浙教版八年級下冊第2章一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系同步練習一、單選題（共15題；共30分）1、已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的兩個根，則x1+x2等于（）A、-4

B、-1

C、1

D、42、△ABC的一邊長為5，另兩邊分別是方程x2﹣6x+m=0的兩根，則m的取值范圍是（）A、m＞

B、＜m≤9

C、≤m≤9

D、m≤3、已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的兩個實數(shù)根，則x12+x22的最大值是（）A、19

B、18

C、15

D、134、如果關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q=0的兩根分別為x1=2，x2=﹣1，那么p，q的值分別是（）A、1，﹣2

B、﹣1，﹣2

C、﹣

D、1，25、若一元二次方程﹣3x2+6x+m=0的一個根為x1=3，則該方程的另一個根是（）A、x2=﹣1

B、x2=﹣3

C、x2=﹣5

D、x2=56、已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的兩根為α與β，則的值為（）A、-1

B、1

C、-2

D、27、方程x2﹣2023|x|+2023=0的所有實數(shù)根之和是（）A、﹣2023

B、0

C、2023

D、20238、已知3m2﹣2m﹣5=0，5n2+2n﹣3=0，其中m，n為實數(shù)，則|m﹣|=（）A、0

B、

C、

D、0或9、如果關(guān)于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一個正根，則實數(shù)a的取值范圍是（）A、﹣2＜a＜2

B、

C、

D、10、設(shè)x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的兩根，則x13﹣4x22+15等于（）A、-4

B、8

C、6

D、011、若α，β是方程x2﹣2x﹣2=0的兩個實數(shù)根，則α2+β2的值為（

）A、10

B、9

C、8

D、712、若關(guān)于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有兩個實數(shù)根x1、x2，則x1（x2+x1）+的最小值為（）A、1

B、2

C、

D、13、若關(guān)于x的一元二次方程的兩個根為x1=1，x2=2，則這個方程是（

）A、x2+3x﹣2=0

B、x2﹣3x+2=0

C、x2﹣2x+3=0

D、x2+3x+2=014、若α，β是方程x2+2x﹣2023=0的兩個實數(shù)根，則α2+3α+β的值為（

）A、2023

B、2023

C、﹣2023

D、401015、如果關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q=0的兩根分別為x1=3，x2=1，那么這個一元二次方程是（

）A、x2+3x+4=0

B、x2+4x﹣3=0

C、x2﹣4x+3=0

D、x2+3x﹣4=0二、填空題（共5題；共6分）16、已知x1，x2是一元二次方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的兩個實數(shù)根，且，則________．17、已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的兩個根，則代數(shù)式a2+b+3的值為________

．18、等腰△ABC中，BC=8，若AB、AC的長是關(guān)于x的方程x2﹣10x+m=0的根，則m的值等于________．19、從﹣4、-、0、、4這五個數(shù)中，任取一個數(shù)作為a的值，恰好使得關(guān)于x的一元二次方程2ax2﹣6x﹣1=0有兩個不相等的實數(shù)根，且使兩個根都在﹣1和1之間（包括﹣1和1），則取到滿足條件的a值的概率為________．20、已知分式，當x=2時，分式無意義，則a=________；當a為a＜6的一個整數(shù)時，使分式無意義的x的值共有________個．三、解答題（共3題；共15分）21、已知實數(shù)m，n（m＞n）是方程的兩個根，求的值．22、已知x1，x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的實數(shù)根（x1，x2可相等）

（1）證明方程的兩根都小于0；

（2）當實數(shù)k取何值時x12+x22最大？并求出最大值．23、已知：關(guān)于x的方程x2+2x﹣k=0有兩個不相等的實數(shù)根．

（1）求k的取值范圍；

（2）若α，β是這個方程的兩個實數(shù)根，求：的值；

（3）根據(jù)（2）的結(jié)果你能得出什么結(jié)論？四、綜合題（共3題；共35分）24、已知△ABC的兩邊AB、AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2=0的兩個實數(shù)根，第三邊BC=5．(1)k為何值時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形？(2)k為何值時，△ABC是等腰三角形？并求此時△ABC的周長．25、已知：關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3=0（m＞3）．(1)求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為x1，x2（用含m的代數(shù)式表示）；

①求方程的兩個實數(shù)根x1，x2（用含m的代數(shù)式表示）；

②若mx1＜8﹣4x2，直接寫出m的取值范圍．26、如果方程x2+px+q=0的兩個根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1?x2=q，請根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問題：(1)若p=﹣4，q=3，求方程x2+px+q=0的兩根．(2)已知實數(shù)a、b滿足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求+的值；(3)已知關(guān)于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一個一元二次方程，使它的兩個根分別是已知方程兩根的倒數(shù)．

答案解析部分一、單選題1、【答案】D

【考點】根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：∵方程x2﹣4x+1=0的兩個根是x1，x2，

