機械的調速問題的提出Ｆ３Ｐ３Ｐ２Ｐ１Ｍ１ω１ABCＰ３＝－ｍ３ａ３Ｐ２＝－ｍ２ａ２Ｐ１＝－ｍ１ａ１由能量守恒定律，單位時間內的輸入共等于輸出功M1ω1=P1v1+P2v2+(F3+P3)v3可見：由于P2、P3、v2、v3隨時間周期性變化，原動件上的驅動力矩M１也隨時間變化。在機器的穩(wěn)定運轉階段由于原動件上的驅動力矩M１隨時間變化，而原動機的輸出力矩Ｍ相對穩(wěn)定，當Ｍ＞Ｍ１時，機器的轉速ω>ω１；Ｍ<Ｍ１時，機器的轉速ω<ω１。從而引起機器運轉時的速度波動。機器在穩(wěn)定運轉階段，轉速是呈周期性波動的。機器的運轉階段及其特性機器在運轉分成三個階段，啟動階段、穩(wěn)定運轉階段、停車階段。啟動階段：機械系統(tǒng)的動能增加，轉速ω增大。穩(wěn)定運轉階段：機械系統(tǒng)的輸入功等于消耗功，動能不變，轉速ω呈周期性波動。停車階段：機械系統(tǒng)的動能減小，輸入功等于零，轉速ω逐漸降低直至停止。機械的運動方程對于如圖所示的機構ABCＭ１ω１Ｆ３v3c2ω2c1J１J2m2m3根據(jù)能量守恒定律，在dt時間內所有外力所作的功，等于機械系統(tǒng)內能量的增加，即：dE=dWABCＭ１ω１Ｆ３v3c2ω2c1J１J2m2m3各活動構件的動能為：曲柄（質心在Ｏ點）只有轉動動能：連桿：滑塊：機械系統(tǒng)的總動能為：Ｅ=Ｅ1+Ｅ2+Ｅ3在dt瞬時，總動能的增量為：ABCＭ１ω１Ｆ３v3c2ω2c1J１J2m2m3ABCＭ１ω１Ｆ３v3c2ω2c1J１J2m2m3在dt瞬時，所有外力所作的功為：其中稱為瞬時功率代入dE=dW——微分形式的曲柄滑塊機構的運動方程式推廣到一般情況，如果機構由n個活動構件組成，用Ｅｉ表示第i個構件的動能，則整個機構的總動能為：又如作用在i個構件上的作用力為Ｆｉ，力矩為Ｖｉ，Ｆｉ作用點的速度為Ｖｉ，Ｆｉ與Ｖｉ間的夾角為αi，該構件的角速度為ωi，則其瞬時功率為：表示Ｍｉ與ωｉ轉向相同或相反寫成微分形式的機械運動方程式dE=Ｎdｔ微分形式的機械運動方程式較為復雜，必須經(jīng)過簡化才能解。仍以曲柄滑塊機構為例ABCＭ１ω１Ｆ３v3c2ω2c1J１J2m2m3該機構僅有一個自由度，若已知曲柄１的轉角φ１，經(jīng)運動分析可以得到其他構件的位置。將φ１對時間求導，可以得到ω１，進而求出其他構件的速度和加速度。所以Φ１是一個獨立變量，稱為獨立的廣義坐標。對微分形式的曲柄滑塊機構的運動方程式進行簡化令：因為Ｊｅ的量綱為轉動慣量的量綱mr2(Kg.m2)，故Ｊｅ稱為等效轉動慣量。令：因為Ｍｅ的量綱為力矩的量綱，故Ｍｅ稱為等效力矩。則原方程簡化為：做了以上的簡化后，實際上是把原來曲柄滑塊的研究轉化到了它的原動件曲柄上。這個構件稱為等效構件。這種模型稱為等效動力學模型。若把移動構件滑塊選為等效構件，利用微分形式的曲柄滑塊機械運動方程可以得到1令：mｅ稱為等效質量。令：Ｆｅ稱為等效力。則原方程簡化為：做了以上的簡化后，實際上是把原來曲柄滑塊的研究轉化到了它的滑塊上。Ｆｅv3m3這個構件稱為等效構件。這種模型稱為等效動力學模型。