第九章

服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃第11章排隊論29.1

基本概念

一。現(xiàn)實生活中的排隊現(xiàn)象

排隊、顧客、服務(wù)臺

服務(wù)系統(tǒng)、排隊系統(tǒng)

到達時刻、

等待時間、排隊系統(tǒng)顧客源等待隊列(輸入)服務(wù)臺(輸出)離去到達到達開始服務(wù)離去離去時刻等待時間服務(wù)時間逗留時間t服務(wù)時間、逗留時間表9-1現(xiàn)實中的各種服務(wù)系統(tǒng)顧客服務(wù)內(nèi)容服務(wù)臺考生報名登記招考登記員病人診斷病情醫(yī)生電話呼叫通話交換臺駛?cè)敫劭诘呢洿b（卸）貨裝（卸）貨碼頭（泊位）文件稿打字打字員提貨單提取存貨倉庫管理員不能運轉(zhuǎn)的機器修理修理技工上游河水進入水庫放水，調(diào)整水位水閘管理員進入我方陣地的敵機我方高射炮進行射擊我方高射炮第11章排隊論49.1

基本概念二、

排隊系統(tǒng)的三個基本特征

(1)

輸入過程：指顧客按怎樣的規(guī)律到達，顧客源情況如何；

(2)

排隊規(guī)則：指顧客在排隊系統(tǒng)中按怎樣的規(guī)則與次序接受服務(wù)；

(3)

服務(wù)機構(gòu)：指同一時刻服務(wù)臺能容納多少顧客以及為任一顧客服務(wù)的時間服從什么規(guī)律。1.輸入過程

⑴顧客的總體（顧客源）的組成可能是有限的，也可能是無限的。

⑵顧客到來的方式可能是一個一個的，也可能是成批的。⑶顧客相繼到達的間隔時間可以是確定型的，也可以是隨機型的。

⑷顧客的到達可以是相互獨立的,否則就是有關(guān)聯(lián)的

⑸輸入過程可以是平穩(wěn)的，或稱對時間是齊次的，是指描述相繼到達的間隔時間分布和所含參數(shù)（如期望值、方差等）都是與時間無關(guān)的，否則稱為非平穩(wěn)的。第11章排隊論69.1

基本概念

(1)定長輸入：顧客嚴(yán)格按照固定的間隔時間相繼到達。(2)泊松輸入：顧客到達過程為泊松流。(3)愛爾朗輸入：相繼到達間隔時間相互獨立且具有相同參數(shù)的愛爾朗分布。(4)一般獨立輸入：相繼到達間隔時間相互

獨立且同分布。幾種常見的輸入過程第11章排隊論79.1

基本概念

先到先服務(wù)：

后到先服務(wù)：

隨機服務(wù)：

有優(yōu)先權(quán)服務(wù)：二、排隊規(guī)則(1)

即時制(損失制)

(2)

等待制

系統(tǒng)容量有限：

等待時間有限：

逗留時間有限：(3)

混合制最普通手槍射擊車船卸貨停車場電話呼叫生產(chǎn)線上產(chǎn)品抽樣檢驗加急電報特診患者某些診室每天掛號有限商店食品藥房藥品出爐鐵水來犯敵機第11章排隊論89.1

基本概念

121s?

(a)單隊—單臺系統(tǒng)(b)單隊—多臺（并聯(lián)）系統(tǒng)(c)單隊—多臺（串聯(lián)）系統(tǒng)3.服務(wù)機構(gòu)常見的幾種排隊系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示1s…第11章排隊論99.1

基本概念

12s(d)多隊—多臺（并聯(lián)）系統(tǒng)(e)多隊—多臺（混聯(lián)、網(wǎng)絡(luò)）系統(tǒng)第11章排隊論109.1

基本概念

幾種常見的隨機服務(wù)過程(1)

定長服務(wù)：為各顧客服務(wù)的時間是相同常數(shù)(2)

指數(shù)服務(wù)：為各顧客服務(wù)的時間相互獨立且具有相同參數(shù)的指數(shù)分布。(3)

愛爾朗服務(wù)：各顧客服務(wù)時間相互獨立且具有相同參數(shù)的愛爾朗分布。(4)

一般獨立服務(wù)：各顧客服務(wù)時間相互獨立且同分布。第11章排隊論119.1

基本概念三、

排隊論的問題及分類1、排隊論的問題

(1)

性態(tài)問題：

(2)

統(tǒng)計問題：

(3)

優(yōu)化問題：2、排隊系統(tǒng)的分類將Kendall符號擴充為以下標(biāo)準(zhǔn)形式：X/Y/Z/A/B/C或者[X/Y/Z]:[A/B/C]例如：M/M/s/r/∞M/Ek/1/∞穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)統(tǒng)計分析優(yōu)化設(shè)計優(yōu)化運營第11章排隊論1211.1

基本概念

L——平均隊長

任意時刻系統(tǒng)內(nèi)顧客數(shù)的期望值

Lq——平均等待隊長任意時刻系統(tǒng)內(nèi)等待服務(wù)的顧客數(shù)的期望值

W——平均逗留時間任一顧客逗留時間的期望值

Wq——平均等待時間任一顧客等待時間的期望值(1)

四項主要性能指標(biāo)四、排隊問題的求解第11章排隊論1311.1

基本概念(2)

其他常用數(shù)量指標(biāo)

s

——

系統(tǒng)中并聯(lián)服務(wù)臺的數(shù)目

λ——平均到達率單位時間內(nèi)到達系統(tǒng)的顧客平均數(shù)

——平均到達間隔

μ——平均服務(wù)率單位時間內(nèi)服務(wù)完畢的顧客平均數(shù)

——平均服務(wù)時間

ρ

——服務(wù)強度每個服務(wù)臺單位時間內(nèi)的平均服務(wù)時間1μ1λ第11章排隊論14

N——穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任意時刻的狀態(tài)(顧客總數(shù))

