測(cè)試信號(hào)處理機(jī)械工業(yè)出版社目錄第１章測(cè)試信號(hào)處理的理論基礎(chǔ)第２章離散傅里葉變換第３章數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第４章離散隨機(jī)信號(hào)的特征描述及其估計(jì)第５章功率譜估計(jì)第６章維納濾波器和卡爾曼濾波器第７章自適應(yīng)濾波器第８章小波變換第９章信號(hào)測(cè)試技術(shù)第３章數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)3.1引言3.2時(shí)域離散信號(hào)與時(shí)域離散系統(tǒng)3.3序列傅里葉變換3.4序列的z變換3.1引言

濾波器能夠?yàn)V除信號(hào)中一些不必要的頻率成分。也就是說(shuō)，濾波就是改變輸入信號(hào)的中所含頻率分量的相對(duì)比例，它是信號(hào)處理的主要內(nèi)容之一。模擬濾波器具有成熟的設(shè)計(jì)方法，這里不作詳細(xì)介紹。數(shù)字濾波器與模擬濾波器的不同是實(shí)現(xiàn)方式。數(shù)字濾波是采用數(shù)值運(yùn)算的方法達(dá)到濾波目的，可以按照一定的算法編寫(xiě)軟件，通過(guò)計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)濾波；也可以按照算法選用硬件組成專用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)濾波；另外目前已研制出各種專用數(shù)字信號(hào)處理芯片，可以很方便地實(shí)現(xiàn)一個(gè)數(shù)字濾波器。3.1引言

數(shù)字濾波器具有高精度、高穩(wěn)定性、可采用超大規(guī)模集成電路、體積小、重量輕、實(shí)現(xiàn)靈活且不要求阻抗匹配等優(yōu)點(diǎn)。因此數(shù)字濾波器在很多方面優(yōu)于模擬濾波器。數(shù)字濾波器和模擬濾波器一樣，從頻率響應(yīng)分類可以劃分成低通、高通、帶通和帶阻等濾波器，當(dāng)然還有其它一些按照具體技術(shù)要求提出的濾波器。這里需要說(shuō)明的是由于序列的傅立葉變換具有以2π為周期的周期性，濾波器的特性也具有這一周期性，各種濾波器的幅度特性示意圖如圖3-1所示。由圖可見(jiàn)，低通通帶處于0或2π整數(shù)倍頻率附近；高通通帶處于π的奇數(shù)倍頻率附近。

數(shù)字濾波器按單位脈沖響應(yīng)長(zhǎng)度可分成無(wú)限脈沖響應(yīng)濾波器和有限脈沖響應(yīng)濾波器兩類，分別稱為IIR濾波器和FIR濾波器；按照濾波器的實(shí)現(xiàn)方法可以分成遞歸濾波器和非遞歸濾波器兩類。當(dāng)然一般情況下遞歸濾波器對(duì)應(yīng)IIR濾波器，非遞歸濾波器對(duì)應(yīng)FIR濾波器。數(shù)字濾波器可用N階差分方程來(lái)描述，相應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)為濾波器的設(shè)計(jì)任務(wù)就是根據(jù)預(yù)先規(guī)定的技術(shù)指標(biāo)，找到一組系數(shù)，使其濾波器的性能滿足技術(shù)指標(biāo)。如果找到了，剩下的問(wèn)題就是設(shè)計(jì)一個(gè)具體的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)去實(shí)現(xiàn)它。

濾波器的技術(shù)指標(biāo)可以在頻域也可以在時(shí)域給出，但通常是在頻域給出。圖3-1所示的是一些理想濾波器的幅度特性，是非因果的，我們只能設(shè)計(jì)一個(gè)因果濾波器盡量逼近它，通常只要滿足給定的指標(biāo)就可以了。一個(gè)實(shí)際濾波器的幅度特性在通帶中允許有一定的波動(dòng)，阻帶衰減大于給定的衰減，且在通帶阻帶之間允許有一定寬度的過(guò)渡帶。圖3-2示出了一個(gè)低通濾波器的幅頻特性。

通帶頻率范圍是,在通帶中要求,稱為通帶上限頻率或稱濾波器截止頻率。頻率范圍稱為阻帶，在阻帶內(nèi)要求稱為阻帶下限頻率。頻率在和之間稱為過(guò)渡帶，一般要求在過(guò)渡帶幅度特性單調(diào)下降。通帶內(nèi)衰減（波動(dòng)）和阻帶內(nèi)衰減（波動(dòng)）通常用dB表示。對(duì)于圖3-2，令（3-3)

（3-4）,式中稱為濾波器相位頻率特性，一般選頻濾波器對(duì)沒(méi)有要求。但要求具有線性相位特性時(shí)，設(shè)計(jì)時(shí)要考慮滿足（為時(shí)延常數(shù)）。3.1無(wú)限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯（Butterworth）濾波器、切比雪夫（Chebyshev）濾波器、橢圓（Cauer）濾波器、貝塞爾（Bessel）濾波器等，他們都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計(jì)人員使用。這些典型的濾波器各有特點(diǎn)，例如巴特沃斯濾波器具有單調(diào)下降的幅度特性，切比雪夫?yàn)V波器的通帶內(nèi)或阻帶內(nèi)有波動(dòng)，提高了濾波器的選擇性，貝塞爾濾波器通帶內(nèi)有較好的線性相位特性。

根據(jù)以上特點(diǎn)只要選定一種類型，就可以用相應(yīng)的設(shè)計(jì)公式或曲線圖表，按規(guī)定的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)出模擬濾波器的傳輸函數(shù)。為了利用模擬濾波器這些成熟的理論和設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器可以按技術(shù)要求設(shè)計(jì)一個(gè)模擬濾波器,再按一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系，將轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的。這樣問(wèn)題就變成了如何將s平面上的轉(zhuǎn)換成z平面上的數(shù)字濾波器。

