2021年全國各地高考數(shù)學(xué)試題及解答分類大全〔圓錐曲線與方程〕一、選擇題1.〔2021全國Ⅰ文〕直線l經(jīng)過橢圓的一個極點(diǎn)和一個焦點(diǎn),假設(shè)橢圓中心到l的距離為其短軸長的1,那么4該橢圓的離心率為〔〕〔A〕1〔B〕12〔D〕332〔C〕34【答案】B【解析】試題解析：如圖,由題意得在橢圓中,OFc,OBb,OD12b1b42在RtOFB中,|OF||OB||BF||OD|,且a2b2c2,代入解得a24c2,所以橢圓得離心率得e1,應(yīng)選B.2yDBFOx考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】求橢圓或雙曲線離心率是高考?？紗栴},求解此類問題的一般步驟是先列出等式,再轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)于a,c的齊次方程,方程兩邊同時除以a的最高次冪,轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)于e的方程,解方程求e.2.〔2021全國Ⅰ理〕方程x2y21表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,那么nm2n3m2()n的取值范圍是〔A〕1,3〔B〕1,3〔C〕0,3〔D〕0,3【答案】A考點(diǎn)：雙曲線的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】雙曲線知識一般作為客觀題學(xué)生出現(xiàn),主要考察雙曲線幾何性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.注意雙曲線的焦距是2c不是c,這一點(diǎn)易出錯.第1頁〔共37頁〕3.〔2021全國Ⅰ理〕以拋物線C的極點(diǎn)為圓心的圓交C于A、B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于D、E兩點(diǎn).|AB|=42,|DE|=25,那么C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()(A)2(B)4(C)6(D)8【答案】B考點(diǎn)：拋物線的性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】此題主要考察拋物線的性質(zhì)及運(yùn)算,注意解析幾何問題中最容易出現(xiàn)運(yùn)算錯誤,所以解題時一定要注意運(yùn)算的正確性與技巧性,基礎(chǔ)題失分過多是相當(dāng)一局部學(xué)生數(shù)學(xué)考不好的主要原因.4.〔2021全國Ⅱ文〕設(shè)F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，曲線y=k〔k>0〕與C交于點(diǎn)P，PF⊥x軸，那么k=〔x〕〔A〕1〔B〕1〔C〕3〔D〕222【答案】D考點(diǎn)：拋物線的性質(zhì)，反比率函數(shù)的性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】拋物線方程有四種形式，注意焦點(diǎn)的地址.對函數(shù)y=k(k0)，當(dāng)k0時，在x(,0)，(0,)上是減函數(shù)，當(dāng)k0時，在(,0)，(0,)上是增函數(shù).第2頁〔共37頁〕5.〔2021全國Ⅱ理〕F1,F2是雙曲線E:x2y21的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，MF1與x軸a2b2垂直，sinMF2F11,那么E的離心率為〔〕3〔A〕2〔B〕3〔C〕3〔D〕22【答案】A考點(diǎn)：雙曲線的性質(zhì).離心率.【名師點(diǎn)睛】區(qū)分雙曲線中a，b，c的關(guān)系與橢圓中a，b，c的關(guān)系，在橢圓中a2＝b2＋c2，而在雙曲線中c2＝a2＋b2.雙曲線的離心率e∈(1，＋∞)，而橢圓的離心率e∈(0，1)．6.〔2021全國Ⅲ文、理〕O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：x2y21(ab0)的左焦點(diǎn)，A,Ba2b2分別為C的左，右極點(diǎn).P為C上一點(diǎn)，且PFx軸..過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.假設(shè)直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，那么C的離心率為〔〕〔A〕1〔B〕1〔C〕2〔D〕33234【答案】A考點(diǎn)：橢圓方程與幾何性質(zhì)．【思路點(diǎn)撥】求解橢圓的離心率問題主要有三種方法：〔1〕直接求得a,c的值，進(jìn)而求得e的值；〔2〕建立a,b,c的齊次等式，求得b或轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)于e的等式求解；(3)經(jīng)過特殊值或特殊地址，求出e．a(chǎn)7.〔2021四川文〕拋物線y24x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是〔〕(A)(0,2)(B)(0,1)(C)(2,0)(D)(1,0)第3頁〔共37頁〕【答案】D【解析】試題解析：由題意，y24x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，應(yīng)選D.考點(diǎn)：拋物線的定義.【名師點(diǎn)睛】此題考察拋物線的定義．解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要分支，圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容，它們的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單的性質(zhì)是我們重點(diǎn)要掌握的內(nèi)容，一定要熟記掌握．8.〔2021四川理〕設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y22px(p0)上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且PM=2MF,那么直線OM的斜率的最大值為〔A〕3〔B〕2〔C〕2〔D〕1332【答案】C【解析】試題解析：設(shè)P2pt2,2pt,Mx,y〔不妨設(shè)t0〕，那么FP2pt2p,2pt.由21xp2pt2p,x2pt2p,得FM236，33，F(xiàn)P，2pt2pt3y,y33,kOM2t2t1112，kOM2，應(yīng)選C.2t1212max22t2考點(diǎn)：拋物線的簡單的幾何性質(zhì)，根本不等式的應(yīng)用．【名師點(diǎn)睛】此題考察拋物線的性質(zhì)，結(jié)合題意要求，利用拋物線的參數(shù)方程表示出拋物線上點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用向量法求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，是我們求點(diǎn)坐標(biāo)的常用方法，由于要求最大值，因此我們把k斜率用參數(shù)t表示出后，可根據(jù)表達(dá)式形式采用函數(shù)，或不等式的知識求出最值，此題采用根本不等式求出最值．9.