U——任意顧客在穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中的逗留時間

Q——任意顧客在穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中的等待時間

Pn=P{N=n}:

穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任意時刻狀態(tài)為n的概率；特別當(dāng)n=0時，即為P0，而P0即穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)所有服務(wù)臺全部空閑的概率。

λe——

有效平均到達率單位時間內(nèi)到達并且進入系統(tǒng)的顧客平均數(shù)；

對于等待制的排隊系統(tǒng)，有λe

=λ。

第11章排隊論15穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)：假定λ為常數(shù)，則有李特爾公式：假定μ為常數(shù)，則有(11-1a)(11-1b)(11-1c)(11-1d)(11-2)(11-3)L=

WλeLq=

Wqλe1μW=Wq+L=Lq+λeμ還有L=nPnn=0

∞Lq=(n-s)Pn=nPs+mn=s∞n=0∞第11章排隊論169.2

排隊系統(tǒng)的常用分布

一、泊松過程

設(shè)以X(t)表示在[0,t]時段內(nèi)到達排隊系統(tǒng)的顧客數(shù),則對于每個給定的時刻t,X(t)都是一個隨機變量,而{X(t)|t∈[0,∞)}就是一個隨機過程。

(1)

無后效性

對任意時刻∈(0,∞)，在時段[,

+t]內(nèi)到達的顧客數(shù)，與時刻以前到達的顧客數(shù)無關(guān)，即時刻以前到達的顧客數(shù)不影響其后到達的顧客數(shù)。這意味著：在不相交的各時段內(nèi)到達的顧客數(shù)相互獨立。

第11章排隊論17(2)平穩(wěn)性

在長度為t的時段內(nèi)恰好到達k個顧客的概率，僅跟長度t有關(guān)，而跟這段的起始時刻無關(guān)。即對任意時刻∈(0,∞)

，在(,

+t]或(0,t]內(nèi)恰好到達k個顧客的概率相等：

P{X(

+t)-X(t)=k}=

P{X(

t)-X(0)=k}=P{X(

t)=k}Δ=gk(t)(3)普通性：在充分小的時段內(nèi)最多到達一個顧客。第11章排隊論18

泊松過程具有無后效性，因而是一種特殊的馬爾科夫過程。泊松過程又稱泊松流，在排隊論中常稱為最簡單流。

性質(zhì)1

設(shè){X(t)|t∈[0，∞)}為泊松過程，λ>0為平均到達率，則X(t)服從參數(shù)為λ的泊松分布，即有E[X(t)]

=

tλ=

E[X(t)]/tλ按概率論，有則有(t)kn!Pn(t)=

e-λt

k=0,1,2,…λ(11-4)第11章排隊論19

性質(zhì)2

顧客到達過程{X(t)}是一個具有參數(shù)λ的泊松流的充要條件是：相繼到達間隔{Tk}是一族相互獨立的隨機變量，且每個隨機變量Tk都具有下述指數(shù)分布函數(shù)：FTk(t)=1-e-λt,t≥00

,t<0E(Tk)=1λ按概率論，有(11-5)(11-6)k=1,2,…隨機變量T的概率密度為數(shù)學(xué)期望

方差

標(biāo)準(zhǔn)差

第11章排隊論21

二、指數(shù)服務(wù)分布

設(shè)以隨機變量Vi表示為第i個顧客服務(wù)的時間，則{Vi}也是一組隨機變量。若各Vi相互獨立且具有相同參數(shù)μ>0的密度函數(shù)：

則稱Vi服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布,有

FVi

(t)

=1-e-μt

，t≥0

0，

t<0E(Vi)=1μD(Vi)=1μ2fVi

(t)

=μe-μt

，t≥00，

t<0i=1,2,…(11-7)(11-8)(11-9)第11章排隊論22

性質(zhì)1

設(shè)任一顧客的服務(wù)時間V服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布，則對任意s>0與t≥0都有

P{T

≥s+t|T≥s}=

P{T≥t}

性質(zhì)2

密度函數(shù)fT(t)對時間t嚴(yán)格遞減

第11章排隊論23三、愛爾朗分布若隨機變量V具有下述密度函數(shù):fk(t)=(kμ)ktk-1(k-1)!e-kμt0t≥0t<0

則稱V服從參數(shù)為μ的k階愛爾朗分布,有E(V)=1μD(V)=1μ2k(11-11)k=1,2,…k=1,2,…

(11-12)第11章排隊論24

性質(zhì)1

(1)

當(dāng)k=1時，愛爾朗分布就成為指數(shù)分布；

(2)

當(dāng)k變大時，方差D(V)=1/kμ2變小，V的取值密集于均值1/μ附近，愛爾朗分布就近似于正態(tài)分布；

性質(zhì)2

設(shè)隨機變量V1,V2,…,Vk相互獨立且服從具有相同參數(shù)kμ的指數(shù)分布。設(shè)愛爾朗分布就轉(zhuǎn)化為定長分布。(3)當(dāng)k→∞時，D(V)

→

0,V趨近于常數(shù)1/μ,則V?Ek(μ)。

i=1kV=V1+V2+…+Vk=∑Vi25例.到達只有一臺加油設(shè)備的加油站的汽車為泊松流，平均到達率為60臺/小時，由于加油站面積小比較擁擠，到達的汽車中平均每4臺中有1臺不進入站內(nèi)而離去。這種情況下排隊等待加油的汽車的隊列（不計正在加油的）為3.5臺，求進入該加油站汽車等待加油的平均時間。Lq=