為了保證轉(zhuǎn)換后的仍滿足技術(shù)要求，必須對(duì)轉(zhuǎn)換關(guān)系提出如下要求：

1)因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器后，仍是因果穩(wěn)定的。模擬濾波器因果穩(wěn)定要求極點(diǎn)位于s平面左半平面上；數(shù)字濾波器因果穩(wěn)定要求極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)。因此轉(zhuǎn)換關(guān)系應(yīng)使s平面的左半平面映射z平面的單位圓內(nèi)部。

2)數(shù)字濾波器的頻響應(yīng)模仿的頻響，即要求s平面的虛軸jΩ線性映射到z平面的單位圓上。將傳輸函數(shù)從s平面轉(zhuǎn)換到z平面的方法有很多種，但工程上常用的是脈沖響應(yīng)不變法和雙線性不變法，下面我們分別對(duì)這兩種方法進(jìn)行研究。3.2.1脈沖響應(yīng)不變法設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為，相應(yīng)的單位沖擊響應(yīng)是。

對(duì)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T(mén),得到,將作為數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)，那么數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)便是的Z變換。因此脈沖響應(yīng)不變法是一種時(shí)域上的轉(zhuǎn)換方法，它使在采樣點(diǎn)上等于。

設(shè)模擬濾波器只有單階極點(diǎn)，且分母多項(xiàng)式的階次高于分子多項(xiàng)式的階次，將用部分分式表示：（3-5）式中為的單階極點(diǎn)。將進(jìn)行拉氏反變換得到（3-6）

式中是單位階躍函數(shù)。對(duì)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T(mén),得到

（3-7）對(duì)式（3-7）進(jìn)行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)

（3-8）

如果是一個(gè)r階極點(diǎn)，其逆拉氏變換為

對(duì)進(jìn)行采樣得到，再進(jìn)行Z變換得到,它們分別為可記為

由式（3-5）和式（3-8）表明，對(duì)于單階極點(diǎn),映射到z平面上，其極點(diǎn)為。實(shí)際轉(zhuǎn)換時(shí)可以先將部分分式展開(kāi)，直接將極點(diǎn)轉(zhuǎn)換成z平面上的，按照式（3-8）寫(xiě)出表示式。例如一個(gè)RC低通濾波電路如圖3-3所示。傳輸函數(shù)為

極點(diǎn)為-1/RC。轉(zhuǎn)換成H（z）,H（z）的極點(diǎn)為,因此H（z）用下式表示：另=RC,稱為RC電路的時(shí)間常數(shù)，為相應(yīng)的差分方程為

下面我們進(jìn)一步討論脈沖響應(yīng)不變法的轉(zhuǎn)換性能。設(shè)用表示的采樣信號(hào)，那么的傅里葉變換與邊的傅里葉變換之間的關(guān)系用下式表示：（3-9）

令,得到相應(yīng)拉氏變換之間關(guān)系：

（3-10）

根據(jù)拉氏變換的定義，寫(xiě)出因此（3-11）

式（3-11）說(shuō)明，將模擬信號(hào)的拉氏變換在s平面上沿虛軸周期延拓后，再按照的映射關(guān)系映射到z平面上，就得到。為了更清楚地說(shuō)明這種映射關(guān)系，將s和z分別用直角坐標(biāo)形式和極坐標(biāo)型式表示，即令將s和z的表示式代入關(guān)系中，得到

因此得到

那么

上面關(guān)系式說(shuō)明s平面的虛軸（=0）映射z平面的單位圓（r=1）。S平面左半平面（＜0）映射z平面單位圓內(nèi)（r＜1）,s平面右半平面映射z平面單位圓外（r＞1）。這說(shuō)明如果因果穩(wěn)定，轉(zhuǎn)換后得到的仍是因果穩(wěn)定的。

（3-12）另外注意到是一個(gè)周期函數(shù)，可寫(xiě)成

,M任意整數(shù)

當(dāng)不變，模擬頻率Ω變化的整數(shù)倍時(shí)，映射值不變?；蛘哒f(shuō)將s平面沿著jΩ軸分割成一條條寬為2π/T的水平帶，每條水平面都按照前面分析的映射關(guān)系對(duì)應(yīng)著整個(gè)z平面。此時(shí)所在的s平面與所在的z平面映射關(guān)系如圖3-4所示。

（3-12）

由該圖表明，每條水平帶的左邊映射為z平面單位圓內(nèi)部，模擬頻率Ω從-/T變化到/T,相應(yīng)的數(shù)字頻率則從-變化到，在單位圓上轉(zhuǎn)了一周，由式（3-12）式，模擬頻率Ω與數(shù)字頻率ω成線性關(guān)系，因此滿足轉(zhuǎn)換關(guān)系中要求的頻率線性映射關(guān)系。以上分析結(jié)果表明脈沖響應(yīng)不變法，其轉(zhuǎn)換關(guān)系滿足前面提出的兩點(diǎn)要求。

但是由公式（3-9）看到對(duì)采樣后得到的,其傅立葉變換是由按照周期2π/T，即采樣角頻率Ωs周期延拓而成，如果原模擬信號(hào)并不是帶限于±π/T之間，則會(huì)在±π/T的奇數(shù)倍附近產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，相應(yīng)的在z平面上就在ω=±π附近產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象。頻率混疊現(xiàn)象產(chǎn)生在ω=π的奇數(shù)倍附近，脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象如圖3-5所示。如果產(chǎn)生了頻率混疊現(xiàn)象，用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)出的數(shù)字濾波器，在ω=π附近的頻率響應(yīng)應(yīng)會(huì)不同程度的偏離模擬濾波器在π/T附近的頻率響應(yīng)。其最終的結(jié)果使數(shù)字濾波器不滿足給定的技術(shù)要求。為此要求模擬濾波器是一個(gè)帶限濾波器，但實(shí)際上的頻響不可能真正帶限，只要在折疊頻率π/T以上頻響衰減加快，即是銳截止的，用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)出的數(shù)字濾波器仍能較好地滿足要求。

