2.5函數(shù)的連續(xù)性

函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的間斷點閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一、函數(shù)的連續(xù)性曲線不斷曲線斷開函數(shù)f(x)隨x的改變而逐漸改變

有突變現(xiàn)象函數(shù)值等于極限值函數(shù)在極限存在函數(shù)在有定義2.若y=f(x)在x0處不連續(xù),則稱y=f(x)在x0處

間斷.3.函數(shù)f(x)在x0連續(xù)的等價寫法:

連續(xù)函數(shù)必有極限,有極限不一定是連續(xù)函數(shù).

證2.單側(cè)連續(xù)左極限等于函數(shù)值右極限等于函數(shù)值解3.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間

定義若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點都連續(xù),則稱f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)f(x)

在區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.證1、連續(xù)函數(shù)的和、差、積及商的連續(xù)性例1二、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)2、反函數(shù)與復合函數(shù)的連續(xù)性

性質(zhì)

單調(diào)增加(或減少)的連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)也是單調(diào)增加(或減少)的連續(xù)函數(shù).三角函數(shù)和反三角函數(shù)在其各自定義域內(nèi)皆連續(xù).性質(zhì)復合函數(shù)的連續(xù)性P46例33、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.★★★性質(zhì)

基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.★可知冪函數(shù)均在其定義域內(nèi)連續(xù).性質(zhì)一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.注:定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.1.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例如,函數(shù)在這些孤立點的鄰域內(nèi)沒有定義.在0點的鄰域內(nèi)沒有定義.注:

解2.

初等函數(shù)求極限的方法之代入法.三、函數(shù)的間斷點間斷點分類:第一類間斷點:及均存在

,若稱若稱第二類間斷點:及中至少一個不存在,稱若其中有一個為振蕩

,稱若其中有一個為為可去間斷點

.為跳躍間斷點

.為無窮間斷點

.為振蕩間斷點

.

注:可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.1.函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;3.間斷點的分類與判別.2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點:

可去型跳躍型.第二類間斷點:

無窮型振蕩型.間斷點(見下圖)小結(jié)可去型第一類間斷點oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點oyxoyxoyx注:

不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點.例狄利克雷函數(shù)在定義域R內(nèi)每一點處都間斷,且都是第二類間斷點.有理點的函數(shù)值無理點的函數(shù)值僅在x=0處連續(xù),在定義域R內(nèi)其余各點處處間斷.但其絕對值處處連續(xù).有理點的函數(shù)值無理點的函數(shù)值解顯然為可去間斷點

.為跳躍間斷點

.P47例6思考題思考題解答且1.一類；一類；二類.2.但反之不成立.例1、有界性與最大值最小值定理四、閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理（有界性與最值定理）在閉區(qū)間2、零點定理與介值定理幾何解釋:MBCAmab幾何解釋:由零點定