Wqλe根據(jù)，可得3.5/45=0.077h=4.62min26練習(xí):一個有兩名服務(wù)員的排隊系統(tǒng)，該系統(tǒng)最多容納4名顧客。當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時，系統(tǒng)中恰好有n名顧客的概率為，p0=1/16,p1=4/16,p2=6/16,p3=4/16,p4=1/16。試求（1）系統(tǒng)中的顧客平均數(shù)Ls(2)系統(tǒng)中平均排隊的顧客數(shù)Lq（3）某一時刻正在被服務(wù)的顧客的平均數(shù)（4）若顧客的平均到達率為2人/h，求顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間Ws（5）若兩名服務(wù)員具有相同的服務(wù)效率，利用（4）的結(jié)果求服務(wù)員服務(wù)一名顧客的平均時間。27練習(xí):顧客按泊松流到達某餐廳,平均每小時20人,該餐廳每天11點開始營業(yè),試求(1)上午11:07餐廳內(nèi)有18人,到11:12餐廳內(nèi)有20名顧客的概率.假設(shè)就餐的顧客尚未就餐完畢離去。(2)若前一名顧客于上午11:25到達,則下一名于上午11:28至11:30之間到達的概率.28練習(xí):一個有兩名服務(wù)員的排隊系統(tǒng)，各自獨立為顧客服務(wù)，服務(wù)時間均為平均值為5分鐘的指數(shù)分布。設(shè)顧客甲到達時兩名服務(wù)員均空閑，5分鐘后顧客乙到達，這時甲未服務(wù)完，再過10分鐘后第三名顧客丙到達，這時甲與乙都未服務(wù)完畢。試回答下列情況的概率。（1）甲在乙之前結(jié)束服務(wù)（2）丙在甲之前結(jié)束服務(wù)（3）丙在乙之前結(jié)束服務(wù)29練習(xí):一個顧客來到有2名并聯(lián)服務(wù)員的排隊系統(tǒng)，服務(wù)員的服務(wù)時間均為平均值為10分鐘指數(shù)分布，分別求下列情況的概率。（1）到達時兩名服務(wù)員均忙碌，則該顧客需要等待時間t1的概率分布f(t1)（2)若該顧客已經(jīng)等了5分鐘，則需等待時間為t2的期望值。（3）若該顧客到達時前面已經(jīng)有2人在等待，則輪到他被服務(wù)時所需時間t3的期望值及標(biāo)準(zhǔn)差。生滅過程

生：一個新顧客的到達滅：一個服務(wù)完畢顧客的離去假定：顧客到達是泊松流，服務(wù)時間服從負(fù)指數(shù)分布。圓圈中的數(shù)字表示系統(tǒng)的狀態(tài)（顧客數(shù)），箭頭表示從一個狀態(tài)到另一個狀態(tài)的轉(zhuǎn)移。當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時，對于每個狀態(tài)來說，轉(zhuǎn)入率應(yīng)該等于轉(zhuǎn)出率。07/12--31--狀態(tài)轉(zhuǎn)入率等于轉(zhuǎn)出率012.N-1Nu1p1=λ0p0λ0p0+u2p2=(λ1+u1)p1λ1p1+u3p3=(λ2+u2)p2λn-2pn-2+unpn=(λn-1+un-1)pn-1λn-1pn-1+un+1pn+1=(λn+un)pn

令(n=1,2…..)(n=1,2…..)例:一個具有4個狀態(tài)的生滅過程的有關(guān)數(shù)據(jù)如表所示,求處于穩(wěn)態(tài)時各狀態(tài)的概率.n01234λn23210un0341234練習(xí):汽車按泊松分布到達只有一套加油設(shè)備的加油站，平均15輛/小時，當(dāng)加油站已有n臺汽車在加油或者等待加油時，新到達汽車將按n/3的概率離去，又每輛車加油時間為平均4分鐘的負(fù)指數(shù)分布，試（1）畫出上述排隊系統(tǒng)的生滅過程發(fā)生率圖（2）求處于穩(wěn)態(tài)時系統(tǒng)處于各狀態(tài)的概率。練:某小型超市有一個收款臺.交款顧客按每小時30人的泊松流到達.當(dāng)收款臺前只有一名顧客時,由一名收款員單獨服務(wù).收款時間服從平均為15分鐘的負(fù)指數(shù)分布.當(dāng)有兩名或以上顧客時,將增加一名助手用于共同為顧客服務(wù).收款時間縮至平均為1分鐘的負(fù)指數(shù)分布.要求:(1)畫出上述排隊系統(tǒng)的生滅過程發(fā)生率圖(2)求收款臺前有n名顧客的概率.第三節(jié)單服務(wù)臺排隊模型一、標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型

設(shè)平均到達率為λ，平均服務(wù)率為u。并設(shè)λ＜u（否則隊列將排至無限遠(yuǎn)而使系統(tǒng)不能達到穩(wěn)態(tài)）。

設(shè)(否則隊列將排至無限長)，由概率的性質(zhì)可知,將Pn的關(guān)系代入，得因此，系統(tǒng)狀態(tài)為n的概率：由（9-20）式，

=1-P0，它描述了服務(wù)機構(gòu)的繁忙程度；所以又稱服務(wù)機構(gòu)的利用率。第三節(jié)

單服務(wù)臺模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃以（9-20）式為基礎(chǔ)，可以算出系統(tǒng)的各個運行指標(biāo)。⑴在系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)（隊長期望值）(2)在隊列中等待的平均顧客數(shù)（隊列長期望值）第三節(jié)

單服務(wù)臺模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃或者關(guān)于顧客在系統(tǒng)中逗留的時間W(隨機變量)，在M/M/1情形下，它服從參數(shù)為-

的負(fù)指數(shù)分布，即分布函數(shù)

概率密度⑶在系統(tǒng)中顧客逗留的時間的期望值⑷在隊列中顧客等待時間的期望值第三節(jié)

單服務(wù)臺模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃以上公式總結(jié)：第三節(jié)

單服務(wù)臺模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃它們之間的關(guān)系如下：稱為Little(李特爾)公式例9-1在集裝箱堆場中的作業(yè)集裝箱泊位遵從先到先服務(wù)，車輛經(jīng)過作業(yè)泊位服從負(fù)指數(shù)分布，每輛車平均需要15分。車輛進入車道服從泊松分布，平均每小時3輛。解：對此隊列分析如下：模型為M/M/1//.(1)先確定參數(shù)值：由題意知，這是單服務(wù)臺模型系統(tǒng)，有=3(輛/小時)=60/15=4(輛/小時)

