求此簡諧振動的表達式一、簡諧振動的描述6-1

簡諧振動物體運動時，離開平衡位置的位移(或角位移)隨時間按余弦或正弦函數(shù)變化.mxmx以彈簧振子為例mO1.

運動方程振幅A

物體離開平衡位置的最大距離,決定于初始條件.周期T

物體完成一次全振動所需時間.mxmx以彈簧振子為例mO頻率

:單位時間內(nèi)振動的次數(shù).角頻率相位t

:

決定某時刻的質(zhì)點的運動狀態(tài)初相位2.振動速度及加速度簡諧振動的加速度和位移反向正比.3.振動初相及振幅由初始條件決定初始條件：當t=0時,x=x0

，v=v0代入得例如：v0=0,x0

=A

=0xmOAAk例1.

一質(zhì)點沿x

軸作簡諧振動，A=0.12m,T=2s,當t=0時,x0

=0.06m,此時刻質(zhì)點向x

正向運動。求此簡諧振動的表達式。解：取平衡位置為坐標原點,設(shè)簡諧振動表達式為T=2s簡諧振動的表達式為初始條件v0

0x0

=0.06A=0.12m二、簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法1.簡諧振動與勻速圓周運動勻速圓周運動在x軸上的投影為簡諧振動：2.簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法xO旋轉(zhuǎn)矢量簡諧振動矢量大小振幅矢量旋轉(zhuǎn)角速度（恒定）角頻率t=0時矢量與x軸夾角初相注意：旋轉(zhuǎn)矢量本身繞起始端勻角速度逆時針旋轉(zhuǎn)，其末端在x軸上的投影點才做簡諧振動。3.兩同頻率簡諧振動的相位差兩個諧振動相位差對兩同頻率的諧振動=21初相差若=21>0,稱x2比x1超前(或x1比x2落后)。當=0,兩振動步調(diào)相同,稱同相當=

,兩振動步調(diào)相反,稱反相OxA1A2OxA1A2OxA1A2用旋轉(zhuǎn)矢量表示振動相位關(guān)系x2比x1超前/2同相反相x,v,aavx

TOtx,v,aO例：由旋轉(zhuǎn)矢量確定簡諧振動中位移與速度、位移與加速度的相位差。例2.

以余弦函數(shù)表示的簡諧振動的位移時間曲線如圖所示，確定其振動方程.x(cm)Ot(s)12121x0Ot=0xAAt=1sA解:設(shè)振動方程為由旋轉(zhuǎn)矢量確定振動初相位：當

t=0,旋轉(zhuǎn)矢量以從t=0到t=1轉(zhuǎn)過角度為三、簡諧振動的動力學方程AAO

mk由振動方程令(回復力)反之，如質(zhì)點所受的力則質(zhì)點一定作簡諧振動.或位移滿足簡諧振動微分方程簡諧振動的定義運動學定義動力學定義或歸納與總結(jié)簡諧振動的質(zhì)點所受的合外力與它相對于平衡位置位移成正比而反向。固有角頻率四、簡諧振動實例1.彈簧振子選平衡位置為原點位移為x處，物體所受的的合外力滿足簡諧振動的動力學定義,物體一定作簡諧振動.由牛頓第二定律角頻率完全由振動系統(tǒng)本生的性質(zhì)決定。固有周期固有頻率振動方程AAO

mk2.單擺當

5時，擺球角位移為時受的合外力平衡位置：

=0.諧振動微分方程結(jié)論：單擺的小角度擺動是簡諧振動。3.復擺繞不過質(zhì)心的水平固定軸轉(zhuǎn)動的剛體。令小幅擺動時角位移，回復力矩M=mghsinM=mgh由剛體的轉(zhuǎn)動定律或諧振動微分方程結(jié)論：復擺的小角度擺動是簡諧振動。

拓展與思考由能量守恒建立簡諧振動微分方程xmOkx很小(5)，線性諧振動角諧振動簡諧振動的判斷及振動方程的確定歸納與總結(jié)0+mm懸線平衡位置固定端例如：對圖示的扭擺，圓盤的轉(zhuǎn)動慣量為J為扭轉(zhuǎn)常數(shù)，取決于懸線的長度、直徑及材料。例3.如圖m=210-2kg,

彈簧的靜止形變?yōu)閘=9.8cm

t=0時,x09.8cm,v0=0(1)取開始振動時為計時零點，寫出振動方程；(2)若取x0=0，v0>0為計時零點，寫出振動方程,并計算振動頻率。解：(1)確定平衡位置mg=kl

取為原點

k=mg/l

令向下有位移x,則f=mgk(l+x)=kx系統(tǒng)作諧振動，設(shè)振動方程為9.8cmmOxm由初始條件得由x0=Acos0=0.098<0cos0<0,取0=振動方程為：x=9.8102cos(10t+)

m(2)按題意t=0時x0=0，v0>0x0=Acos0=0,cos0=00=/2,3/2

v0=Asin>0,sin0<0,取0=3/2x=9.810-2cos(10t+3/2)m對同一諧振動取不同的計時起點不同，但、A不變固有頻率9.8cmmOxm

x09.8cm,v0=0例4.