〔2021天津文〕雙曲線x2y21(a0,b0)的焦距為25，且雙曲線的一條漸近線與直線2xy0a2b2垂直，那么雙曲線的方程為〔〕〔A〕x2y21〔B〕x2y21〔C〕3x23y21〔D〕3x23y2144205520【答案】A【解析】試題解析：由題意得c5,b1a2,b1x2y21，選A.a241考點(diǎn)：雙曲線漸近線【名師點(diǎn)睛】求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程關(guān)注點(diǎn)：確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程也需要一個“定位〞條件，兩個“定量〞條件，“定位〞是指確定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，“定量〞是指確定a，b的值，常用待定系數(shù)法．利用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時應(yīng)注意選擇適合的方程形式，以防備議論．第4頁〔共37頁〕①假設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)不能確準(zhǔn)時，可設(shè)其方程為Ax2＋By2＝1(AB＜0)．2222＝λ(λ≠0)．②假設(shè)漸近線方程為mx＋ny＝0，那么雙曲線方程可設(shè)為mx－ny10.〔2021天津理〕雙曲線x2y2=1>0〔b〕，以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A、B、C、D四點(diǎn)，四邊形的ABCD的面積為2b，那么雙曲線的方程為〔〕〔A〕x23y2=1〔B〕x24y2〔C〕x2y2〔D〕x2y2=14443=14b2=1412【答案】D考點(diǎn)：雙曲線漸近線【名師點(diǎn)睛】求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程關(guān)注點(diǎn)：確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程也需要一個“定位〞條件，兩個“定量〞條件，“定位〞是指確定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，“定量〞是指確定a，b的值，常用待定系數(shù)法．利用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時應(yīng)注意選擇適合的方程形式，以防備議論．①假設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)不能確準(zhǔn)時，可設(shè)其方程為Ax2＋By2＝1(AB＜0)．②假設(shè)漸近線方程為mx＋ny＝0，那么雙曲線方程可設(shè)為2222．mx－ny＝λ(λ≠0)11.〔2021浙江理〕橢圓1x222x2–y212C：2+y=1(m>1)與雙曲線C：n2=1(n>0)的焦點(diǎn)重合，e，e分別為C1，C2的離心率，那么〔m〕A．m>n且e1e2>1B．m>n且e1e2<1C．m<n且e1e2>1D．m<n且e1e2<1【答案】A考點(diǎn)：1、橢圓的簡單幾何性質(zhì)；2、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)．第5頁〔共37頁〕【易錯點(diǎn)睛】計算橢圓C1的焦點(diǎn)時，要注意c2a2b2；計算雙曲線C2的焦點(diǎn)時，要注意c2a2b2．否那么很容易出現(xiàn)錯誤．二、填空x2y21〔a0，b0〕的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所1。〔2021北京理〕雙曲線在的直線，點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn)，假設(shè)正方形OABC的邊長為2，那么a_______________.【答案】2考點(diǎn)：雙曲線的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】在雙曲線的幾何性質(zhì)中，漸近線是其獨(dú)到的一種性質(zhì)，也是考察的重點(diǎn)內(nèi)容.對漸近線：(1)掌握方程；(2)掌握其傾斜角、斜率的求法；(3)會利用漸近線方程求雙曲線方程的待定系數(shù).求雙曲線方程的方法以及雙曲線定義和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用都和與橢圓相關(guān)的問題鄰近似.因此，雙曲線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一為Ax2By21的形式，當(dāng)A0，B0，AB時為橢圓，當(dāng)AB0時為雙曲線.x2y21〔a0，b0〕的一條漸近線為2xy0，一個焦2.〔2021北京文〕雙曲線點(diǎn)為(5,0)，那么a_______；b_____________.【答案】a1,b2.c5,結(jié)合c2a2b2,解得a1,b2.【解析】試題解析：依題意有b2a考點(diǎn)：雙曲線的根本觀點(diǎn)【名師點(diǎn)睛】在雙曲線的幾何性質(zhì)中，漸近線是其獨(dú)到的一種性質(zhì)，也是考察的重點(diǎn)內(nèi)容.對漸近線：(1)掌握方程；(2)掌握其傾斜角、斜率的求法；(3)會利用漸近線方程求雙曲線方程的待定系數(shù).求雙曲線方程的方法以及雙曲線定義和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用都和與橢圓相關(guān)的問題鄰近似.因此，雙曲線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一為Ax2By21的形式，當(dāng)A0，B0，AB時為橢圓，當(dāng)AB0時為雙曲線.3.〔2021江蘇〕在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線x2y21的焦距是________▲________.73【答案】210第6頁〔共37頁〕考點(diǎn)：雙曲線性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考察雙曲線根本性質(zhì)，而雙曲線性質(zhì)是與雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程息息相關(guān)，明確雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中量所對應(yīng)關(guān)系是解題重點(diǎn)：x2y20,b0)揭穿焦點(diǎn)在x軸，實(shí)軸長為2a，虛a2b21(a軸長為2b，焦距為2c2a2b2，漸近線方程為ybx，離心率為ca2b2aaa4.〔2021江蘇〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓x2y21(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)，ba2b2直線yB,C兩點(diǎn)，且BFC90,那么該橢圓的離心率是▲.