對于有n個活動構件的機構，當取轉動構件為等效構件時，其等效轉動慣量的一般形式為：等效構件的角速度等效力矩的一般形式為：對于有n個活動構件的機構，當取移動構件為等效構件時，其等效質量和等效力的一般形式為：等效構件的速度例題正弦機構如圖所示，已知曲柄長為l1，曲柄繞軸Ａ的轉動慣量為Ｊ１，滑塊２和３的質量分別為m2、m3。設取曲柄為等效構件，求等效轉動慣量Ｊｅ。又如已知作用在滑塊上的阻力Ｆ３＝ＡＶｓ３（Ａ為常數(shù)），試求阻力Ｆ３的等效阻力矩Ｍｒ。解取曲柄為等效構件，則等效轉動慣量Ｊｅ為：φ１１２３ω１Ｆ３ＡＢＣ其中：構件3的位移構件3的速度代入等效轉動慣量的公式中可見等效轉動慣量是φ１的函數(shù)。等效力矩：將Ｆ３＝ＡVs3代入，且Ｆ３為阻力，故等效力矩為等效阻力矩。用Ｍｒ表示。機械運動方程還有其他的表達形式由若已知初始條件t=t0時，φ=φ0，ω=ω0，Je=J0。對上式積分——能量形式的機械運動方程式再對微分形式的機械運動方程式進行變換——力矩形式的機械運動方程式7.３機械的運動方程的求解一、等效力矩和等效轉動慣量為常數(shù)時的求解方法由力矩形式的機械運動方程：Ｊｅ為常數(shù)、Ｍｅ為常數(shù)，則若已知初始條件t=t0時，φ=φ0，ω=ω0，對上式積分例題已知某機械穩(wěn)定運轉時主軸的角速度ωs=100rad/s,機械的等效轉動慣量Ｊｅ＝0.5kgm2。制動器的最大制動力矩Ｍｒ＝20Nm（制動器與主軸相聯(lián)，并取主軸為等效構件）。設要求直動時間不超過３秒，試檢驗該制動器是否能滿足要求。解當機械制動時，驅動力矩Ｍｄ＝０，而制動力矩又作用在等效構件上，所以等效力矩二、等效轉動慣量為常數(shù)、等效力矩是速度的函數(shù)時的求解方法由力矩形式的機械運動方程：可得積分由方程中解出角速度ω例題設有一由電動機驅動的機械系統(tǒng)，以主軸為等效構件時，作用于其上的等效驅動力矩Ｍｄ＝Ａ－Ｂω=10000-200ωＮｍ，等效阻力矩Mr=8000Nm，等效轉動慣量Ｊｅ＝８kgm2。主軸的初始角速度ω0=100rad/s。試確定運轉過程中角速度ω與角加速度ε隨時間的變化關系。該題目屬于等效轉動慣量為常數(shù)，等效力矩為速度函數(shù)的情況。解由力矩形式的機械運動方程：等于零等效力矩帶入積分方程中三、等效轉動慣量和等效力矩為位置的函數(shù)時的求解方法利用積分形式的機械運動方程可以得出若Ｍｅ是可積分的函數(shù)，由上式可以得出ω，進而求出ε和φ。機器的穩(wěn)定運轉機器條件機器的穩(wěn)定運轉機器在等速穩(wěn)定運轉時，ω=常數(shù)，選主軸為等效構件，則由力矩式運動方程周期性穩(wěn)定運轉一、機器的等速穩(wěn)定運轉等速穩(wěn)定運轉等于零所以機器在等速穩(wěn)定運轉時，作用在其上的所有外力應該平衡，即因為ω≠０，故Ｊｅ＝常數(shù)由等效轉動慣量的計算公式＝常數(shù)等于常數(shù)等于常數(shù)由此可見，對于僅含有轉動副的定傳動比機構，定能等速轉動。機器實現(xiàn)等速運轉的條件是：１）組成機器的全部機構為定傳動比機構。即Ｊe＝常數(shù)２）在任何時刻，等效驅動力矩等于等效阻力矩。在任意時間間隔內的輸入功等于輸出功。