假設(shè)沒(méi)有頻率混疊現(xiàn)象，即滿足

按照（3-11）式，并代入關(guān)系式s=jΩ,ω=ΩT,得到（3-13）

說(shuō)明用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器可以很好地重現(xiàn)原模擬濾波器的頻響。，|Ω|≥π/T，|ω|〈π

在式（3-13）中，的幅度特性與采樣間隔成正比，這樣當(dāng)T較小時(shí)，就會(huì)有太高的增益，為避免這一現(xiàn)象，令那么此時(shí),|ω|<π

一般的極點(diǎn)是一個(gè)復(fù)數(shù)，且以共軛成對(duì)的形式出現(xiàn)。在式（3-5）中將一對(duì)復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)放在一起，形成一個(gè)二階基本節(jié)。如果模擬濾波器的二階基本節(jié)的形式為可以推導(dǎo)出相應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)（只有實(shí)數(shù)乘法）的形式為

極點(diǎn)如果模擬濾波器二階基本節(jié)形式為則相應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)的形式為

利用以上這些變換關(guān)系，可以簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)。極點(diǎn)例3-1已知模擬低通濾波器的為用脈沖響應(yīng)不變法將轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。解:首先將寫(xiě)成部分分式極點(diǎn)為

H（z）的極點(diǎn)按照式（3-7）寫(xiě)出，經(jīng)過(guò)整理得到設(shè)T=1s,T=0.1s兩種情況，分別求出系統(tǒng)函數(shù)、：或者將寫(xiě)成如下形式：利用前面介紹的第二種二階基本節(jié)的形式，直接寫(xiě)出的表示式，其結(jié)果和上面得到結(jié)果一樣。3.2.2雙線性變換法

脈沖響應(yīng)不變法的缺點(diǎn)是會(huì)產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，而雙線性變換法的優(yōu)點(diǎn)之一則是不會(huì)產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象。我們知道脈沖響應(yīng)不變法產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象的原因是模擬低通的最高截止頻率超過(guò)了折疊頻率π/T，在數(shù)字化后產(chǎn)生了頻譜混疊，再通過(guò)映射關(guān)系，結(jié)果在附近形成頻譜混疊現(xiàn)象。為了克服這一缺點(diǎn)，雙線性變換法采用了非線性頻率壓縮方法，將整個(gè)頻率軸壓縮到±π/T之間，再用轉(zhuǎn)換到z平面上。設(shè)（）經(jīng)過(guò)非線性壓縮后用（）表示，雙線性變換法用正切變換實(shí)現(xiàn)頻率壓縮：（3-14）式中T是采樣間隔，當(dāng)從-π/T經(jīng)過(guò)0變化到π/T時(shí)，則從經(jīng)過(guò)0變化到，實(shí)現(xiàn)了平面上整個(gè)虛軸完全壓縮到平面上虛軸的之間的轉(zhuǎn)換。兩個(gè)平面的轉(zhuǎn)換公式為：

（3-15）再通過(guò)轉(zhuǎn)換到z平面，得到

（3-16）由式（3-16）解出z，得到（3-17）

式（3-16）或式（3-17）稱為雙線性變換式，設(shè)已知，利用式（3-16）可直接求出，即（3-18）

雙線性變換實(shí)質(zhì)就是先從平面映射到平面，再?gòu)钠矫嬗成涞絲平面，如圖3-6所示。由于從平面到平面具有非線性頻率壓縮的功能，因此不可能產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，這是雙線性變換法相對(duì)于脈沖響應(yīng)不變法最大的優(yōu)點(diǎn)

從平面轉(zhuǎn)換到z平面仍然采用標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)換關(guān)系，平面的之間水平帶的左半部分映射到z平面的單位園內(nèi)部，虛軸映射到單位園上。這樣，因果穩(wěn)定，轉(zhuǎn)換成的也是因果穩(wěn)定的。

下面我們對(duì)式（3-16）進(jìn)一步分析，說(shuō)明雙線性變換法消除頻率混疊的原因。令（3-19）（3-20）利用上兩式將從s平面轉(zhuǎn)換到z平面的過(guò)程分成兩步，第一步利用式（3-20）將轉(zhuǎn)換到s1平面上，為第二步利用式（3-19）將轉(zhuǎn)換到z平面，為令，代入式（3-16）得到即（3-21）

上式說(shuō)明，s平面上與z平面的ω成非線性正切關(guān)系，如圖3-7所示。在ω=0附近接近線性關(guān)系，當(dāng)ω增加時(shí)，增加得越來(lái)越快，當(dāng)ω趨近于時(shí)，趨近于∞。其實(shí)也正是因?yàn)檫@種非線性關(guān)系消除了頻率混疊現(xiàn)象。

