第八章：空間解析幾何與向量代數(shù)高等數(shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系

—第一部分向量代數(shù)第二部分空間解析幾何

在三維空間中:空間形式

—

點,線,面基本方法

—

坐標(biāo)法;向量法坐標(biāo),方程（組）第一節(jié)向量及其線性運算一、向量的概念二、向量的線性運算三、空間直角坐標(biāo)系四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算五、向量的模、方向角、投影表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又稱矢量).既有大小,又有方向的量稱為向量向徑

(矢徑):自由向量:與起點無關(guān)的向量.起點為原點的向量.單位向量:模為1的向量,零向量:模為0的向量,有向線段M1

M2,或a,二、向量的線性運算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運算規(guī)律:交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個向量相加.規(guī)定:零向量與任何向量平行

;若向量a與b大小相等,方向相同,則稱a與b相等,記作a＝b;若向量a與b方向相同或相反,則稱a與b平行,

a∥b

;與a

的大小相等相同,但方向相反的向量稱為a

的負(fù)向量,記作因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱

兩向量共線.若k(≥3)個向量經(jīng)平移可移到同一平面上,則稱此k

個向量共面.記作－a;2.向量的減法三角不等式3.向量與數(shù)的乘法是一個數(shù),規(guī)定:可見與a

的乘積是一個新向量,記作總之:運算律:結(jié)合律分配律因此定理1.

設(shè)

a

為非零向量,則(為唯一實數(shù))證:“”.,?。健狼以僮C數(shù)的唯一性.則a∥b設(shè)a∥b取正號,反向時取負(fù)號,,a,b

同向時則b

與a

同向,設(shè)又有b＝

a,“”則例1.

設(shè)M

為解:ABCD對角線的交點,已知

b＝a,b＝0a,b同向a,b反向a∥bⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標(biāo)系.

坐標(biāo)原點

坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z

軸(豎軸)過空間一定點o,

坐標(biāo)面

卦限(八個)zox面1.空間直角坐標(biāo)系的基本概念Ⅰ向徑在直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)軸上的點

P,Q,R;坐標(biāo)面上的點A,B,C點

M特殊點的坐標(biāo):有序數(shù)組(稱為點

M

的坐標(biāo))原點O(0,0,0);坐標(biāo)軸:坐標(biāo)面:2.向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系下,設(shè)點

M

則沿三個坐標(biāo)軸方向的分向量.的坐標(biāo)為此式稱為向量

r

的坐標(biāo)分解式

,任意向量r

可用向徑OM

表示.四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算設(shè)則=>平行向量對應(yīng)坐標(biāo)成比例例2.求解以向量為未知元的線性方程組解:①②2×①－3×②,得代入②得練習(xí)：P12-1例3.已知兩點在AB直線上求一點M,使解:

設(shè)M

的坐標(biāo)為如圖所示及實數(shù)得即說明:由得定比分點公式:點

M為AB

的中點,于是得中點公式:五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與兩點間的距離公式則有由勾股定理得因得兩點間的距離公式:對兩點與解：設(shè)P點坐標(biāo)為所求點為例5.已知兩點和解:求課后練習(xí)：P12-5，P13--13,142.方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量任取空間一點O,稱=∠AOB(0≤≤)

為向量

的夾角.類似可定義向量與軸,軸與軸的夾角.與三坐標(biāo)軸的夾角

,,為其方向角.方向角的余弦稱為其方向余弦.

記作方向余弦的性質(zhì):例6.已知兩點和的模、方向余弦和方向角.解:計算向量例7.設(shè)點A

位于第一卦限,解:已知角依次為求點A

的坐標(biāo).則因點A

在第一卦限,故于是故點A

的坐標(biāo)為向徑OA

與x

軸y軸的夾練習(xí)：P13-15空間一點在軸上的投影空間一向量在軸上的投影記作關(guān)于向量投影的性質(zhì)（1）證：練習(xí):P13--17關(guān)于向量投影的性質(zhì)（2）（可推廣到有限多個）關(guān)于向量投影的性質(zhì)（3）：向量的概念、向量的線性運算、空間直角坐標(biāo)系、利用坐標(biāo)作向量的線性運算、向量的模、