如圖所示，振動系統(tǒng)由一倔強系數(shù)為k的輕彈簧、一半徑為R、轉(zhuǎn)動慣量為J的定滑輪和一質(zhì)量為m的物體所組成。使物體略偏離平衡位置后放手，任其振動，試證物體作簡諧振動，并求其周期T.解：將m的平衡位置取為坐標原點，設(shè)平衡位置對應的彈簧伸長量為l0

,則mxOR,Jk當m有位移x時聯(lián)立得mxOR,Jkm物體作簡諧振動諧振動系統(tǒng)的能量=系統(tǒng)的動能Ek+系統(tǒng)的勢能Ep某一時刻，諧振子速度為v，位移為x諧振動的動能和勢能是時間的周期性函數(shù)五、簡諧振動的能量系統(tǒng)的機械能守恒xtotToEEk(t)Ep(t)振動能量曲線例5.一彈簧振子沿x軸作簡諧振動，彈簧倔強系數(shù)為k，物體質(zhì)量為m，簡諧振動振幅為A。求彈簧振子的動能為勢能的3倍時的位置x。解：另解：一、同方向、同頻率諧振動的合成合振動是簡諧振動,其頻率仍為質(zhì)點同時參與同方向同頻率的諧振動:合振動:6-2簡諧振動的合成x1x2

12xA1AA2如A1=A2,則A=0，兩個同幅反相的振動合成的結(jié)果將使質(zhì)點處于靜止狀態(tài)。合振動的振幅取得最大，兩分振動相互加強。合振幅最小，兩分振動相互減弱。兩個重要特例若兩分振動同相：若兩分振動反相:合振動不是簡諧振動式中隨t緩變隨t快變合振動可看作振幅緩變的簡諧振動二.兩個同方向頻率相近簡諧振動的合成拍分振動合振動當21時,拍

合振動忽強忽弱的現(xiàn)象拍頻:單位時間內(nèi)加強或減弱的次數(shù)

=|21|

xtx2tx1tBeatphenomenon拍的現(xiàn)象常被用于校正樂器。例如我們可以利用標準音叉來校準鋼琴的頻率：因為音調(diào)有微小差別就會出現(xiàn)拍音，調(diào)整到拍音消失，鋼琴的一個鍵就被校準了。微波測速雷達：被測物體移動時，由于直達波和反射波混合的結(jié)果在接收檢波器上混頻出差拍信號，該差拍信號的頻率和移動物體速度成線性關(guān)系。拍的應用三、兩個相互垂直的同頻率簡諧振動的合成合振動分振動合振動質(zhì)點的軌跡方程為橢圓方程.兩相互垂直同頻率不同相位差簡諧振動的合成四、兩個相互垂直不同頻率的簡諧振動的合成軌跡稱為李薩如圖形對于兩個頻率不相同的諧振動，其相位差不斷地隨時間變化，因而合振動不一定有穩(wěn)定的軌跡。只有在兩振動的頻率成簡單的整數(shù)比時，才有穩(wěn)定的軌跡。李薩如圖形解：(1)式中t以秒計，x以厘米計。(1)求x1和x2合振動的振幅和初相位。(2)如果x1和x3合成振幅最大，則3取何值？如果x2和x3合成振幅最小，則3取何值？例6.三個同方向的簡諧振動分別為式中t以秒計，x以厘米計。(1)求x1和x2合振動的振幅和初相位。(2)如果x1和x3合成振幅最大，則3取何值？如果x2和x3合成振幅最小，則3取何值？例6.三個同方向的簡諧振動分別為解：(2)x1和x3合成振幅最大,x1和x3同相x2和x3合成振幅最小,x1和x3反相一、阻尼振動阻尼振動能量隨時間減小的振動稱阻尼振動或減幅振動。摩擦阻尼：系統(tǒng)克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系統(tǒng)的動能轉(zhuǎn)化為熱能。輻射阻尼：振動以波的形式向外傳波，使振動能量向周圍輻射出去。6-3阻尼振動受迫振動和共振固定端