與橢圓交于26【答案】3考點(diǎn)：橢圓離心率【名師點(diǎn)睛】橢圓離心率的考察，一般分兩個層次，一是由離心率的定義，只需分別求出a,c，這注重考察橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中量的含義，二是整體考察，求a,c的比值，這著重于列式，即需根據(jù)條件列出關(guān)于a,c的一個齊次等量關(guān)系，經(jīng)過解方程獲得離心率的值.x2y21〔a＞0，b＞0〕，假設(shè)矩形ABCD的四個極點(diǎn)在E5.〔2021山東文、理〕雙曲線E：b2a2上，AB，CD的中點(diǎn)為E的兩個焦點(diǎn)，且2|AB|=3|BC|，那么E的離心率是_______.【答案】2【解析】試題解析：假設(shè)點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第二象限，那么A(c,b2)，B(c,b2)，所以|AB|2b2，a1aa|BC|2c，由2AB3BC，c2a2b2得離心率e2或e〔舍去〕，所以E的離心率為2.2考點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì)另解：依題意，不妨設(shè)AB6,AD4，作出圖象如下列圖所示第7頁〔共37頁〕那么2c4,c2;2aDF2DF1532,a1,c2故離心率2a1考點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】此題主要考察雙曲線的幾何性質(zhì).此題解答，利用特殊化思想，經(jīng)過對特殊情況的議論，轉(zhuǎn)變獲得一般結(jié)論，降低認(rèn)識題的難度.此題能較好的考察考生轉(zhuǎn)變與化歸思想、一般與特殊思想及根本運(yùn)算能力等.6.〔2021天津理〕設(shè)拋物線x2pt2，〔t為參數(shù)，p＞0〕的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為l.過拋物線上一點(diǎn)y2ptFA作l的垂線，垂足為.設(shè)〔7,0〕，AF與相交于點(diǎn).假設(shè)||=2||，且的面積為BC2pBCECFAF△ACE2，那么p的值為_________.【答案】6【解析】試題解析：拋物線的普通方程為y22px，F(xiàn)(p,0)，CF7pp3p，又222CF2AF，那么AF3p，由拋物線的定義得AB3p，所以xAp，那么|yA|2p，由22EFCFEFCF2，所以SCEF2SCEA62，CF//AB得AB，即AFEAEASACFSAECSCFE13p2p92，p6．92，所以2考點(diǎn)：拋物線定義【名師點(diǎn)睛】1.凡涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離時，一般運(yùn)用定義轉(zhuǎn)變?yōu)榈綔?zhǔn)線距離辦理．第8頁〔共37頁〕2．假設(shè)(0，0)為拋物線y2＝2(＞0)上一點(diǎn)，由定義易得||＝0＋p；假設(shè)過焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)坐PxypxpPFx2AB標(biāo)為(1，1)，(2，2)，那么弦長為||＝1＋2＋，1＋2可由根與系數(shù)的關(guān)系整體求出；假設(shè)遇到AxyBxyABxxpxx其他標(biāo)準(zhǔn)方程，那么焦半徑或焦點(diǎn)弦長公式可由數(shù)形結(jié)合的方法近似地獲得．7.〔2021浙江理〕假設(shè)拋物線y2=4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10，那么M到y(tǒng)軸的距離是_______．【答案】9【解析】試題解析：xM110xM9考點(diǎn)：拋物線的定義．【思路點(diǎn)睛】當(dāng)題目中出現(xiàn)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離時，一般會想到轉(zhuǎn)變?yōu)閽佄锞€上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．解答此題時轉(zhuǎn)變?yōu)閽佄锞€上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，進(jìn)而可得點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離．2y2F1，F(xiàn)2．假設(shè)點(diǎn)P在雙曲線上，且△F1PF28．〔2021浙江文〕設(shè)雙曲線x–=1的左、右焦點(diǎn)分別為3為銳角三角形，那么|1|+|2|的取值范圍是_______．PFPF【答案】(27,8)．考點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì).【思路點(diǎn)睛】先由對稱性可設(shè)點(diǎn)在右支上，進(jìn)而可得F1和F2，再由F1F2為銳角三角形可得222F1F2的取值范圍．F1F2FF12，進(jìn)而可得x的不等式，解不等式可得三、解答題x2y21過點(diǎn)A〔2,0〕，B〔0,1〕兩點(diǎn).1.〔2021北京文〕橢圓C：b2a2〔I〕求橢圓C的方程及離心率；〔Ⅱ〕設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形ABNM的面積為定值.x2y23〔Ⅱ〕見解析.【答案】〔Ⅰ〕1；e42第9頁〔共37頁〕所以離心率c3e．a(chǎn)2進(jìn)而四邊形的面積為定值．考點(diǎn)：橢圓方程，直線和橢圓的關(guān)系，運(yùn)算求解能力.第10頁〔共37頁〕【名師點(diǎn)睛】解決定值定點(diǎn)方法一般有兩種：(1)從特殊下手，求出定點(diǎn)、定值、定線，再證明定點(diǎn)、定值、定線與變量無關(guān)；(2)直接計算、推理，并在計算、推理的過程中消去變量，進(jìn)而獲得定點(diǎn)、定值、定線.應(yīng)注意到繁難的代數(shù)運(yùn)算是此類問題的特點(diǎn)，設(shè)而不求方法、整體思想和消元的思想的運(yùn)用可有效地簡化運(yùn)算.2〔.2021全國Ⅰ文〕在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:y=t(t≠0)交y軸于點(diǎn)M,交拋物線C：y22px(p0)于點(diǎn)P,M關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)為N,連結(jié)ON并延長交C于點(diǎn)H.OH；〔I〕求ON〔II〕除H以外,直線MH與C是否有其余公共點(diǎn)？說明原因.【答案】〔I〕2〔II〕沒有【解答】試題解析：先確定N(t2,t),ON的方程為ypx,代入y22px整理得px22t2x0,解pt得x10,x22t2,得H(2t2,2t),由此可得N為OH的中點(diǎn),即|OH|2.〔II〕pp|ON|把直線MH的方程ytpx,與y22px聯(lián)立得y24ty4t20,解得y1y22t,即直線2tMH與C只有一個公共點(diǎn),所以除H以外直線MH與C沒有其余公共點(diǎn).〔Ⅱ〕直線MH與C除H以外沒有其余公共點(diǎn).原因如下：直線MH的方程為ytpx,即x2t(yt).代入y22px得y24ty4t20,解得2tpy1y22t,即直線MH與C只有一個公共點(diǎn),所以除H以外直線MH與C沒有其余公共點(diǎn).考點(diǎn)：直線與拋物線【名師點(diǎn)睛】高考解析幾何解答題大多考察直線與圓錐曲線的地址關(guān)系,直線與圓錐曲線的地址關(guān)系是一個很寬泛的考試內(nèi)容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求參數(shù)取值范圍等幾局部組成；解析幾何中的證明問題平時有以下幾類：證明點(diǎn)共線或直線過定點(diǎn)；證明垂直；證明定值問題.