∴x1+x2=﹣（﹣4）=4．

故選D．

【分析】據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根之和即可．2、【答案】B

【考點】根與系數(shù)的關(guān)系，三角形三邊關(guān)系

【解析】【解答】解：設(shè)三角形另兩邊分別為a、b（a≥b），

根據(jù)題意得△=（﹣6）2﹣4m≥0，解得m≤9，

a+b=6，ab=m，

∵a＜b+5，即a﹣b＜5，

∴（a﹣b）2＜25，

∴（a+b）2﹣4ab＜25，即36﹣4m＜25，

∴m＞，

∴m的取值范圍是＜m≤9．

故選B．

【分析】設(shè)三角形另兩邊分別為a、b（a≥b），先利用判別式的意義得到m≤9，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=6，ab=m，由于a＜b+5，則利用完全平方公式變形得到（a﹣b）2＜25，所以（a+b）2﹣4ab＜25，即36﹣4m＜25，解得m＞，于是可得到m的取值范圍是＜m≤9．3、【答案】B

【考點】根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的最值

【解析】【解答】解：由方程有實根，得△≥0，即（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0

所以3k2+16k+16≤0，

所以（3k+4）（k+4）≤0

解得﹣4≤k≤﹣．

又由x1+x2=k﹣2，x1?x2=k2+3k+5，得

x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣k2﹣10k﹣6=19﹣（k+5）2，

當k=﹣4時，x12+x22取最大值18．

故選：B．

【分析】根據(jù)x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+（k2+3k+5）=0的兩個實根，由△≥0即可求出k的取值范圍，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．4、【答案】B

【考點】根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：根據(jù)題意得2+（﹣1）=﹣p，2×（﹣1）=q，

所以p=﹣1，q=﹣2．

故選：B．

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得2+（﹣1）=﹣p，2×（﹣1）=q，然后解方程即可．5、【答案】A

【考點】根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：由根與系數(shù)的關(guān)系得3+x2=﹣=2，解得x2=﹣1．

故選A．

【分析】設(shè)方程的另一個解為x2，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到3+x2=﹣=2，然后解一次方程即可．6、【答案】A

【考點】根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：根據(jù)題意得α+β=3，αβ=﹣3，

所以===﹣1．

故選A．

【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到α+β=3，αβ=﹣3，再通分得到=，然后利用整體代入的方法計算．7、【答案】B

【考點】根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：當x＞0時，原方程化為x2﹣2023x+2023=0，方程的兩根之和為2023；

當x＜0時，原方程化為x2+2023x+2023=0，方程的兩根之和為﹣2023，

所以方程x2﹣2023|x|+2023=0的所有實數(shù)根之和是0．

故選B．

【分析】先根據(jù)絕對值的意義分類討論：當x＞0時，原方程化為x2﹣2023x+2023=0；當x＜0時，原方程化為x2+2023x+2023=0，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系分別得到兩個方程的兩根之和，再求所有根之和．8、【答案】D

【考點】一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：由3m2﹣2m﹣5=0得m1=﹣1，m2=；

由5n2+2n﹣3=0得n1=，n2=﹣1．

=，

①當m=﹣1，n=時，原式=；

②當m=﹣1，n=﹣1時，原式=0；

③當m=，n=時，原式=0；

④當m=，n=﹣1時，原式=．

綜上所述，=0或．

故答案為0或．

【分析】先分別解方程求m，n的值，再把m，n的值分別組合出不同的情形計算求解．9、【答案】C

【考點】根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：∵△=a2﹣4（a2﹣3）=12﹣3a2

（1）當方程有兩個相等的正根時，△=0，此時a=±2，

若a=2，此時方程x2﹣2x+1=0的根x=1符合條件，

若a=﹣2，此時方程x2+2x+1=0的根x=﹣1不符舍去，

（2）當方程有兩個根時，△＞0可得﹣2＜a＜2，

①若方程的兩個根中只有一個正根，一個負根或零根，則有a2﹣3≤0，解可得﹣≤a≤，而a=﹣時不合題意，舍去．

所以﹣＜a≤符合條件，

②若方程有兩個正根，則，

解可得a＞，

綜上可得，﹣＜a≤2．

故選C．

【分析】根據(jù)方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一個正根，則方程一定有兩個實數(shù)根，即△≥0，關(guān)于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一個正根?（1）當方程有兩個相等的正根，（2）當方程有兩個不相等的根，①若方程的兩個根中只有一個正根，一個負根或零根，②若方程有兩個正根，結(jié)合二次方程的根的情況可求．10、【答案】A