m葉片

阻尼系數(shù)

kx物體以不大的速率在粘性介質(zhì)中運動時,介質(zhì)對物體的阻力僅與速度的一次方成正比

阻尼系數(shù)由牛頓第二定律，得l0=mg/k

系統(tǒng)固有角頻率阻尼因子弱阻尼阻尼振動的振幅按指數(shù)衰減過阻尼過阻尼系統(tǒng)不作往復運動，而是非常緩慢地回到平衡位置臨界阻尼系統(tǒng)不作往復運動，而是較快地回到平衡位置并停下來ACBtx(t)

tx(t)bc

atx0阻尼振動的應用在實際生產(chǎn)和生活中，常根據(jù)不同的要求，通過不同的方法來控制阻尼的大小。例如，各種機器，為了減震、防震，都要加大摩擦阻尼。各種聲源、樂器，總希望它能輻射足夠大的聲能，就需要加大其輻射阻尼，各種樂器上的空氣箱就起這種作用。在靈敏電流計中，為了盡快地、較準確地進行讀數(shù)測量，常使電流計的偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)下工作。因為臨界阻尼與過阻尼和弱阻尼狀態(tài)相比，振動物體回到平衡位置的時間最短。二、受迫振動受迫振動：振動系統(tǒng)在周期性外力作用下的振動。這種周期性的外力稱為驅(qū)動力。系統(tǒng)在彈性力、阻力和驅(qū)動力的作用下，其運動方程為令受迫振動的微分方程

mkxO=/2阻尼振動在阻尼較小的情況下的通解經(jīng)過一段時間后，減幅振動可以忽略不計。系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài)后的振動為一穩(wěn)定的等幅振動。受迫振動的穩(wěn)定狀態(tài)為受迫振動微分方程AOxt(1)角頻率:等于驅(qū)動力的角頻率(3)初相:特點:穩(wěn)態(tài)時的受迫振動按簡諧振動的規(guī)律變化。(2)振幅:受迫振動振幅的大小，不決定于系統(tǒng)的初始條件，而與振動系統(tǒng)的性質(zhì)(固有角頻率、質(zhì)量)、阻尼的大小和驅(qū)動力的特征有關(guān)。討論受迫振動的穩(wěn)態(tài)解最大振幅為如0

，r=0,即驅(qū)動力的角頻率等于振動系統(tǒng)的固有角頻率時，振幅達到最大值。這種現(xiàn)象叫共振。三、共振受迫振動的振幅與驅(qū)動力的角頻率有關(guān)。令dA/d=0，可得與振幅極大值對應的角頻率為A0在共振時，=0共振原因的進一步分析受迫振動的振動方程初相則

=/2振動速度，這說明，振動速度和驅(qū)動力同相(F=Acost)，因而，驅(qū)動力總是對系統(tǒng)做正功，系統(tǒng)能最大限度地從外界得到能量。這就是共振使振幅最大的原因。驅(qū)動力受迫振動的微分方程共振的利與弊共振現(xiàn)象在實際中有著廣泛的應用：鋼琴、小提琴等樂器的木制琴身，利用共振現(xiàn)象使其成為了一共鳴盒，以提高音響效果；收音機的調(diào)諧裝置也利用了共振現(xiàn)象（電磁共振）選臺；原子核內(nèi)的核磁共振用來進行物質(zhì)結(jié)構(gòu)的研究及醫(yī)療診斷等。共振的利與弊共振現(xiàn)象也有其危害性：例如，共振時振動系統(tǒng)的振幅過大，建筑物、機器設(shè)備等就會受到嚴重的損壞；汽車行駛時，若發(fā)動機運轉(zhuǎn)的頻率接近車身的固有頻率，車身也會產(chǎn)生強烈的共振而受到損壞。18世紀中葉，一隊拿破侖士兵在指揮官的口令下，邁著威武雄壯、整齊劃一的步伐，通過法國昂熱市一座大橋，快走到橋中間時，橋梁突然發(fā)生強烈的顫動并且最終斷裂坍塌，造成許多官兵和市民落入水中喪生。造成這次慘劇的罪魁禍首，正是共振！因為大隊士兵齊步走時，產(chǎn)生的一種頻率正好與大橋的固有頻率一致，使橋的振動加強，當它的振幅達到最大限度直至超過橋梁的抗壓力時，橋就斷裂了。共振的利與弊聲音殺人