其中考查較多的圓錐曲線是橢圓與拋物線,解決這類問題要重視方程思想、函數(shù)思想及化歸思想的應(yīng)用.第11頁〔共37頁〕x2y2b0〕的離心率為33〔.2021北京理〕橢圓C：2b21〔a，A(a,0)，B(0,b)，O(0,0)，a2OAB的面積為1.1〕求橢圓C的方程；2〕設(shè)P的橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N.求證：ANBM為定值.2【答案】〔1〕xy21；〔2〕詳見解析.4〔2〕由〔Ⅰ〕知，A(2,0),B(0,1)，考點(diǎn)：1.橢圓方程及其性質(zhì)；2.直線與橢圓的地址關(guān)系.第12頁〔共37頁〕【名師點(diǎn)睛】解決定值定點(diǎn)方法一般有兩種：(1)從特殊下手，求出定點(diǎn)、定值、定線，再證明定點(diǎn)、定值、定線與變量無關(guān)；(2)直接計算、推理，并在計算、推理的過程中消去變量，進(jìn)而獲得定點(diǎn)、定值、定線.應(yīng)注意到繁難的代數(shù)運(yùn)算是此類問題的特點(diǎn)，設(shè)而不求方法、整體思想和消元的思想的運(yùn)用可有效地簡化運(yùn)算.4.〔2021江蘇〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l:xy20，拋物線C:y22px(p0)〔1〕假設(shè)直線l過拋物線C的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程；〔2〕拋物線C上存在關(guān)于直線l對稱的相異兩點(diǎn)P和Q.①求證：線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2p,p).；②求p的取值范圍.【答案】〔1〕y28x〔2〕①詳見解析，②(0,4)32〕設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)，線段PQ的中點(diǎn)M(x0,y0)因為點(diǎn)P和Q關(guān)于直線l對稱，所以直線l垂直平分線段PQ,于是直線PQ的斜率為1，那么可設(shè)其方程為yxb.y22px得y22py2pb0(*)①由x消去xyb因為P和Q是拋物線C上的相異兩點(diǎn)，所以y1y2,進(jìn)而(2p)24(2pb)0，化簡得p2b0.方程〔*〕的兩根為y1,2pp22pb，進(jìn)而y0y1y2p.2第13頁〔共37頁〕因為M(x0,y0)在直線l上，所以x02p.因此，線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2p,p).②因為M(2p,p).在直線yxb上所以p(2p)b，即b22p.由①知p2b0，于是p2(22p)04，所以p.34因此p的取值范圍為(0,).3考點(diǎn)：直線與拋物線地址關(guān)系【名師點(diǎn)睛】在利用代數(shù)法解決范圍問題時常從以下五個方面考慮：利用鑒識式來構(gòu)造不等關(guān)系，進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍；利用參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是在兩個參數(shù)之間建立等量關(guān)系；利用隱含或的不等關(guān)系建立不等式，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍；利用根本不等式求出參數(shù)的取值范圍；利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．5.〔2021全國Ⅰ理〕設(shè)圓x2y22x150的圓心為A,直線l過點(diǎn)B〔1,0〕且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.〔I〕證明EAEB為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；〔II〕設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點(diǎn),過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍.【答案】〔Ⅰ〕x2y21〔y0〕〔II〕[12,83)43試題解析：〔Ⅰ〕因為|AD||AC|,EB//AC,故EBDACDADC,所以|EB||ED|,故|EA||EB||EA||ED||AD|.又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y216進(jìn)而|AD|4所以|EA||EB|4.,,由題設(shè)得A(1,0),B(1,0),|AB|2,由橢圓定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為：x2y20〕.41〔y3〔Ⅱ〕當(dāng)l與x軸不垂直時,設(shè)l的方程為yk(x1)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2).第14頁〔共37頁〕yk(x1)由x2y2得(4k23)x28k2x4k2120.431那么x1x28k2,x1x24k2124k2.4k233所以|MN|1k2|x1x2|12(k21).4k23過點(diǎn)B(1,0)且與l垂直的直線m：y1(x1),A到m的距離為2,所以kk21|PQ|242(2)244k23.故四邊形MPNQ的面積k21k211|MN||PQ|1211S4k2.23可適合l與x軸不垂直時,四邊形MPNQ面積的取值范圍為[12,83).當(dāng)l與x軸垂直時,其方程為x1,|MN|3,|PQ|8,四邊形MPNQ的面積為12.綜上,四邊形MPNQ面積的取值范圍為[12,83).考點(diǎn)：圓錐曲線綜合問題【名師點(diǎn)睛】高考解析幾何解答題大多考察直線與圓錐曲線的地址關(guān)系,直線與圓錐曲線的地址關(guān)系是一個很寬泛的考試內(nèi)容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求參數(shù)取值范圍等幾局部組成,.其中考察較多的圓錐曲線是橢圓與拋物線,解決這類問題要重視方程思想、函數(shù)思想及化歸思想的應(yīng)用.6.〔2021全國Ⅱ文〕A是橢圓E：x2y21的左極點(diǎn)，斜率為kk＞0的直線交E與A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，43MANA.〔Ⅰ〕當(dāng)AMAN時，求AMN的面積；〔Ⅱ〕當(dāng)AMAN時，證明：3k2.【答案】〔Ⅰ〕144；〔Ⅱ〕32,2.49試題解析：〔Ⅰ〕設(shè)M(x1,y1)，那么由題意知y10.第15頁〔共37頁〕由及橢圓的對稱性知，直線AM的傾斜角為，4又A(2,0)，因此直線AM的方程為yx2.將xy2代入x2y21得7y212y0，43解得y0或y12，所以y112.77因此AMN的面積SAMN211212144.27749〔2〕將直線AM的方程yk(x2)(k0)代入x2y21得43(34k2)x216k2x16k2120.