圖3-7雙線性變換法的頻率變換關(guān)系圖3-8非線性變換法的非線性映射

ω與之間的非線性關(guān)系是雙線性變換法的缺點(diǎn)，直接影響數(shù)字濾波器頻響逼真的模仿模擬濾波器的頻響，幅度特性和相位特性失真的情況如圖3-8所示。這種非線性影響的實(shí)質(zhì)問(wèn)題是：如果的刻度是均勻的，映射到z平面ω的刻度不是均勻的，而是隨ω增加越來(lái)越密。因此如果模擬濾波器的頻響具有片斷常數(shù)特性，轉(zhuǎn)換到z平面數(shù)字濾波器仍具有片斷常數(shù)特性，主要是特性轉(zhuǎn)折點(diǎn)頻率值與模擬濾波器特性轉(zhuǎn)折點(diǎn)的頻率值成非線性關(guān)系。當(dāng)然對(duì)于不是片斷常數(shù)的相位特性仍有非線性失真。因此雙線性變換法適合片斷常數(shù)特性的濾波器的設(shè)計(jì)。實(shí)際中，一般設(shè)計(jì)濾波器通帶和阻帶均要求是片斷常數(shù)，因此雙線性變換法得到了廣泛的應(yīng)用。在設(shè)計(jì)時(shí)要注意邊界頻率如通帶截止頻率、阻帶下截止頻率等的轉(zhuǎn)換關(guān)系要用式（3-21）計(jì)算。

例3-2已知模擬濾波器,試?yán)秒p線性變換法，將轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。解:

圖3-9與的幅頻特性

設(shè)T=1s

與幅頻特性如圖3-9所示。圖3-9中，模擬濾波器并不是帶限的，他拖了個(gè)“長(zhǎng)尾巴”，但由于雙線性變換法具有頻率壓縮作用，數(shù)字濾波器的頻響限制在0與π之間，不存在頻率混疊作用。雙線性變換法可由簡(jiǎn)單的代數(shù)公式（3-16）將直接轉(zhuǎn)換成，這是該變換法的優(yōu)點(diǎn)，但當(dāng)階數(shù)稍高時(shí)，將整理成需要的形式，也不是一件簡(jiǎn)單的工作。

為簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)，已將模擬濾波器各系數(shù)和經(jīng)雙線性變換法得到的數(shù)字濾波器的各系數(shù)之間關(guān)系，列成表格共設(shè)計(jì)時(shí)使用，這里不作介紹，需要時(shí)請(qǐng)讀者參考其它有關(guān)資料。

以上我們研究了由模擬濾波器轉(zhuǎn)換到數(shù)字濾波器常用的兩種轉(zhuǎn)換方法，下面總結(jié)一下設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器的步驟

:1.確定數(shù)字低通濾波器的性能指標(biāo)：通帶截止頻率、通帶衰減、阻帶截止頻率、阻帶衰減。2.確定對(duì)應(yīng)模擬低通濾波器的性能指標(biāo)。這里主要是將數(shù)字濾波器的邊界頻率、3dB截止頻率等轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的相應(yīng)邊界頻率。對(duì)于脈沖響應(yīng)不變法，該轉(zhuǎn)換關(guān)系為；對(duì)于雙線性變換法，轉(zhuǎn)換關(guān)系為。通帶及阻帶衰減與數(shù)字低通濾波器相同。3.按照模擬低通濾波器的性質(zhì)指標(biāo)，設(shè)計(jì)模擬濾波器。各種模擬濾波器（巴特沃斯濾波器、切比雪夫?yàn)V波器、橢圓濾波器等）的設(shè)計(jì)在其它資料中都有詳細(xì)介紹。4.利用雙線性變換法或者脈沖響應(yīng)不變法將轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通。在設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器的過(guò)程中，要用到采樣間隔T參數(shù)。下面討論T參數(shù)的選擇問(wèn)題。如采用脈沖響應(yīng)不變法進(jìn)行設(shè)計(jì)，為避免產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，要求所設(shè)計(jì)的模擬低通濾波器帶限于±π/T之間，考慮到實(shí)際低通濾波器都有一定寬度的過(guò)渡帶，可選擇參數(shù)T，使?jié)M足公式|Ω|＜π/T式中為低通濾波器阻帶截止頻率。但如果給定的數(shù)字低通濾波器的阻帶截止頻率，由于，當(dāng)滿足時(shí)，一定要滿足＜π的要求。

因此在確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)時(shí)，要考慮這一條件。我們知道數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)是以2π為周期的函數(shù)，最高頻率在π處，因此這一條件對(duì)數(shù)字低通濾波器而言，一般是滿足的，因此參數(shù)T可任選，T選定后，模擬低通濾波器的也定了。為了簡(jiǎn)單，一般選T=1。如采用雙線性變換法進(jìn)行設(shè)計(jì)。這種方法本身保證不產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，不需要考慮這方面因素的影響。因此T可以任選，也可以選T=1。

例3-3設(shè)計(jì)低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內(nèi)頻率低于0.2πrad時(shí)，容許幅度誤差在1dB以內(nèi)；在頻率0.3π到π之間的阻帶衰減大于15dB。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計(jì)濾波器。解:（1）用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字巴特沃斯低通濾波器。巴特沃斯低通濾波器的幅度特性是單調(diào)下降的。按照式（3-3）和式（3-4）其技術(shù)指標(biāo)要求可用下式描述：式中，。按要求通帶最大衰減，阻帶最小衰減(在ω=0處，幅度歸一化到1，）。設(shè)計(jì)步驟如下：1.將設(shè)計(jì)要求轉(zhuǎn)換為對(duì)模擬濾波器的設(shè)計(jì)要求。

脈沖響應(yīng)不變法模擬頻率和數(shù)字頻率之間的映射關(guān)系是線性的，即

，為了簡(jiǎn)單，設(shè)T=1，由式（3-13）可知，|ω|≤π時(shí)，因此直接寫(xiě)出本例模擬濾波器的設(shè)計(jì)要求：（3-22）（3-23）式中通帶截止頻率rad/s,阻帶起始頻率rad/s。通帶最大衰減，阻帶最小衰減。

2.計(jì)算模擬濾波器所需階數(shù)N及3dB截止頻率。按照巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)方法，階數(shù)N計(jì)算如下：式中