【考點】根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的兩根，

∴x1+x2=﹣1，x1x2=﹣3，

∵x13=x1x12=x1（3﹣x1）=3x1﹣x12，

∴x13﹣4x22+15=3x1﹣x12﹣4x22+15=3x1﹣x12﹣x22﹣3x22+15=3（x1+x2）﹣（x1+x2）2+2x1x2+6，

∴x13﹣4x22+15=﹣3﹣1﹣6+6=﹣4，

故選：A．

【分析】首先求出兩個之和與兩根之積，然后把x13﹣4x22+15轉(zhuǎn)化為3（x1+x2）﹣（x1+x2）2+2x1x2+6，然后整體代入即可．11、【答案】C

【考點】根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：根據(jù)題意得α+β=2，αβ=﹣2，所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣2）=8．

故選C．

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到α+β=2，αβ=﹣2，再利用完全平方公式變形得α2+β2=（α+β）2﹣2αβ，然后利用整體代入的方法計算．12、【答案】D

【考點】根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：根據(jù)題意得△=4m2﹣4（m2+3m﹣2）≥0，解得m≤

x1+x2=﹣2m，x1x2=m2+3m﹣2，

x1（x2+x1）+=（x2+x1）2﹣x1x2

=4m2﹣（m2+3m﹣2）

=3m2﹣3m+2

=3（m﹣）2+，

所以m=時，x1（x2+x1）+有最小值，最小值為．

故選D．

【分析】根據(jù)判別式的意義得到m≤，再利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=﹣2m，x1x2=m2+3m﹣2，所以x1（x2+x1）+=（x2+x1）2﹣x1x2=3m2﹣3m+2，利用配方法得到原式=3（m﹣）2+，然后利用非負數(shù)的性質(zhì)可判斷x1（x2+x1）+的最小值為．13、【答案】B

【考點】根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：兩個根為x1=1，x2=2則兩根的和是3，積是2．

A、兩根之和等于﹣3，兩根之積等于﹣2，所以此選項不正確；

B、兩根之和等于3，兩根之積等于2，所以此選項正確；

C、兩根之和等于2，兩根之積等于3，所以此選項不正確；

D、兩根之和等于﹣3，兩根之積等于2，所以此選項不正確，

故選：B．

【分析】解決此題可用驗算法，因為兩實數(shù)根的和是1+2=3，兩實數(shù)根的積是1×2=2．解題時檢驗兩根之和是否為3及兩根之積是否為2即可．14、【答案】B

【考點】一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：α，β是方程x2+2x﹣2023=0的兩個實數(shù)根，則有α+β=﹣2．

α是方程x2+2x﹣2023=0的根，得α2+2α﹣2023=0，即：α2+2α=2023．

所以α2+3α+β=α2+2α+（α+β）=α2+2α﹣2=2023﹣2=2023．

故選B．

【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義和根與系數(shù)的關(guān)系求解則可．設(shè)x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的兩個實數(shù)根，則x1+x2=，x1x2=．而α2+3α+β=α2+2α+（α+β），即可求解．15、【答案】C

【考點】根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：方程兩根分別為x1=3，x2=1，則x1+x2=﹣p=3+1=4，x1x2=q=3

∴p=﹣4，q=3，

∴原方程為x2﹣4x+3=0．

故選C．

【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系求得p，q的值．二、填空題16、【答案】m=1或m=5

【考點】根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：∵方程有兩個實數(shù)根，由韋達定理知：，

∵，而由知，x1，x2異號．

故=﹣，令x1=3k，x2=﹣2k，

則得：，

從上面兩式消去k，得：，

即：m2﹣6m+5=0，

解之得：m1=1，m2=5．

故答案為：1或5．

【分析】x1，x2是一元二次方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的兩個實數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可解答．17、【答案】7

【考點】一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：∵a是方程x2﹣x﹣3=0的根，

∴a2﹣a﹣3=0，

∴a2=a+3，

∴a2+b+3=a+3+b+3

=a+b+6，

∵a，b是方程x2﹣x﹣3=0的兩個根，

∴a+b=1，

∴a2+b+3=1+6=7．

故答案為7．

【分析】先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到a2﹣a﹣3=0，即a2=a+3，則a2+b+3化簡為a+b+6，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=1，然后利用整體代入的方法計算即可．18、【答案】25或16

【考點】根與系數(shù)的關(guān)系，三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：當AB=BC=8，把x=8代入方程得64﹣80+m=0，解得m=16，

此時方程為x2﹣10x+16=0，解得x1=8，x2=2；

當AB=AC，則AB+AC=10，所以AB=AC=5，則m=5×5=25．

故答案為25或16．

【分析】討論：根據(jù)等腰三角形性質(zhì)當AB=BC=8，把x=8代入方程可得到m=16，此時方程另一根為2，滿足三角形三邊關(guān)系；當AB=AC，根據(jù)根與系數(shù)得關(guān)系得AB+AC=10，所以AB=AC=5，所以m=5×5=25．19、【答案】