由x1(2)16k212得x12(34k2)，故|AM|1k2|x12|121k2.34k234k234k2由題設(shè)，直線AN的方程為y1(x2)，故同理可得|AN|12k1k2.k43k2由2|AM||AN|得324k，即4k36k23k80.4k23k2設(shè)f(t)4t36t23t8，那么k是f(t)的零點(diǎn)，f'(t)12t212t33(2t1)20，所以f(t)在(0,)單調(diào)遞增，又f(3)153260,f(2)60，因此f(t)在(0,)有唯一的零點(diǎn)，且零點(diǎn)k在(3,2)內(nèi)，所以3k2.考點(diǎn)：橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的地址關(guān)系.【名師點(diǎn)睛】此題中2k，分別變量3k2k13，解不等式，即求得實(shí)數(shù)3tk23k2tt，得t32kk的取值范圍.7.〔2021全國Ⅱ理〕橢圓E:x2y21的焦點(diǎn)在x軸上，A是E的左極點(diǎn)，斜率為k(k0)t3的直線交E于A,M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MANA．〔Ⅰ〕當(dāng)t4,|AM||AN|時，求AMN的面積；〔Ⅱ〕當(dāng)2AMAN時，求k的取值范圍．【答案】〔Ⅰ〕144；〔Ⅱ〕32,2.49第16頁〔共37頁〕試題解析：〔I〕設(shè)Mx1,y1，那么由題意知y10，當(dāng)tx2y21，A2,0.4時，E的方程為34由及橢圓的對稱性知，直線AM的傾斜角為.因此直線AM的方程為yx2.4將xy2代入x2y21得7y212y0.解得y0或y12，所以y112.4377因此AMN的面積11212144277.2493k2k1等價于k33k2k2k2k21因此t3k3.tk320，2k32即k20.由此得k20k2032k2.k3，或k320，解得k3220因此k的取值范圍是32,2.考點(diǎn)：橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的地址關(guān)系.【名師點(diǎn)睛】由直線(系)和圓錐曲線(系)的地址關(guān)系，求直線或圓錐曲線中某個參數(shù)(系數(shù))的范圍問題，常把所求參數(shù)作為函數(shù)，另一個元作為自變量求解．第17頁〔共37頁〕8〔.2021全國Ⅲ文〕拋物線C：y22x的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點(diǎn)．〔I〕假設(shè)F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明ARFQ；〔II〕假設(shè)PQF的面積是ABF的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】〔Ⅰ〕見解析；〔Ⅱ〕y2x1．試題解析：由題設(shè)F(1,0).設(shè)l1:ya,l2:yb，那么ab0，且2A(a2,0),B(b2,b),P(1,a),Q(1,b),R(1,ab).222222記過A,B兩點(diǎn)的直線為l，那么l的方程為2x(ab)yab0......3分〔Ⅰ〕由于F在線段AB上，故1ab0.記AR的斜率為k1，F(xiàn)Q的斜率為k2，那么k1abab1ab，1a2a2ababk2a所以ARFQ.......5分〔Ⅱ〕設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D(x1,0)，那么SABF1aFD11,SPQFabbbax12.222由題設(shè)可得1bax1122設(shè)知足條件的AB的中點(diǎn)為

ab，所以x10〔舍去〕，x11.2E(x,y).當(dāng)AB與x軸不垂直時，由kABkDE可得2y(x1).abx1而aby，所以y2x1(x1).2當(dāng)AB與x軸垂直時，E與D重合，所以，所求軌跡方程為y2x1.....12分考點(diǎn)：1、拋物線定義與幾何性質(zhì)；2、直線與拋物線地址關(guān)系；3、軌跡求法．【方法歸納】〔1〕解析幾何中平行問題的證明主若是經(jīng)過證明兩條直線的斜率相等或轉(zhuǎn)變?yōu)槔孟蛄孔C明；〔2〕求軌跡的方法在高考中最?？嫉氖侵苯臃ㄅc代入法〔相關(guān)點(diǎn)法〕，利用代入法求解時必須找準(zhǔn)主動點(diǎn)與從動點(diǎn)．第18頁〔共37頁〕9〔.2021全國Ⅲ理〕拋物線Cy22x的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B：兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點(diǎn)．〔I〕假設(shè)F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明ARFQ；〔II〕假設(shè)PQF的面積是ABF的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】〔Ⅰ〕見解析；〔Ⅱ〕y2x1．F(1,0).設(shè)l1:ya,l2:yb，那么ab0，且試題解析：由題設(shè)2a2b2111abA(,0),B(,b),P(,a),Q(,b),R(,2)22222.記過A,B兩點(diǎn)的直線為l，那么l的方程為2x(ab)yab0......3分〔Ⅰ〕由于F在線段AB上，故1ab0.k1abab1abk21a2a2abab記AR的斜率為k1，F(xiàn)Q的斜率為k2，那么a，所以ARFQ.......5分〔Ⅱ〕設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D(x1,0)，SABF1baFD1bax11,SPQFab2那么222.1bax11ab，所以x10〔舍去〕，x11.由題設(shè)可得222設(shè)知足條件的AB的中點(diǎn)為E(x,y).當(dāng)AB與x軸不垂直時，由kAB2y(x1)kDE可得abx1.aby，所以y2而2x1(x1).當(dāng)AB與x軸垂直時，E與D重合，所以，所求軌跡方程為y2x1.....12分考點(diǎn)：1、拋物線定義與幾何性質(zhì)；2、直線與拋物線地址關(guān)系；3、軌跡求法．【方法歸納】〔1〕解析幾何中平行問題的證明主若是經(jīng)過證明兩條直線的斜率相等或轉(zhuǎn)變?yōu)槔孟蛄康?9頁〔共37頁〕證明；〔2〕求軌跡的方法在高考中最?？嫉氖侵苯臃ㄅc代入法〔相關(guān)點(diǎn)法〕，利用代入法求解時必須找準(zhǔn)主動點(diǎn)與從動點(diǎn)．10.〔2021山東文〕橢圓C:〔a>b>0〕的長軸長為4，焦距為2.〔I〕求橢圓C的方程；(Ⅱ)過動點(diǎn)M(0，m)(m>0)的直線交x軸與點(diǎn)N，交C于點(diǎn)A，P(P在第一象限)，且M是線段PN的中點(diǎn).過點(diǎn)P作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)Q，延長線QM交C于點(diǎn)B.設(shè)直線PM、QM的斜率分別為k、k'，證明為定值.求直線AB的斜率的最小值.x2y2見解析；(ii)直線AB的斜率的最小值為6.【答案】(Ⅰ)1.(Ⅱ)(i)422【解析】試題解析：(Ⅰ)分別計算a,b即得.(Ⅱ)(i)設(shè)Px0,y0x00,y00，利用對稱點(diǎn)可得Px0,2m,Qx0,2m.獲得直線PM的斜率，直線QM的斜率，即可證得.(ii)設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，分別將直線PA的方程ykxm，直線QB的方程y3kxm與橢圓方程x2y241聯(lián)立，2應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系獲得x2x1、y2y1及kAB用k表示的式子，進(jìn)一步應(yīng)用根本不等式即得.