故服務(wù)強度為=/=3/4=0.75(2)

計算穩(wěn)態(tài)概率

p0=1-=1-0.75=0.25;pn=np0其中，p0是車道空閑的概率，也是車輛不必等待立即就能進入車道的概率。而車輛需要等待的概率，也是車道繁忙的概率為p(n>0)=1-p0==1-0.25=0.75第三節(jié)

單服務(wù)臺模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃⑶計算系統(tǒng)的主要工作指標(biāo)：此模型的平均有效到達率，即是到達率第三節(jié)

單服務(wù)臺模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃⑷為使車輛平均逗留時間不超過半小時，車輛經(jīng)過車道的平均時間應(yīng)減少到多少？由于將=3代入上式解得：≥5車輛經(jīng)過車道的平均時間為即車輛經(jīng)過車道的平均時間至少應(yīng)減少3分。第三節(jié)

單服務(wù)臺模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃練：汽車按泊松流到達某高速公路收費口，平均每小時90輛。每輛車通過收費口的時間服從均值35秒的負(fù)指數(shù)分布。

（1）在收費口有多于2輛車排隊等待的概率是多少？

（2）因司機們抱怨等待時間太長，管理部門擬采用自動收款裝置使平均收費時間縮短到30秒，但條件是原收費口平均等待車輛超過6輛，且新裝置的利用率不低于75％時才采用，問新裝置能否被采用？

解：這是M/M/1排隊模型。

（1）λ=90（輛/小時），原收費口平均服務(wù)u=3600/35（輛/小時），ρ=λ/u=0.875<1。

在原收費口有多于2輛車排隊等待的概率就是系統(tǒng)中有多于3輛車的概率，即等于

1-P0-P1-P2-P3=ρ4=（0.875）4=0.5862

（2）原收費口平均等待車輛數(shù)為

Lq=ρ2/（1-ρ）=（0.875）2/（1-0.875）=6.125

采用新裝置后的平均服務(wù)u'=3600/30=120（輛/小時），相應(yīng)的利用率ρ'=λ/u'=90/120=0.75.因此新裝置能被采用。

練：某場籃球比賽前來到體育館某售票口買票的觀眾按泊松分布到達，平均60人/h，設(shè)該售票口售票速度服從指數(shù)分布，平均售一張票時間為20秒，試回答：（1）如有一個球迷于比賽前2分鐘到達，并設(shè)買到票后需要1.5min后才能找到座位坐下，求該球迷在比賽開始前找到座位坐下的概率。（2）如該球迷希望99%的把握在比賽開始前找到座位坐下，則他至少應(yīng)提前多少分鐘到達售票口。

二、系統(tǒng)的容量有限的情況（M/M/1/N/）若系統(tǒng)的最大容量為N，對于單服務(wù)臺的情形，排隊等待的顧客最多為N-1，在某時刻一顧客到達時，如果系統(tǒng)中已有N個顧客，那么這個顧客就被拒絕進入系統(tǒng)（如圖9-4）。第三節(jié)

單服務(wù)臺模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃圖9-4有容量限制的情形當(dāng)N=1時，為即時制的情形；當(dāng)N→

，為容量無限制的情形。若只考慮穩(wěn)態(tài)的情形，各狀態(tài)間概率強度的轉(zhuǎn)換關(guān)系如圖9-5。第三節(jié)

單服務(wù)臺模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃圖9-5狀態(tài)間概率強度的轉(zhuǎn)換關(guān)系根據(jù)圖9-5列出狀態(tài)概率的穩(wěn)態(tài)方程：解此方程與解（9-18）與（9-19）是相似的，不同的是令，得第三節(jié)

單服務(wù)臺模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃對于的取值略去=1

情形的討論。當(dāng)容量沒有限制時，設(shè)

<1，這既是實際問題的需要，也是無窮級數(shù)收斂所必需的。當(dāng)系統(tǒng)容量為有限數(shù)N時，此條件就是多余的。第三節(jié)

單服務(wù)臺模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃關(guān)于有效到達率e當(dāng)研究顧客在系統(tǒng)平均逗留時間Ws和隊列中平均等待時間Wq時，盡管（9-22）式仍可利用，但要注意平均到達率是在系統(tǒng)中有空時的平均到達率，當(dāng)系統(tǒng)已滿(n=N)時，則到達率為0，因此需要求出有效到達率e=

(1-PN)可驗證：,即λe=μ(1-P0)第三節(jié)

單服務(wù)臺模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃根據(jù)（9-25）可以得出以下指標(biāo)：(1)隊長（期望值）(2)隊列長（期望值）(3)顧客逗留時間（期望值）

(4)顧客等待時間（期望值）第三節(jié)：單服務(wù)臺模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃此模型系統(tǒng)的性能指標(biāo)（當(dāng)1

時）第三節(jié)

單服務(wù)臺模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃例9-2集裝箱堆場的某作業(yè)集裝箱泊位共7個。當(dāng)7個處理臺都滿時，后來到的集裝箱不進入該作業(yè)線。集裝箱的平均到達率為3個/分鐘，處理一個集裝箱平均需要15分。解：則N=7為系統(tǒng)中最大的顧客數(shù)，=3個/小時，=4個/小時。(1)由題意知，模型為（M/M/1/N/）先確定參數(shù)：由題意知，服務(wù)強度=/=3/4=0.75(2)求某集裝箱一到達就能進行作業(yè)的概率。這種情形相當(dāng)于作業(yè)線內(nèi)沒有集裝箱，所求概率第三節(jié)

單服務(wù)臺模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃(3)求作業(yè)線上集裝箱的期望值；需要等待的集裝箱的期望值(4)求有效到達率λe