N只能取整數(shù)，為滿足技術(shù)指標(biāo)要求，取N=6。為求3dB截止頻率，將，代入中，得到=0.7032rad/s。顯然采用此值正好滿足通帶指標(biāo)，同時(shí)給阻帶衰減留一定的余量，這對(duì)防止頻率混疊效應(yīng)是有好處的。3.根據(jù)階數(shù)N=6，=0.7032rad/s,可得到低通巴特沃斯濾波器的傳輸函數(shù)為4.將展成部分分式，并按式（3-8）作變換，求得數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)為將代入中，得到該濾波器的頻響，所設(shè)計(jì)的濾波器是滿足技術(shù)指標(biāo)的。

(2)用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字巴特沃斯低通濾波器，技術(shù)指標(biāo)同前。1.將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)變?yōu)橄鄳?yīng)的模擬濾波器指標(biāo)。為解決雙線性變的頻率非線性關(guān)系，模擬頻率必須對(duì)相應(yīng)的數(shù)字頻率作預(yù)畸變，即按公式求模擬濾波器頻率。為了簡(jiǎn)單，仍設(shè)T=1，模擬濾波器的通帶截止頻率和阻帶起始頻率計(jì)算如下：模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)仍用公式（3-22）和（3-23）描述。2.計(jì)算模擬濾波器的階數(shù)N和3dB截止頻率。對(duì)于巴特沃斯濾波器，其階數(shù)N計(jì)算如下：為滿足技術(shù)指標(biāo)，取N=6。由公式計(jì)算出3dB截止頻率。對(duì)于這個(gè)值，通帶技術(shù)指標(biāo)已經(jīng)超過(guò)，阻帶指標(biāo)剛剛滿足。對(duì)于雙線性變換這樣計(jì)算值是合理的，因?yàn)闆](méi)有必要涉及混疊問(wèn)題。3.由求得的階數(shù)N和3dB截止頻率確定模擬濾波器傳輸函數(shù)。根據(jù)階數(shù)N=6，,可得到低通巴特沃斯濾波器的傳輸函數(shù)為

4.用雙線性變換法求數(shù)字低通濾波器。

其幅度特性和相位特性都滿足要求。

3.2.3數(shù)字濾波器的頻率變換前面我們介紹了數(shù)字低通濾波器的設(shè)計(jì)方法，對(duì)于數(shù)字高通、數(shù)字帶通和數(shù)字帶阻濾波器的設(shè)計(jì)，通常是先設(shè)計(jì)一低通濾波器，再應(yīng)用頻率變換的方法將低通轉(zhuǎn)換成所需類型的濾波器。頻率變換可以在模擬域進(jìn)行，因此轉(zhuǎn)換方法有兩種。第一種方法是先設(shè)計(jì)模擬低通，在模擬域進(jìn)行頻率變換，將模擬低通轉(zhuǎn)換成所需類型的模擬濾波器，然后從s平面轉(zhuǎn)換到z平面得到所需類型的數(shù)字濾波器。第二種方法是設(shè)計(jì)完模擬低通濾波器以后，就將模擬低通從s平面轉(zhuǎn)換到z平面，得到數(shù)字低通濾波器，然后在數(shù)字域進(jìn)行頻率變換，得到所需類型的數(shù)字濾波器。由于從s平面轉(zhuǎn)變到z平面，應(yīng)用脈沖響應(yīng)不變法可能產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，從而引起頻響的失真，因此不適合高通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)，所以第一種方法適合用雙線性變換法。第二種則沒(méi)有這種限制。下面介紹數(shù)字域的頻率變換。

設(shè)數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)用表示，希望類型的濾波器用表示。這里希望類型的濾波器是指另外一個(gè)低通或高通或帶通或帶阻濾波器。為了在數(shù)字域?qū)⒅苯愚D(zhuǎn)換成，希望找到與之間的關(guān)系，使從數(shù)字低通濾波器轉(zhuǎn)換成希望類型的濾波器，我們可以按下列步驟進(jìn)行：1.用雙線性變換法將轉(zhuǎn)換成面模擬低通濾波器，再對(duì)3dB截止頻率進(jìn)行歸一化，得到。2.利用已知的模擬域頻率變換公式，將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成希望類型的模擬濾波器。3.再利用雙線性變換關(guān)系將轉(zhuǎn)換成希望類型的數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)。通過(guò)以上三個(gè)步驟，可以找出與之間的關(guān)系。

設(shè)是高通數(shù)字濾波器，現(xiàn)在用前面的步驟推導(dǎo)由低通數(shù)字濾波器得到高通數(shù)字濾波器的頻率變換關(guān)系。1.從數(shù)字低通濾波器轉(zhuǎn)換到模擬低通濾波器用雙線性變換公式（3-24）再將s對(duì)3dB截止頻率進(jìn)行歸一化，歸一化后拉氏變量用p表示：（3-25）數(shù)字低通濾波器3dB截止頻率用表示，則將上式代入（3-25）式中，得到（3-26）2.將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成模擬高通濾波器，只要將拉氏變量p換成p-1即可。（3-27）3.利用雙線性變換將模擬高通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通濾波器。這里p是歸一化的拉氏變量，應(yīng)用高通下截止頻率去歸一化，即用p/代替原來(lái)的p

（3-28）式中是數(shù)字高通濾波器的下截止頻率。將式（3-27）代入式（3-28），得到（3-26）求解上式得到（3-29）式中（3-30）式（3-29）、式（3-30）即是數(shù)字低通濾波器轉(zhuǎn)換到數(shù)字高通濾波器的頻率變換公式。用類似的方法，可推導(dǎo)出數(shù)字低通濾波器轉(zhuǎn)變到其它類型的數(shù)字濾波器（低通、帶通、帶阻等）的轉(zhuǎn)換公式。上面推導(dǎo)出數(shù)字域頻率變換公式，它解決了從數(shù)字低通轉(zhuǎn)換到希望類型的數(shù)字濾波器的問(wèn)題。