第20頁〔共37頁〕2mmm所以直線PM的斜率k，x0x02mm3m直線QM的斜率k'.x0x0此時k'3，所以k'為定值3.kk設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，直線PA的方程為ykxm，直線QB的方程為y3kxm.ykxm聯(lián)立x2y2，421整理得2k21x24mkx2m240.222m2由x0x12m4可得x1，2k212k21x0所以y1kx1m2km222k2m，1x0同理x22m22,y26km22m.18k218k21x01x0所以x2x12m222m2232k2m22，18k21x02k21x018k212k21x0y2y16km22m2m22m8k6k21m2218k21x2k21x18k212k2，01x00第21頁〔共37頁〕考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)；2.直線與橢圓的地址關(guān)系；3.根本不等式.【名師點(diǎn)睛】此題對考生計算能力要求較高，是一道難題.解答此類題目，利用a,b,c,e的關(guān)系，確定橢圓〔圓錐曲線〕方程是基礎(chǔ)，經(jīng)過聯(lián)立直線方程與橢圓〔圓錐曲線〕方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，獲得參數(shù)的解析式或方程是重點(diǎn)，易錯點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力缺乏，致使錯漏百出..此題能較好的考察考生的邏輯思維能力、根本計算能力、解析問題解決問題的能力等.11.〔2021山東理〕平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：x2y21a＞b＞0的離心率是3，拋物線E：x2a2b222y的焦點(diǎn)F是C的一個極點(diǎn).〔I〕求橢圓C的方程；〔II〕設(shè)P是E上的動點(diǎn)，且位于第一象限，E在點(diǎn)P處的切線l與C交與不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為D，直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M.〔i〕求證：點(diǎn)M在定直線上;〔ii〕直線l與y軸交于點(diǎn)G，記△PFG的面積為S，△PDM的面積為SS1的最大值及取，求12S2得最大值時點(diǎn)P的坐標(biāo).第22頁〔共37頁〕【答案】〔Ⅰ〕x24y2S1的最大值為9P的坐標(biāo)為21);iii〕，此時點(diǎn)(,424S2【解析】試題解析：〔Ⅰ〕根據(jù)橢圓的離心率和焦點(diǎn)求方程；〔Ⅱ〕〔i〕由點(diǎn)P的坐標(biāo)和斜率設(shè)出直線l的方程和拋物線聯(lián)立，進(jìn)而判斷點(diǎn)M在定直線上；〔ii〕分別列出S1，S2面積的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)求最值和此時點(diǎn)P的坐標(biāo).試題解析：〔Ⅰ〕由題意知a2b23，可得：a2b.a2因為拋物線E的焦點(diǎn)為F(0,1)，所以a1,b1，22所以橢圓C的方程為x24y21.〔Ⅱ〕〔i〕設(shè)P(m,m2)(m0)，由x22y可得y/x，2所以直線l的斜率為m，因此直線l的方程為ym2m(xm)，即ym22mx.2設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0)，聯(lián)立方程ymxm22x24y21得(4m21)x243xm410，m由0，得0m25且x1x24m3，24m1因此x0x1x22m3,24m21將其代入ym2得ym2，mx202(4m21)因為y01，所以直線OD方程為y1x.x04m4m第23頁〔共37頁〕所以S1|GF|m1m(m21)，124S21|PM||mx0|m(2m21)2，28(4m21)所以S12(4m21)(m21)，S2(2m21)2令t2m21，那么S1(2t1)(t1)11，S2t2t22t當(dāng)11，即t2時，S1取得最大值9，此時m2，知足0，t2S242所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1)，因此S1的最大值為9，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1).24S2424考點(diǎn)：1.橢圓、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)；2.直線與圓錐曲線的地址關(guān)系；3.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】此題對考生計算能力要求較高，是一道難題.解答此類題目，利用a,b,c,e的關(guān)系，確定橢圓〔圓錐曲線〕方程是基礎(chǔ)，經(jīng)過聯(lián)立直線方程與橢圓〔圓錐曲線〕方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，獲得“目標(biāo)函數(shù)〞的解析式，應(yīng)用確定函數(shù)最值的方法---如二次函數(shù)的性質(zhì)、根本不等式、導(dǎo)數(shù)等求解.此題易錯點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力缺乏，致使錯漏百出..此題能較好的考察考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、解析問題解決問題的能力等.12.〔2021上海文、理〕有一塊正方形菜地EFGH,EH所在直線是一條小河，收貨的蔬菜可送到F點(diǎn)或河邊運(yùn)走。于是，菜地分為兩個地域S1和S2，其中S1中的蔬菜運(yùn)到河邊較近，S2中的蔬菜運(yùn)到F點(diǎn)較近，而菜地內(nèi)S1和S2的分界線C上的點(diǎn)到河邊與到F點(diǎn)的距離相等，現(xiàn)建立平面直角坐標(biāo)系，其中原點(diǎn)O為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為〔1,0〕，如圖第24頁〔共37頁〕〔1〕求菜地內(nèi)的分界線C的方程〔2〕菜農(nóng)從蔬菜運(yùn)量估計出S1面積是S2面積的兩倍，由此獲得S1面積的“經(jīng)驗值〞為8。設(shè)M是3C上縱坐標(biāo)為1的點(diǎn)，請計算以EH為一邊、另一邊過點(diǎn)M的矩形的面積，及五邊形EOMGH的面積，并判斷哪一個更湊近于S1面積的經(jīng)驗值【答案】〔1〕y24x〔0y2〕．〔2〕五邊形面積更湊近于S面積的“經(jīng)驗值〞．1【解析】試題解析：〔1〕由C上的點(diǎn)到直線與到點(diǎn)F的距離相等，知C是以F為焦點(diǎn)、以為準(zhǔn)線的拋物線在正方形FG內(nèi)的局部．2〕計算矩形面積，五邊形面積．進(jìn)一步計算矩形面積與“經(jīng)驗值〞之差的絕對值，五邊形面積與“經(jīng)驗值〞之差的絕對值，比較二者大小即可．試題解析：〔1〕因為C上的點(diǎn)到直線與到點(diǎn)F的距離相等，所以C是以F為焦點(diǎn)、以為準(zhǔn)線的拋物線在正方形FG內(nèi)的局部，其方程為y24x〔0y2〕．