λe=μ(1-P0)=4*(1-0.2778)=2.89(個?小時)(5)求一集裝箱在作業(yè)線內(nèi)逗留的期望時間；等待時間(6)在可能到來的集裝箱進入其它作業(yè)線的概率(Pn≥7)。這就是求作業(yè)線內(nèi)有7個集裝箱的概率第三節(jié)

單服務(wù)臺模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃練：一個有一套洗車設(shè)備的洗車店，要求洗車的車輛平均每4分鐘到達一輛，洗每輛車平均需要3分鐘，以上均服從指數(shù)分布。該店現(xiàn)有兩個車位，當(dāng)?shù)陜?nèi)無車時，到達車輛全部進入，當(dāng)有一輛車時，只有80%進入，當(dāng)有兩輛車時，新到達車輛因無空位而全部離去。試問：

（1）對此排隊系統(tǒng)畫出生滅過程發(fā)生率圖。

（2）求洗車設(shè)備平均利用率，及一輛進入該店的車輛在店內(nèi)的平均逗留時間。

（3）為減少顧客流失，店里擬擴大租用第3個車位，這樣當(dāng)?shù)陜?nèi)已有2輛車時，到達車輛有60%進入，有3輛車時，新到達車輛仍全部離去。經(jīng)計算當(dāng)租用第3車位時，該洗車店內(nèi)有n輛車的概率如下P0=0.416,P1=0.312,P2=0.187,P3=0.085如果該車店每天營業(yè)12小時，新車位租金每天100元，洗一輛車的凈利潤5元，問第3個車位是否值得租用。

三、顧客源有限的情形(M/M/1//m)該模型中，設(shè)顧客總數(shù)為m，當(dāng)顧客需要服務(wù)時，就進入隊列等待；服務(wù)完畢后，重新回到顧客源。如此循環(huán)往復(fù)。模型符號的第4項為，表示系統(tǒng)的容量沒有限制，但實際上它決不會超過m，所以跟寫成(M/M/1/m/m)的意義相同。典型的有限顧客源問題是機器維修問題。有m臺機器在運轉(zhuǎn)，單位時間內(nèi)平均出現(xiàn)故障的機器數(shù)即為顧客平均到達率，修理工修理一臺設(shè)備的平均時間即為平均服務(wù)時間，已修復(fù)的機器仍可能再出現(xiàn)故障（如圖9-6）。第三節(jié)

單服務(wù)臺模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃圖9-6有限顧客源問題關(guān)于平均到達率在無限源的情形是按全體顧客來考慮的；在有限源的情形必須按每個顧客來考慮。為簡單起見，設(shè)各個顧客的到達率都是相同的（的含義是每臺機器單位運轉(zhuǎn)時間內(nèi)發(fā)生故障的概率或平均次數(shù)），這時在系統(tǒng)外的顧客平均數(shù)為m-Ls，對系統(tǒng)的有效到達率e應(yīng)為e=(m-Ls)第三節(jié)

單服務(wù)臺模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃對于此模型的分析依然可以沿用前面的方法。在穩(wěn)態(tài)的情況下，考慮狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移率如圖9-7所示。第三節(jié)

單服務(wù)臺模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃圖9-7狀態(tài)轉(zhuǎn)移根據(jù)圖9-7列出狀態(tài)概率的穩(wěn)態(tài)方程：解此差分方程，用遞推的方法第三節(jié)

單服務(wù)臺模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃得系統(tǒng)的各項指標(biāo):第三節(jié)

單服務(wù)臺模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃在機器故障問題中Ls就是平均故障臺數(shù)，而(m-Ls)表示正常運轉(zhuǎn)的平均臺數(shù)。第三節(jié)

單服務(wù)臺模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃第11章排隊論62

例5

一個工人負(fù)責(zé)照管6臺自動機床，當(dāng)機床需要加料、發(fā)生故障或刀具磨損時就自動停車，等待工人照管。設(shè)每臺機床平均每小時停車一次，每次需要工人照管的平均時間為0.1小時。試分析該系統(tǒng)運行情況。

解

m=6λ=1(臺/小時)μ=1/0.1=10(臺/小時)λμ==0.1L=6-10(1-0.4845)=

0.845(臺)工人空閑的概率：停車的機床(包括正在照管和等待照管)的平均數(shù)

∑P0=6!(0.1)k(6-k)!-1=

0.4845k=06第11章排隊論63

L=0.845-(1-0.4845)=

0.3295(臺)W=

L/[μ(1-P0)]

=

0.845/[10(1-0.4845)]

=0.1639(小時)=

9.83(分鐘)Wq=

W–

1/μ=

0.1639-0.1

=0.0639(小時)=

3.83(分鐘)

ξ=Lm=0.8456=

14.1%η

=1

-ξ=100%-

14.1%

=

85.9%

等待照管的機床平均數(shù)：

平均停車時間：

平均等待時間:

生產(chǎn)損失率

機床利用率單隊、并列的多服務(wù)臺（服務(wù)臺數(shù)為c）的情形，討論以下三種情形：(1)標(biāo)準(zhǔn)的M/M/c模型(M/M/c//);(2)系統(tǒng)容量有限制(M/M/c/N/)；(3)有限顧客源(M/M/c//m)。第四節(jié)多服務(wù)臺模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃一、標(biāo)準(zhǔn)的M/M/c模型(M/M/c//)

標(biāo)準(zhǔn)M/M/c模型的各種特征與標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型的規(guī)定相同。另規(guī)定各服務(wù)臺工作是相互獨立的（非協(xié)作）且平均服務(wù)率相同1=1=…=c=。因此整個服務(wù)機構(gòu)的平均服務(wù)率c（當(dāng)n≥c時）；n（當(dāng)n<c時）。令

，僅當(dāng)

