有空間平移對稱性。（2）空間反演操作空間反演操作下不變的系統(tǒng)具有對O點的對稱性。（

3）鏡像反射操作（4）空間旋轉(zhuǎn)（球?qū)ΨQ）操作在此操作下系統(tǒng)稱具有球?qū)ΨQ性。保持不變（5）空間旋轉(zhuǎn)（軸對稱）操作保持不變對繞z軸作任意旋轉(zhuǎn)都不變的系統(tǒng)具有軸對稱性。2．時間的對稱性及其操作（1）時間平移操作，系統(tǒng)不變例如,系統(tǒng)作周期性變化（2）時間反演操作系統(tǒng)具有時間反演對稱性。3．時空的對稱性操作

物理規(guī)律對對于某一變換（也是一個時空聯(lián)合操作）具有不變性。

如果對于某個物理學(xué)系統(tǒng)的運動施加限制（比如，施加外力或外力矩作用等），從而導(dǎo)致該系統(tǒng)原有的某些對稱性遭到破壞，物理上稱這種情況為對稱性破缺。4．對稱性破缺2-5-2守恒定律和對稱性

每一種對稱性均對應(yīng)于一個物理量的守恒律；反之，每一種守恒律均對應(yīng)于一種對稱性。諾特定理：1．動量守