下面以設(shè)計(jì)數(shù)字高通濾波器為例，說(shuō)明利用數(shù)字域頻率變換的設(shè)計(jì)步驟。1.首先將數(shù)字高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬高通濾波器的技術(shù)要求；2.再將模擬高通的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通的技術(shù)要求；3.設(shè)計(jì)模擬低通濾波器；4.將設(shè)計(jì)好的模擬低通轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通；5.最后利用數(shù)字域頻率變換將數(shù)字低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通濾波器。由上面看到這種設(shè)計(jì)過(guò)程曲折又麻煩，用起來(lái)不方便。這里核心問(wèn)題是具體設(shè)計(jì)一個(gè)模擬低通濾波器，因此找到從模擬低通濾波器到希望類型的數(shù)字濾波器轉(zhuǎn)換公式，會(huì)使設(shè)計(jì)方法更簡(jiǎn)捷。

從模擬高通濾波器轉(zhuǎn)換到數(shù)字高通濾波器，轉(zhuǎn)換關(guān)系用雙線性變換公式，即將上式代入中，得到（3-31）將，代入上式，得到由于幅度函數(shù)是的偶函數(shù)，因此上式負(fù)號(hào)可以去掉，即式（3-31）和式（3-32）就是模擬低通到數(shù)字高通濾波器的轉(zhuǎn)換公式和相應(yīng)頻率的映射關(guān)系。一般取為3dB截止頻率，設(shè)為數(shù)字高通3dB截止頻率，為通帶截止頻率，則有（3-33）（3-34）用和上面類似方法可以得到模擬低通濾波器到數(shù)字高通濾波器，以及模擬低通濾波器到數(shù)字帶阻濾波器的轉(zhuǎn)換公式。以上三種轉(zhuǎn)換公式總結(jié)如下：希望設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器傳輸函數(shù)用，對(duì)應(yīng)的歸一化模擬低通濾波器傳輸函數(shù)用表示，則從到的統(tǒng)一轉(zhuǎn)換公式可用下式表示：

（3-35）各種類型的數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)參數(shù)及有關(guān)轉(zhuǎn)換公式如表3-1所示。

表3-1數(shù)字濾波器指標(biāo)參數(shù)及有關(guān)轉(zhuǎn)換公式模擬低通指標(biāo)類型數(shù)字濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換公式高通低通帶阻例3-5一采樣數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)的采樣頻率為2kHz,設(shè)計(jì)一個(gè)為此系統(tǒng)使用的帶通數(shù)字濾波器。要求通帶上下截止頻率分別為：，通帶內(nèi)最大衰減為3dB。阻帶上下截止頻率分別為，阻帶內(nèi)最小衰減為18dB，要求使用巴特沃斯型。解首先算出等效帶通數(shù)字濾波器的各邊界頻率。

查表3-1計(jì)算模擬低通濾波器的通帶截止頻率和阻帶截止頻率要求低通濾波器|Ω|＜，衰減不大于3dB,＜|Ω|時(shí)，衰減大于18dB。下面根據(jù)以上指標(biāo)，設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。首先將對(duì)進(jìn)行歸一化：有取N=2

根據(jù)N=2，得到二階歸一化模擬低通濾波器傳輸函數(shù)由表3-1中帶通數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)換公式可直接寫(xiě)出如下：

3.3有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)3.3.1FIR數(shù)字濾波器的線性相位前面介紹的利用模擬濾波器成熟的理論及設(shè)計(jì)圖表設(shè)計(jì)出的數(shù)字濾波器，保留了一些典型模擬濾波器優(yōu)良的幅度特性，但設(shè)計(jì)時(shí)只考慮幅度特性，相位特性一般是非線性的。為了得到線性相位，必須另加相位校正網(wǎng)絡(luò)。而FIR濾波器在保證幅度特性滿足要求的條件下，容易做到嚴(yán)格的線性相位特性。FIR數(shù)字濾波器輸出輸入關(guān)系用下面的差分方程描述：相應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)為

因此是的N-1次多項(xiàng)式，在z平面上有N-1個(gè)零極點(diǎn)，且在原點(diǎn)有N-1個(gè)重極點(diǎn)。因此永遠(yuǎn)穩(wěn)定，而且對(duì)多項(xiàng)式系數(shù)附加一些條件，很容易使具有線性相位。這兩點(diǎn)相對(duì)IIR濾波器是其突出的優(yōu)點(diǎn)。由于FIR濾波器的單位取樣響應(yīng)是有限長(zhǎng)的，是的N-1階多項(xiàng)式，使之設(shè)計(jì)方法和IIR的設(shè)計(jì)方法有很大不同。FIR濾波器設(shè)計(jì)的任務(wù)是選擇有限長(zhǎng)度的,使傳輸函數(shù)滿足技術(shù)指標(biāo)。這里技術(shù)指標(biāo)除了幅度特性要求以外，更重要的要求是保證具有線性相位。目前FIR濾波器設(shè)計(jì)方法主要有三種，它們是窗函數(shù)法、頻率采樣法和切比雪夫等波紋逼近法。下面我們先研究了為了保證具有線性相位，單位取樣響應(yīng)應(yīng)滿足的條件，以及滿足線性相位條件下，幅度特性具有的特點(diǎn)。FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為，其頻率響應(yīng)為（3-36）再將寫(xiě)成如下形式：（3-37）式中稱為幅度特性，稱為相位特性，注意這里不同于，為ω的實(shí)函數(shù)，可能取負(fù)值，而總是正值。線性相位是指是ω的線性函數(shù)，即，為常數(shù)（3-38）如果滿足下式：，是起始相位（3-39）嚴(yán)格說(shuō)此時(shí)不具有線性相位，但以上兩種情況都滿足群時(shí)延是一個(gè)常數(shù)，即