【考點】根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，概率公式

【解析】【解答】解：∵當a=﹣4時，原方程可化為﹣8x2﹣6x﹣1=0，解得x1=﹣，x2=﹣，符合題意；

當a=﹣時，原方程可化為﹣7x2﹣6x﹣1=0，解得x1=﹣，x2=﹣，符合題意；

當a=0時，原方程可化為﹣6x﹣1=0，解得x1=﹣，不符合題意；

當a=時，原方程可化為7x2﹣6x﹣1=0，解得x1=1，x2=﹣，符合題意；

當a=4時，原方程可化為8x2﹣6x﹣1=0，解得x1=﹣，x2=，符合題意．

∴取到滿足條件的a值的概率=．

故答案為：．

【分析】分別把這5個數(shù)代入關(guān)于x的一元二次方程2ax2﹣6x﹣1=0，求出x的值，再根據(jù)概率公式即可得出結(jié)論．20、【答案】6；2

【考點】分式有意義的條件，根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：由題意，知當x=2時，分式無意義，

∴分母=x2﹣5x+a=22﹣5×2+a=﹣6+a=0，

∴a=6；

當x2﹣5x+a=0時，△=52﹣4a=25﹣4a，

∵a＜6，

∴△=25﹣4a＞0，

故當a＜6的整數(shù)時，分式方程有兩個不相等的實數(shù)根，

即使分式無意義的x的值共有2個．

故答案為6，2．

【分析】根據(jù)分式無意義的條件：分母等于零求解．三、解答題21、【答案】解：∵方程的二次項系數(shù)a=1，一次項系數(shù)b=﹣2，常數(shù)項c=2，

∴b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×2=4，

∴x=

=

=±1，

∴m=+1，n=﹣1；

∴+=

=

=

=4．

【考點】根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得一元二次方程的根，然后將其代入所求的代數(shù)式求值．22、【答案】（1）證明：∵△=（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0，

∴﹣4≤k≤﹣，

∵x1+x2=k﹣2，x1x2=k2+3k+5，

∴x1+x2=k﹣2＜0，x1x2=k2+3k+5＞0，

∴方程的兩根都小于0；

（2）解：x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣k2﹣10k﹣6=﹣（k+5）2+19，

∵﹣4≤k≤﹣，

∴k=﹣4時，x12+x22有最大值，最大值為﹣（﹣4+5）2+19=18．

【考點】根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【分析】（1）根據(jù)判別式的意義得到△=（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0，解此不等式得到﹣4≤k≤﹣，再由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=k﹣2，x1x2=k2+3k+5，利用k的取值范圍有x1+x2=k﹣2＜0，x1x2=k2+3k+5＞0，于是利用有理數(shù)的性質(zhì)即可判斷方程的兩根都小于0；

（2）利用完全平方公式得到x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣（k+5）2+19，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解．23、【答案】解：（1）△=4+4k，

∵方程有兩個不等實根，

∴△＞0，

即4+4k＞0

∴k＞﹣1

（2）由根與系數(shù)關(guān)系可知α+β=﹣2，

αβ=﹣k，

∴=，

（3）由（1）可知，k＞﹣1時，的值與k無關(guān)．

【考點】根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【分析】（1）由方程x2+2x﹣k=0有兩個不相等的實數(shù)根，可以求出△＞0，由此可求出k的取值范圍；

（2）欲求的值，先把此代數(shù)式變形為兩根之積或兩根之和的形式，代入數(shù)值計算即可．

（3）只要滿足△＞0（或用k的取值范圍表示）的值就為一定值．四、綜合題24、【答案】（1）解：根據(jù)題意得[x﹣（k+1）][x﹣（k+2）]=0，

解得，x1=k+1，x2=k+2，

若△ABC是直角三角形，且BC是斜邊，

那么有（k+1）2+（k+2）2=52，

解得k1=2，k2=﹣5（不合題意舍去），

∴k=2

（2）解：①如果AB=AC，△=（2k+3）2﹣4（k2+3k+2）=04k2+12k+9﹣4k2﹣12k﹣8=1≠0，

不可能是等腰三角形．

②如果AB=5，或者AC=5

x1=5，52﹣（2k+3）×5+k2+3k+2=0

k2﹣7k+12=0

（k﹣4）（k﹣3）=0

k=4或者k=3（都符合題意）

k=4時：

x2﹣11x+30=0

（x﹣5）（x﹣6）=0，∴AB=5，AC=6，周長L=5+5+6=16，

k=3時：

x2﹣9x+20=0

（x﹣4）（x﹣5）=0，∴AB=4，AC=5，周長L=4+5+5=14

【考點】根與系數(shù)的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理

【解析】【分析】（1）先解方程可得x1=k+1，x2=k+2，若△ABC是直角三角形，且BC是斜邊，那么有（k+1）2+（k+2）2=