〔2〕依題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為1．,14所求的矩形面積為5，而所求的五邊形面積為11．24矩形面積與“經(jīng)驗值〞之差的絕對值為581，而五邊形面積與“經(jīng)驗值〞之差236的絕對值為1181，所以五邊形面積更湊近于S1面積的“經(jīng)驗值〞．4312考點(diǎn)：1.拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程；2.面積.【名師點(diǎn)睛】此題對考生計算能力要求較高.解答此類題目，往往利用a,b,c,e,p的關(guān)系或曲線的定義，確定圓錐曲線方程是基礎(chǔ)，經(jīng)過聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，獲得“目標(biāo)函數(shù)〞的解析式，應(yīng)用確定函數(shù)最值的方法---如二次函數(shù)的性質(zhì)、根本不等式、導(dǎo)數(shù)等求解.此題“出奇〞之處在于有較濃的“幾何味〞，研究幾何圖形的面積..此題能較好的考察考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、解析問題解決問題的能力、數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識等.13.〔2021上海理〕此題共有2個小題，第1小題總分值6分，第2小題總分值8分.雙曲線x2y21(b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，直線l過F2且與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)。b2第25頁〔共37頁〕〔1〕假設(shè)l的傾斜角為，F(xiàn)1AB是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；2〔2〕設(shè)b3，假設(shè)l的斜率存在，且(F1AF1B)AB0，求l的斜率.【答案】〔1〕y2x．〔2〕15.5【解析】試題解析：〔1〕設(shè)x,y．根據(jù)F1是等邊三角形，獲得41b23b4，解得b2．〔2〕〔2〕設(shè)x1,y1，x2,y2，直線l:ykx2與雙曲線方程聯(lián)立，獲得一元二次方程，根據(jù)l與雙曲線交于兩點(diǎn)，可得k230，且361k20．〔2〕由，F(xiàn)12,0，F(xiàn)22,0．設(shè)x1,y1，x2,y2，直線l:ykx2．顯然k0．x2y21，得k23x24k2x4k230．由3ykx2因為l與雙曲線交于兩點(diǎn)，所以k230，且361k20．設(shè)的中點(diǎn)為x,y．由FF0即F10，知F，故kFk1．1111而xx1x22k2kx26k，kF3k，2k2，y22k23k313所以3kk1，得k23，故l的斜率為15．2k2355考點(diǎn)：1.雙曲線的幾何性質(zhì)；2.直線與雙曲線的地址關(guān)系；3.平面向量的數(shù)量積.第26頁〔共37頁〕【名師點(diǎn)睛】此題對考生計算能力要求較高，是一道難題.解答此類題目，利用a,b,c,e的關(guān)系，確定雙曲線〔圓錐曲線〕方程是基礎(chǔ)，經(jīng)過聯(lián)立直線方程與雙曲線〔圓錐曲線〕方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，獲得“目標(biāo)函數(shù)〞的解析式，應(yīng)用確定函數(shù)最值的方法---如二次函數(shù)的性質(zhì)、根本不等式、導(dǎo)數(shù)等求解.此題易錯點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力缺乏，致使錯漏百出..此題能較好的考察考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、解析問題解決問題的能力等.14.〔2021上海文〕此題共有2個小題，第1小題總分值6分，第2小題總分值8分.雙曲線x2y21(b0)的左、右焦點(diǎn)分別為122A、B兩點(diǎn).b2F、F，直線l過F且與雙曲線交于〔1〕假設(shè)l的傾斜角為2，△F1AB是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；〔2〕設(shè)b3，假設(shè)l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率.【答案】〔1〕y2x．〔2〕15.5【解析】試題解析：〔1〕設(shè)x,y．根據(jù)F1是等邊三角形，獲得41b23b4，解得b2．〔2〕設(shè)x1,y1，x2,y2，直線l:ykx2與雙曲線方程聯(lián)立，獲得一元二次方程，根據(jù)l與雙曲線交于兩點(diǎn)，可得k230，且361k20．由AB4得出k的方程求解．試題解析：〔1〕設(shè)x,y．由題意，F(xiàn)2c,0，c1b2，y2b2c21b4，因為F1是等邊三角形，所以2c3y，即41b23b4，解得b22．故雙曲線的漸近線方程為y2x．〔2〕由，F(xiàn)22,0．設(shè)x1,y1，x2,y2，直線l:ykx2．x2y21，得k23x24k2x4k230．由3ykx2因為l與雙曲線交于兩點(diǎn)，所以k230，且361k20．由x1x24k24k23，得x1236k21k2，x1x2k23x2k22，33第27頁〔共37頁〕221k2x1x26k21故x1x2y1y2k24，3解得k23，故l的斜率為15．55考點(diǎn)：1.雙曲線的幾何性質(zhì)；2.直線與雙曲線的地址關(guān)系；3.弦長公式.【名師點(diǎn)睛】此題對考生計算能力要求較高，是一道難題.解答此類題目，利用a,b,c,e的關(guān)系，確定雙曲線〔圓錐曲線〕方程是基礎(chǔ)，經(jīng)過聯(lián)立直線方程與雙曲線〔圓錐曲線〕方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式，獲得方程.此題易錯點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力缺乏，致使錯漏百出..此題能較好的考察考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、解析問題解決問題的能力等.15、〔2021四川文〕橢圓x2y2E：b21(ab0)的一個焦點(diǎn)與短軸的兩個端點(diǎn)是正三角形a2的三個極點(diǎn)，點(diǎn)P(3,1)在橢圓E上.2(Ⅰ)求橢圓E的方程；1(Ⅱ)設(shè)但是原點(diǎn)O且斜率為2的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：MAMBMCMD．x2y21；〔2〕證明詳見解析.【答案】〔1〕4【解析】試題解析：〔Ⅰ〕由橢圓兩個焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)是正三角形的三個極點(diǎn)可得a2b，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中可減少一個參數(shù)，再利用P(3,1)在橢圓上，可解出b的值，進(jìn)而獲得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔Ⅱ〕1x2首先設(shè)出直線l方程為ym，同時設(shè)交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)，把l方程與橢圓方程聯(lián)立后消21去y得x的二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系，得xx,xx，由2〔用MAMBAB求得14MD，進(jìn)而證得相等．