時才不會排成無限長的隊列，

稱為此系統(tǒng)的服務(wù)強度（或服務(wù)機構(gòu)的平均利用率）（如圖9-8）。第四節(jié)多服務(wù)臺模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃這個系統(tǒng)的特點是，系統(tǒng)的服務(wù)速率與系統(tǒng)中的顧客數(shù)有關(guān)。當(dāng)1nc時，系統(tǒng)中的顧客全部在服務(wù)臺中，系統(tǒng)的服務(wù)率為n，狀態(tài)的轉(zhuǎn)移率nPn；當(dāng)n>c時，因為只有c個服務(wù)臺，最多有c個顧客在被服務(wù)，n-c個顧客在等候，因此系統(tǒng)的服務(wù)率為c，狀態(tài)的轉(zhuǎn)移率應(yīng)為cPn。第四節(jié)多服務(wù)臺模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃圖9-8多服務(wù)臺服務(wù)系統(tǒng)第四節(jié)多服務(wù)臺模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃圖9-9多服務(wù)臺服務(wù)系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移第四節(jié)多服務(wù)臺模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃由圖9-9可得：類似的有∑Pi=1，且ρ≤1用遞推解差分方程（9-29），求得狀態(tài)概率：系統(tǒng)的運行指標(biāo)平均隊長平均等待時間和逗留時間（由little公式求得）第四節(jié)多服務(wù)臺模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃第11章排隊論70例1

某醫(yī)院急診室同時只能診治一個病人，診治時間服從指數(shù)分布，

每個病人平均需要15分鐘。病人按泊松分布到達，平均每小時

到達3人。

(1)先確定參數(shù)值，

有s=1

=3(人/小時)

=

60/15

=

4(人/小時)

故服務(wù)強度為

=

/

=

3/4

=

0.75

(2)

計算穩(wěn)態(tài)概率：

P0=1-

=1-0.75=0.25

即急診室空閑的概率,也是病人不必等待立即就能就診的概率。

而

病人需要等待的概率則為P(Q>0)

=1-

P0=

=

0.75這也就是急診室繁忙的概率。

第11章排隊論71

急診室內(nèi)外的病人平均數(shù)：急診室外排隊等待的病人平均數(shù)：

Lq=L=3×0.75=2.25（人）病人在急診室外平均逗留時間：病人平均等候時間:Wq=W=1×0.75=0.75（小時）(3)

計算系統(tǒng)主要工作指標(biāo)λμ-λL=1μ-

λW=14-

3==1（小時）34

-3==3（人）第11章排隊論72

(4)

為使病人平均逗留時間不超過半小時，則平均服務(wù)時間應(yīng)減少多少？由于1μ-λW=12≤μ≥5則平均服務(wù)時間為15≤(小時)=12(分鐘)1μ故1μ△≥15-12=3(分鐘)即平均服務(wù)時間至少應(yīng)減少3分鐘。代入λ=3，解得第11章排隊論73

(5)

若醫(yī)院希望候診的病人90%以上都能有座位，則候診室至少應(yīng)安置多少座位？

設(shè)應(yīng)安置

x

個座位；則加上服務(wù)臺共

x+1個，有

P(N≤

x+1)=

1

-

P(N>

x+1)≥0.9

P(N>

x+1)≤0.1

(x+1)+1

=

x+2

≤0.1兩邊取對數(shù)

(

x+

2)lg≤lg0.1因

<

1，故

x+

2

≥lg0.1

/lg=

-1/lg0.75

=

8

x≥

6即候診室至少應(yīng)安置

6

個座位。按(11-28)式有第11章排隊論74

例2

承例1，假設(shè)醫(yī)院增強急診室的服務(wù)能力，使其同時能診治兩個病人，且平均服務(wù)率相同。試分析該系統(tǒng)工作情況

,并與例1進行比較。

解這相當(dāng)于增加了一個服務(wù)臺，故有s=2

=

3(人/小時)

=

4(人/小時)

δ=

/

=0.75

=

/s

=

3/(2×4)

=

0.375按

(11-14)式得P0

=[1+0.75

+]-1(0.75)22!(1-0.375)按

(11-16)式得Lq=(0.75)2×0.3752!(1-

0.375)2×115≈0.12(人)=115=0.45..第11章排隊論75故有L=

Lq+δ=

0.12

+

0.75=

0.87(人)Wq

=

Lq/λW

=

L

/λ=

0.87/3=

0.29(小時)=

0.12/3=

0.04(小時)=

17.4(分鐘)=

2.4(分鐘)

病人必須等待的概率即為系統(tǒng)狀態(tài)N

≥s(=

2)的概率，由(11-20)式得P(Q>0)

=

P(N

≥2)

=(0.75)22!(1-0.375)×115≈0.20另外還常采用顧客時間損失系數(shù)β=WqE(V)來評估服務(wù)質(zhì)量。第11章排隊論76指標(biāo)S=1

系統(tǒng)S=2

系統(tǒng)P00.250.45P(Q>0)0.750.20Lq

2.25人0.12人L3人0.87人W60分鐘

17.

4分鐘Wq45分鐘2.

4分鐘β

3倍

16%兩個系統(tǒng)的比較..二、系統(tǒng)容量有限的情形(M/M/c/N/)設(shè)系統(tǒng)的容量最大限制為N(N≥c)，當(dāng)系統(tǒng)中顧客數(shù)n已到達N（即隊列中顧客數(shù)已達(N-c)時），以后到達的顧客將被拒絕，其余條件與標(biāo)準(zhǔn)的M/M/c

模型相同。此時系統(tǒng)的狀態(tài)概率:其中

（不必對

加以限制）第四節(jié)多服務(wù)臺模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃系統(tǒng)的運行指標(biāo)：由于公式復(fù)雜，現(xiàn)有一些專門的圖表可供查閱。第四節(jié)多服務(wù)臺模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃當(dāng)N=c（即時制）的情形，典型的例子是街頭的停車場就不允許排隊等待空位。有：當(dāng)n=c時，即關(guān)于Pc的公式，被稱為愛爾朗呼喚損失公式，是A.K.Erlang早在1917年發(fā)現(xiàn)的，并廣泛應(yīng)用于電話系統(tǒng)的設(shè)計中。此時系統(tǒng)的運行指標(biāo)：第四節(jié)多服務(wù)臺模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃第11章排隊論80