也稱這種情況為線性相位，為區(qū)別這兩種情況，式（3-38）稱第一類線性相位，式（3-39）稱第二類線性相位。下面我們推導(dǎo)第一類線性相位，單位取樣響應(yīng)應(yīng)滿足的條件。將式（3-36）寫(xiě)成如下形式：設(shè)是實(shí)序列，的相位特性用下式求出：令那么

（3-40）式（3-40）是一個(gè)三角函數(shù)求和式，式中正弦函數(shù)對(duì)n=處奇對(duì)稱，設(shè)=（N-1）/2,那么正弦函數(shù)以（N-1）/2為中心奇對(duì)稱，這樣式（3-40）成立的條件關(guān)于（N-1）/2偶對(duì)稱，即要求。用類似方法可證明第二類線性相位要求對(duì)（N-1）/2奇對(duì)稱，即。將這兩類線性相位的條件總結(jié)如下：第一類線性相位：

（3-41）第二類線性相位：（3-42）式中表示信號(hào)通過(guò)濾波器的時(shí)延。當(dāng)對(duì)（N-1）/2偶對(duì)稱時(shí)，是過(guò)原點(diǎn)的一條直線，斜率為-；當(dāng)對(duì)（N-1）/2奇對(duì)稱時(shí)，有一起始相移，表明對(duì)所有頻率成分有一個(gè)相移。當(dāng)N=偶數(shù)時(shí)，（N-1）/2不存在；當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，對(duì)第二類線性相位情況，由于對(duì)（N-1）/2奇對(duì)稱，因此。3.3.1利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器設(shè)所要求的數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)為，是與其對(duì)應(yīng)的單位取樣響應(yīng)，因此（3-43）（3-44）如果能夠由已知的求出，經(jīng)過(guò)Z變換可得到濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。但一般情況下，逐段恒定，在邊界頻率處有不連續(xù)點(diǎn)，因而是無(wú)限時(shí)寬的，且是非因果序列，例如理想低通濾波器的傳輸函數(shù)為（3-45）相應(yīng)的單位取樣響應(yīng)為（3-46）

由式（3-46）看到，理想低通濾波器的單位取樣響應(yīng)是無(wú)限長(zhǎng)的，且是非因果序列。的波形如圖3-10（a）所示。為了構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)度為N的線性相位濾波器，只有將截取一段，并保證截取的一段對(duì)（N-1）/2對(duì)稱，設(shè)截取的一段用表示，即（3-47）式中是一個(gè)矩形序列，長(zhǎng)度為N，波形如圖3-10（b）所示。由該圖看到，當(dāng)a取值為（N-1）/2時(shí)，則截取的一段對(duì)（N-1）/2對(duì)稱，保證所設(shè)計(jì)的濾波器具有線性相位。圖3-10理想低通濾波器的單位取樣響應(yīng)及矩形窗

我們實(shí)際實(shí)現(xiàn)的濾波器單位取樣響應(yīng)為，長(zhǎng)度為N，其系統(tǒng)函數(shù)為這樣我們用一個(gè)有限長(zhǎng)的序列去代替，肯定會(huì)引起誤差，表現(xiàn)在頻域就是通常所說(shuō)的吉布斯（Gibbs）效應(yīng)。該效應(yīng)引起通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)的波動(dòng)性，尤其是阻帶內(nèi)的衰減小，從而滿足不了技術(shù)上的要求。這種吉布斯效應(yīng)是由于將直接截?cái)嘁鸬?，因此也稱為截?cái)嘈?yīng)。下面我們需要討論這種截?cái)嘈?yīng)的產(chǎn)生，以及如何用窗函數(shù)法減少截?cái)嘈?yīng)，設(shè)計(jì)一個(gè)能滿足技術(shù)要求的FIR線性相位的濾波器。以上就是用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器的思路。另外，我們知道是一個(gè)以2為周期的函數(shù)，可以展為傅氏級(jí)數(shù)，即

傅氏級(jí)數(shù)的系數(shù)為，它當(dāng)然就是對(duì)應(yīng)的單位取樣響應(yīng)。設(shè)計(jì)FIR濾波器就是根據(jù)要求找到有限個(gè)傅氏級(jí)數(shù)系數(shù)，以有限項(xiàng)傅氏級(jí)數(shù)去近似代替無(wú)限項(xiàng)傅氏級(jí)數(shù)，這樣在一些頻率不連續(xù)點(diǎn)附近會(huì)引起較大誤差，這種誤差效果就是前面所說(shuō)的截?cái)嘈?yīng)，為減少這一效應(yīng)同樣是用窗函數(shù)法。因此從這一角度來(lái)說(shuō)，窗函數(shù)法也稱為傅氏級(jí)數(shù)法。顯然選取傅氏級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)越多，引起誤差越小，但項(xiàng)數(shù)增加即長(zhǎng)度增加也使成本、體積加大，可以在滿足技術(shù)要求的條件下，盡量減少的長(zhǎng)度。在式（3-47）中，（矩形序列）就是起對(duì)無(wú)限長(zhǎng)序列的截?cái)嘧饔?，可以形象地把看作一個(gè)窗口，則是從窗口看到的一段序列，稱為用矩形窗對(duì)進(jìn)行處理。下面討論矩形窗截?cái)嗟挠绊?。?duì)式（3-47）進(jìn)行傅立葉變換，根據(jù)復(fù)卷積定理，得到（3-48）式中和分別是和的傅立葉變換：

