3．4基本不等式：（第1課時）一．【學習目標】1、知識與技能1.探索并了解基本不等式的證明過程；2.了解基本不等式的代數(shù)及幾何背景；3.會用基本不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}。2、過程與方法通過實例探究抽象基本不等式，體會特殊到一般的數(shù)學思想方法。3、情感態(tài)度與價值觀通過對基本不等式成立條件的分析，培養(yǎng)分析問題的能力及嚴謹?shù)臄?shù)學態(tài)度。二．【重點難點】1、重點：應用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并掌握基本不等式的證明過程；2、難點：應用基本不等式求最值三．【學習新知】基本不等式的幾何背景：探究：如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客?！竞献魈骄俊浚?）問題1：這會標中含有怎樣的幾何圖形？你能在這個圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？問題2:我們把“風車”造型抽象成圖在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形.設(shè)直角三角形的長為、，那么正方形的邊長為多少？面積S為多少呢？問題3：那4個直角三角形的面積和S’呢？問題4：根據(jù)觀察4個直角三角形的面積和正方形的面積，我們可得容易得到一個不等式（）？什么時候這兩部分面積相等呢？結(jié)論：一般地，對于任意實數(shù)、，我們有，當且僅當時，等號成立。問題5：你能給出它的證明嗎？▲注意強調(diào)（1）當且僅當時,(2)特別地,如果,也可寫成,引導學生利用不等式的性質(zhì)推導。(板書,請學生上臺板演):要證:①即證②要證②,只要證③要證③,只要證(-)④顯然,④是成立的,當且僅當時,④的等號成立(3)觀察右圖,得到不等式①的幾何解釋探究：課本中的“探究”在右圖中，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，AC=a,BC=b。過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD。你能利用這個圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？通常我們把叫做正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，把叫做正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)。所以基本不等式的幾何解釋為。另外，如果把看作是正數(shù)a、b的等差中項，看作是正數(shù)a、b的等比中項，那么該定理還可以表述為：。四．【典例分析】例1：(1)用籬笆圍成一個面積為100平方米的矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？(2)用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形菜園的長和寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？小結(jié)： 強調(diào)：應用基本不等式求最值的條件：變式：如圖，用一段長為24m的籬笆圍一個一邊靠墻的矩形花園，問這個矩形的長、寬各為多少時，花園的面積最大，最大面積是多少？五．【反思小結(jié)】知識點：思想方法：六．【當堂檢測】1、已知正數(shù)a、b滿足，則的最小值是（）A、10B、25C、5D、2、已知，則的最大值是（）A、100B、50C、20D、103、下面說法正確的是（）.（A）當時，（B）當時，（C）當時，（D）當時，4、已知x＞0，則x＋eq\f(4,x)＋3的最小值為（）.（A）4（B）7（C）8（D