例4

某街口汽車加油站可同時為兩輛汽車加油，同時還可容納三輛汽車等待，超過此限則不能等待而消失。汽車到達間隔與加油時間均為指數(shù)分布，平均每小時到達16輛，平均加油時間為每輛6分鐘。求每輛汽車的平均逗留時間。解

s=2r=2+3=5λ=16(輛/小時)μ=60/6=10(輛/小時)λμ

==1610=

1.6λsμρ==1.62=0.8第11章排隊論81

(1.6)22!22×0.8(0.82-0.85)2!(1-

0.8)P0=-11+1.6++≈0.1568Lq=0.8(1.6)2×0.15682!(1-

0.8)2{1-

(0.8)5-2[1

+(5-2)(1

-

0.8)]}=

0.7257(輛)P5=

(0.8)5×0.1568=

0.1028≈10%222!L=

0.7257+1.6

(1

-

0.1028

)=

2.1612(輛)W

=2.161216(1-0.1028)≈0.15(小時)

=

9(分鐘)三、顧客源為有限的情形

(M/M/c//m)設(shè)顧客源為有限數(shù)m（m>c），與單服務(wù)臺情形類似，顧客的到達率λ是按單個顧客來考慮的，在機器管理問題中，共有m臺機器，有c個修理工人，顧客到達就是機器出了故障，而每個顧客的到達率

是指每臺機器單位運轉(zhuǎn)時間出故障的期望次數(shù)。系統(tǒng)中顧客數(shù)n就是出故障臺數(shù)，當(dāng)n≤c時，所有的故障機器都在被修理，有(c-n)個修理工人在空閑；當(dāng)c<n≤m時，有(n-c)臺機器在停機等待修理，而修理工都在忙碌狀態(tài)。假定這c個工人修理技術(shù)相同，修理時間都服從參數(shù)為μ的負(fù)指數(shù)分布，并假定故障的修復(fù)時間和正在生產(chǎn)的機器是否發(fā)生故障是相互獨立的。第四節(jié)多服務(wù)臺模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃其中第四節(jié)多服務(wù)臺模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃由于P0,Pn計算公式過于復(fù)雜，有專門的表格可以供查閱。系統(tǒng)的性能指標(biāo)平均顧客數(shù)（即平均故障臺數(shù)）：有效的到達率λe為每個顧客的到達率λ乘以在系統(tǒng)外（正常運轉(zhuǎn)）的機器的期望數(shù)：λe=λ(m-Ls)；在機器故障問題中，即單位時間m臺機器平均出現(xiàn)故障的次數(shù)。第四節(jié)多服務(wù)臺模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃本節(jié)討論服務(wù)時間是任意分布的情形，當(dāng)然，對任何情形都有下面的關(guān)系：E[系統(tǒng)中顧客數(shù)]=E[隊列中顧客數(shù)]+E[服務(wù)機構(gòu)中顧客數(shù)]E[在系統(tǒng)中逗留時間]=E[排隊等待時間]+E[服務(wù)時間]其中，E[.]表示求期望值，用符號表示：Ls=Lq+LseWs=Wq+E[T]第五節(jié)其他服務(wù)時間分布模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃一、一般分布模型(M/G/1/∞/∞)該模型的基本條件：(1)

輸入過程——顧客源是無限的，到達過程服從參數(shù)為λ的泊松過程；(2)排隊規(guī)則——單隊，隊長無限制，先到先服務(wù)；(3)服務(wù)機構(gòu)——單服務(wù)臺，G表示服務(wù)時間T的分布為任意的概率分布，但已知E(T)和方差Var(T)。此模型被稱為單服務(wù)臺泊松到達、任意服務(wù)時間的排隊模型。第五節(jié)其他服務(wù)時間分布模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃在穩(wěn)態(tài)情況下，當(dāng)ρ=λE(T)<1時，可以證明:

此公式又稱P-K（Pollaczek-Khintchine）公式。只要知道λ、E(T)、Var(T)，無論服務(wù)時間T服從什么分布，均可用P-K公式求出平均隊長Ls。其它的運行指標(biāo)：第五節(jié)其他服務(wù)時間分布模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃第11章排隊論88

例7

某儲蓄所有一個服務(wù)窗口，顧客按泊松分布平均每小時到達10人。為任一顧客辦理存款、取款等業(yè)務(wù)的時間

V(小時)～N(0.05,0.012).

試求該儲蓄所空閑的概率及其主要工作指標(biāo)。

解從而根據(jù)波拉切克——欣欽公式，可以導(dǎo)出：L

q=ρ+

σ

22(

1-ρ)λ22σ2=0.012(小時/人)2λ=

10

(人/小時)1μ=0.05(小時/人)第11章排隊論8911.3

其他模型選介=0.26(人)該儲蓄所空閑的概率：

=

1-

0.5

=

0.5=

10(0.05)=

0.5ρ=λμP0

=1-ρL=Lq+ρL

q=0.52+102(0.01)22(1-0.5)W=L

λWq=Lq

λ則主要指標(biāo)=0.26+0.5=0.76(人)=0.7610=

0.076(小時)≈5

(分鐘)=0.2610=

0.026(小時)≈2

(分鐘)二、定長分布模型(M/D/1/∞/∞)服務(wù)時間為確定的常數(shù)，如在一條裝配線上完成一件工作的時間一般都是常數(shù)。自動汽車沖洗臺，沖洗一輛汽車的時間就是常數(shù)，可得：第五節(jié)其他服務(wù)時間分布模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃第11章排隊論91

二、M/D/1系統(tǒng)