m表示〕，由OM方程yx詳盡地得出C,D坐標(biāo)，也可計算出MC2試題解析：〔I〕由，a=2b.x2y23,1)，故311(ab0)過點(diǎn)P(41，解得b21.又橢圓b2a224b2b2所以橢圓E的方程是x2y21.4第28頁〔共37頁〕所以MCMD5(m2)5(2m)5(2m2).224又MAMB1AB21[(x1x2)2(y1y2)2]5[(x1x2)24x1x2]44165[4m24(2m22)]5(2m2).164所以MAMB=MCMD.考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】此題考察橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，考察學(xué)生的解析問題解決問題的能力和數(shù)形結(jié)合的思想.在涉及到直線與橢圓〔圓錐曲線〕的交點(diǎn)問題時，一般都設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1),(x2,y2)，同時把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后，可得x1x2,x1x2，再把MAMB用x1,x2表示出來，并代入方才的x1x2,x1x2，這種方法是解析幾何中的“設(shè)而不求〞法．可減少計算量，簡化解題過程．x2y216.〔2021四川理〕橢圓E：a2b21(ab0)的兩個焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)是直角三角形的三個極點(diǎn)，直線l:yx3與橢圓E有且只有一個公共點(diǎn).T〔Ⅰ〕求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)；〔Ⅱ〕設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l’平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B，且與直線l交于點(diǎn)P．證2PAPB，并求的值.明：存在常數(shù)，使得PT【答案】〔Ⅰ〕x2y21，點(diǎn)T坐標(biāo)為〔2,1〕；〔Ⅱ〕4.635第29頁〔共37頁〕22試題解析：〔I〕由，a2a2(2c)2，即a2c，所以a2b，那么橢圓E的方程為x2y21.2bbx2y21,得3x212x2b2)0.①由方程組2b2b2(18yx3,方程①的鑒識式為=24(b23)，由=0，得b2=3，此方程①的解為x=2，所以橢圓E的方程為x2y21.63點(diǎn)T坐標(biāo)為〔2,1〕.〔II〕由可設(shè)直線l的方程為y1xm(m0)，2y1xm，x22m，有方程組可得322m.yx3，y13所以P點(diǎn)坐標(biāo)為〔22m,12m〕，PT8m2.2339設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(x1,y1)，B(x2,y2).x2y21，633x24mx(4m212)0.②由方程組可得1xym，2第30頁〔共37頁〕故存在常數(shù)4，使得PT25PAPB.考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】此題考察橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，考察學(xué)生的解析問題解決問題的能力和數(shù)形結(jié)合的思想.在涉及到直線與橢圓〔圓錐曲線〕的交點(diǎn)問題時，一般都設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1),(x2,y2)，同時把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后，可得x1x2,x1x2，再把PAPB用x1,x2表示出來，并代入方才的x1x2,x1x2，這種方法是解析幾何中的“設(shè)而不求〞法．可減少計算量，簡化解題過程．17.〔2021天津文〕設(shè)橢圓x2y21〔a3〕的右焦點(diǎn)為F，右極點(diǎn)為A，a23113e為原點(diǎn)，e為橢圓的離心率.|OF|，其中O|OA||FA|〔Ⅰ〕求橢圓的方程；〔Ⅱ〕設(shè)過點(diǎn)A的直線l與橢圓交于點(diǎn)B〔B不在x軸上〕，垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)H，假設(shè)BFHF，且MOAMAO，求直線的l斜率.x2y26【答案】〔Ⅰ〕1〔Ⅱ〕443【解析】第31頁〔共37頁〕試題解析：〔Ⅰ〕求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只需確定量，由113c，得113c再|(zhì)OF||OA||FA|caa(ac)，利用222可解得22MOAMAOacb3c1，a4|MA||MO|，〔Ⅱ〕先化簡條件：即M再OA中垂線上，xM1，再利用直線與橢圓地址關(guān)系，聯(lián)立方程組求B；利用兩直線方程組求H，最后根據(jù)BFHF，列等量關(guān)系解出直線斜率.試題解析：〔1〕解：設(shè)F(c,0)，由113c，即113c，可得a2c23c2，|OF||OA||FA|caa(ac)又a2c2b23，所以c21，因此a24，所以橢圓的方程為x2y21.43〔2〕設(shè)直線的斜率為k(k0)，那么直線l的方程為yk(x2)，設(shè)B(xB,yB)，由方程組x2y21,消去y，43yk(x2),整理得(4k23)x216k2x16k2120，解得x2或x8k26，4k23由題意得xB8k26，進(jìn)而yB12k，4k234k23由〔1〕知F(1,0)，設(shè)H(0,yH)，有FH(1,yH)，BF(94k2,12k)，4k234k23即(xM2)2yM2xM2yM2，化簡得xM1，即20k12(k解得k6或k6，44

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91，1)6或k6所以直線l的斜率為k.44考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線方程【名師點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的地址關(guān)系的相關(guān)問題，其老例思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，第32頁〔共37頁〕消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題．直線與圓錐曲線地址關(guān)系的判斷、相關(guān)圓錐曲線弦的問題等能很好地滲透對函數(shù)方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的考察，一直是高考考察的重點(diǎn)，特別是焦點(diǎn)弦和中點(diǎn)弦等問題，涉及中點(diǎn)公式、根與系數(shù)的關(guān)系以及設(shè)而不求、整體代入的技巧和方法，也是考察數(shù)學(xué)思想方法的熱點(diǎn)題型．1