二、機器的周期性穩(wěn)定運轉當機械系統(tǒng)的驅動力矩與阻抗力矩作周期性變化時（如含有連桿機構、凸輪機構等），則其等效驅動力矩Md和等效阻力矩Mr必然是等效構件轉角φ的周期函數(shù)。設某機械系統(tǒng)在穩(wěn)定運轉過程中，在回轉角φ的一個周期中，等效驅動力矩Ｍｄ與等效阻抗力矩Ｍｒ的變化曲線如圖所示φＴaφa'在轉角的任意位置φ，等效驅動力矩Ｍｄ所作的功為：為從a——φ，Ｍｄ曲線下的面積ＭｄφＭφＴaφＭｄφＭＭr在轉角的任意位置φ，等效阻力矩Ｍr所消耗的功為：為從a——φ，Ｍr曲線下的面積根據(jù)能量守恒原理，在同一位置機械動能的增量為φＴaφＭｄφＭＭr由圖可見：系統(tǒng)動能的變化ΔＥ為Ｍｄ與Ｍｒ兩線之間的面積的代數(shù)和。在一個周期φＴ里所以ΔＥ為Ｍｄ與Ｍｒ兩線之間所夾面積的代數(shù)和。贏功贏功Ａ１Ａ３Ａ５Ａ７Ａ２Ａ４Ａ６贏功虧功虧功虧功虧功所以ΔＥ又為贏虧功的代數(shù)和。a'當φ=φ’時，φ角轉過一個周期，如果在一個周期中，Ｍｄ與Ｍｒ所作的功相等，則：要使ωa’=ωa，即使ω經(jīng)過一個周期變化又等于其原來的值。則：Ｊea’=Jea。即：等效轉動慣量必須與Ｍｄ和Ｍｒ具有相同的變化周期。如果二者變化周期不相同，則只有在它們的公共周期里，才能實現(xiàn)轉速的周期性變化。此時等效構件的角速度在穩(wěn)定運轉中呈現(xiàn)周期性的波動，這樣的運轉過程稱為周期性穩(wěn)定運轉。機器周期性速度波動的調節(jié)一、飛輪的調速作用對于做周期性變速穩(wěn)定運轉的機器，其速度波動的大小通常用速度不均勻系數(shù)δ表示。φωφTωmaxωmin其平均角速度ωm為ωm在工程實際中ωm常用其算術平均值近似表示或者將機器名牌上的額定轉速簡單地選為平均轉速。機器的運轉不均勻系數(shù)：設計時要求：從表中可以看出，速度越高的機器，許用的[δ]越小。由可以推出：ωmax與ωmin可用功的變化求出。假設等效轉動慣量為常數(shù)，即忽略其變量部分，則ΔＷΔＥω當ΔＷ=Δｗmax時，ω=ωmax。φＴaφＭｄφＭＭrＡ１Ａ３Ａ５Ａ７Ａ２Ａ４Ａ６a'００aa'ΔＷ＝－Ａ１ΔＷ＝－Ａ１＋Ａ２ΔＷ＝－Ａ１＋Ａ２－Ａ３ΔＷ＝－Ａ１＋Ａ２－Ａ３+A4ΔＷ＝－Ａ１＋Ａ２－Ａ３＋Ａ４－Ａ５ΔＷ＝－Ａ１＋Ａ２－Ａ３＋Ａ４－Ａ５＋Ａ６ΔＷ＝－Ａ１＋Ａ２－Ａ３＋Ａ４－Ａ５＋Ａ６－Ａ７＝０ΔＷmaxΔＷmin由圖可見，ΔＷ最大時，也就是贏虧功的代數(shù)和為最大時。同理：ΔＷΔＥω當ΔＷ最小時，也就是贏虧功的代數(shù)和為最小時。令則[Ｗ]稱為最大贏虧功。由可得所以可見：Ｊｅδ為了使速度不均勻系數(shù)降到小于[δ]，可以在等效構件（通常選機器的主軸）上再加上一個具有足夠大轉動慣量JF的飛輪，則此時導出飛輪轉動慣量的計算公式：如果:Ｊｅ＜＜ＪＦ，Ｊｅ可以忽略不計，則：如果ωm用額定轉速n(r/min)代替，則可見：nJF因此，為了減少飛輪的轉動慣量，最好將飛輪安裝在高速軸上。例題解設已知一機械所受等效阻力矩Ｍｒ的變化規(guī)律如圖所示，，等效轉動慣量為常數(shù)，機械主軸（選為等效構件）轉速為1000r/min，試求當運轉不均勻系數(shù)δ不超過0.05時，所需飛輪的轉動慣量ＪＦ（飛輪安裝在主軸上