該系統(tǒng)對各顧客服務(wù)時間相互獨立且為同一個常數(shù)，故有

E()==1μ

例8

某檢測站有一臺自動檢測機器性能的儀器，檢測每臺機器都需6分鐘。送檢機器按泊松分布到達，平均每小時4臺。試求該系統(tǒng)的主要工作指標(biāo)。D()=0(=σ2)Lq=ρ2(1-ρ)2第11章排隊論9211.3

其他模型選介

λ=4臺/小時

μ=6分鐘/臺=0.1小時/臺

σ2=0，L=Lq+ρ=

2/15+0.4

=

8/15(臺)

Wq=Lq/

=

2/4(15)=1/30(小時)

=

2(分鐘)W=Wq+1/μ=

2+6

=

8(分鐘)0.422(1-0.4)Lq=

=

2/15(臺)λμρ=

=

4(0.1)=

0.4解三、愛爾朗服務(wù)時間(M/Ek/1/∞/∞)此模型中每一個顧客必須一次經(jīng)過k個服務(wù)臺，接受k次服務(wù)后才構(gòu)成一個完整服務(wù)過程。在每個服務(wù)臺的服務(wù)時間Ti相互獨立，并服從相同的負(fù)指數(shù)分布（參數(shù)為kμ），那么服從k階愛爾朗分布。第五節(jié)其他服務(wù)時間分布模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃對于(M/Ek/1/∞/∞)模型（除服務(wù)時間外，其它條件與標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1/∞/∞型相同）第五節(jié)其他服務(wù)時間分布模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃第11章排隊論95

例9

一個質(zhì)量檢查員平均每小時收到兩件送來檢查的樣品，每件樣品要一次完成5項檢驗才能判斷是否合格。據(jù)統(tǒng)計，每項檢驗所需時間的期望值都是4分鐘，每項檢驗的時間和送檢產(chǎn)品到到達間隔都為指數(shù)分布。問一件樣品從送到至檢查完畢預(yù)期要多少時間？解

λ=

2

件/小時

k=5μ1/(5)=

4

(分鐘/件)μ

E(Vi)

=1/(k)，i=1，2，3，4，51/μ=20

(分鐘/件)=

1/3

(小時/件)由有則第11章排隊論96

ρ=

λ/μ=

2(1/3)=

2/3Lq

=Wq=Lq/λ=4/5/2

=

2/5

(小時)W

=Wq+1/μ=

2/5

+

1/3

=

11/15(小時)

=

44(分鐘)

(5+1

)(2/3)22×5(1-

2/3)=45(件)一、排隊系統(tǒng)經(jīng)濟分析試圖完全消除排隊現(xiàn)象是不現(xiàn)實的，那樣顯然會造成服務(wù)人員和設(shè)施的嚴(yán)重浪費。另一方面，如果設(shè)施不足或服務(wù)低水平，將導(dǎo)致過多的等待，因而產(chǎn)生生產(chǎn)和社會損失。從經(jīng)濟角度考慮，一般排隊系統(tǒng)的費用應(yīng)該包含于以下兩個方面：⑴服務(wù)費用。它隨著服務(wù)水平（反映在服務(wù)能力和服務(wù)臺數(shù)量方面）的提高而增加，是服務(wù)水平的遞增函數(shù)。⑵顧客等待的機會損失（費用）。顧客由于等待，產(chǎn)生一系列的損失（時間上、心理上、社會上等）用經(jīng)濟費用進行的估算，稱為顧客等待的機會損失。它隨服務(wù)水平的提高而下降，是服務(wù)水平的遞減函數(shù)。

第六節(jié)服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃的應(yīng)用第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃這兩方面構(gòu)成的函數(shù)呈現(xiàn)為一條如圖所示的U型曲線。第六節(jié)服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃的應(yīng)用第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃圖9-10費用與服務(wù)水平之間的關(guān)系F1、F2、Y分別是等待費用函數(shù)、服務(wù)費用函數(shù)、合成費用函數(shù)。歸納起來，排隊系統(tǒng)常見的優(yōu)化問題在于：①確定服務(wù)臺的最優(yōu)平均服務(wù)率μ*；②確定最佳服務(wù)臺數(shù)量s*；③選擇最為合適的服務(wù)規(guī)則；④確定上述幾個量得最優(yōu)組合。研究排隊系統(tǒng)的根本目的在于以最少的設(shè)備得到最大的效益，或者說，在一定的服務(wù)質(zhì)量的指標(biāo)下要求機構(gòu)最為經(jīng)濟。第六節(jié)服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃的應(yīng)用第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃二、M/M/1系統(tǒng)的最優(yōu)平均服務(wù)率μ1．標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型設(shè)c1為當(dāng)μ=1時服務(wù)系統(tǒng)單位時間的平均費用，并且這個平均費用與平均服務(wù)率μ成正比例；cw為平均每個顧客在逗留單位時間的損失；Y為整個系統(tǒng)單位時間的平均總費用。其中c1、cw均為已知（以下情形相同）。目標(biāo)函數(shù)：將M/M/1模型的平均隊長公式L=λ/(μ-λ)代入(9-41)式，得：第六節(jié)服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃的應(yīng)用第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃顯然，Y是關(guān)于決策變量μ的一元非線性函數(shù)。由一階最優(yōu)性必要條件（駐點條件）解得駐點取算術(shù)平方根是為了保證ρ<1，即μ*>λ，這樣，系統(tǒng)才能達到穩(wěn)態(tài)。又知二階充分條件成立：于是，式(9-43)給出的μ*為(λ,∞)上的全局唯一最小點。將μ*帶入(9-42)中，可得最小的總平均費用第六節(jié)服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃的應(yīng)用第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃若設(shè)cw為平均每個顧客在隊列中等待單位時間的損失，則需要M/M/1模型的平均隊列長公式

代入式(9-41)中的L，類似可得一階最優(yōu)性必要條件：這是一個關(guān)于μ的4次方程，實際中一般采用數(shù)值法（如牛頓法）來確定其根（最優(yōu)服務(wù)率）μ*。第六節(jié)服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃的應(yīng)用第九章服務(wù)