（3-49）式中,（3-50）稱為矩形窗的幅度函數(shù):按照式（3-45），理想低通濾波器的幅度特性為（3-51）將和代入式（3-48）得到將寫(xiě)成下式：

（3-52）式中是的幅度特性，由該式說(shuō)明濾波器的幅度特性等于理想低通濾波器的幅度特性與矩形窗幅度特性的卷積。圖3-11（f）表示與的卷積形成的波形。

圖3-11矩形窗對(duì)理想低通濾波器幅度特性的影響

圖3-11（f）表示與的卷積形成的波形。當(dāng)時(shí)，等于圖3-11（a）與（b）兩波形乘積的積分，相當(dāng)于對(duì)在之間一段波形的積分，當(dāng)時(shí)，近似之間波形的積分。將值歸一化到1。當(dāng)時(shí)，情況如圖3-11（c）所示，當(dāng)時(shí)，積分近似為一半波形的積分，對(duì)歸一化后的值為1/2。當(dāng)時(shí)，情況如圖3-11（e）所示，主瓣完全移到積分區(qū)間外邊，因?yàn)樽畲蟮囊粋€(gè)負(fù)峰完全在區(qū)間中，因此在該點(diǎn)形成最大的負(fù)峰。相應(yīng)地當(dāng)，情況如圖3-11（d）所示，主瓣完全在區(qū)間之間，而最大的一個(gè)負(fù)峰移到之外，因此在該點(diǎn)有一個(gè)最大的正峰。圖3-11表明，最大的正峰與最大的負(fù)峰對(duì)應(yīng)的頻率相距。通過(guò)以上分析，對(duì)加矩形窗處理后，和原理想低通差別有以下兩點(diǎn)：

（1）在理想特性不連續(xù)點(diǎn)附近形成過(guò)渡帶，過(guò)渡帶的寬帶，近似等于主瓣寬度，即。（2）通帶內(nèi)增加了波動(dòng)，最大的峰值在處。阻帶內(nèi)產(chǎn)生了余振，最大的負(fù)峰在處。通帶與阻帶中波動(dòng)的情況與窗函數(shù)的幅度譜有關(guān)。波動(dòng)越快（N加大時(shí)），通帶、阻帶內(nèi)波動(dòng)越快，旁瓣的大小直接影響波動(dòng)的大小。以上兩點(diǎn)就是對(duì)用矩形窗截?cái)嗪?，在頻域的反應(yīng)，稱為吉布斯效應(yīng)。這種效應(yīng)直接影響濾波器的性能。通帶內(nèi)的波動(dòng)影響濾波器通帶中的平穩(wěn)性，阻帶內(nèi)的波動(dòng)影響阻帶內(nèi)的衰減，可能使最小衰減不滿足技術(shù)要求。當(dāng)然一般濾波器都要求過(guò)渡帶越窄越好。下面研究如何減少吉布斯效應(yīng)的影響，設(shè)計(jì)一個(gè)滿足要求的FIR濾波器。

直觀上，增加矩形窗口的寬度，即加大N，可以減少吉布斯效應(yīng)的影響。只要分析一下N加大時(shí)，的變化，就可以看出這一結(jié)論是否完全正確。我們討論在主瓣附近的情況。在主瓣附近，按照式（3-50），可近似為該函數(shù)的性質(zhì)是隨x加大（N加大）主瓣幅度加高，同時(shí)旁瓣也加高，保持主瓣和旁瓣幅度相對(duì)值不變，另一方面波動(dòng)的頻率加快，當(dāng)時(shí)，sinx/x趨近于δ函數(shù)，因此當(dāng)N加大時(shí)，的波動(dòng)幅度沒(méi)有多大改善，帶內(nèi)最大肩峰比高8.95%，阻帶最大負(fù)峰比零值超過(guò)8.95%，使阻帶最小衰減只有21dB。N加大帶來(lái)的最大好處是過(guò)渡帶變窄（過(guò)渡帶近似為）。因此加大N并不是減少吉布斯效應(yīng)的有效方法。

由以上分析說(shuō)明，用調(diào)整窗口長(zhǎng)度N可以有效的控制過(guò)渡帶的寬度。減少帶內(nèi)波動(dòng)以及加大阻帶的衰減只能從窗函數(shù)的形狀上找解決方法，如果能找到的窗函數(shù)形狀，使其譜函數(shù)的主瓣包含更多的能量，相應(yīng)旁瓣幅度就減小了，旁瓣的減小可使通帶、阻帶波動(dòng)減小，從而加大阻帶衰減。但這樣總是以加寬過(guò)渡帶為代價(jià)的。下面介紹幾種常用的窗函數(shù)。設(shè)式中表示窗函數(shù)。1.矩形窗（RectangleWindow）前面已分析過(guò)，按照式（3-49），其頻率響應(yīng)為主瓣寬度為，第一副瓣比主瓣低13dB。

2.三角形窗（BartlettWindow）--巴特利特窗（3-54）其頻率響應(yīng)為（3-55）其主瓣寬度為，第一副瓣比主瓣低26dB。

3.漢寧窗（HinningWindow）--升余弦窗（3-56）（3-57）

（3-58）當(dāng)漢寧窗的幅度函數(shù)有三部分組成，使能量更集中在主瓣中；如圖3-12所示。代價(jià)是主瓣寬度加寬到。圖3-12漢寧窗的幅度特性

4．哈明窗（Hamming）--改進(jìn)的升余弦窗（3-59）其頻域函數(shù)為（3-60）其幅度函數(shù)為（3-61）當(dāng)N〉〉1時(shí)，可近似表示為這種改進(jìn)的升余弦窗，能量更集中在主瓣中，主瓣的能量約占99.96%，第一旁瓣的峰值比主瓣小40dB，但主瓣寬度與漢寧窗相同，仍為。

5.布萊克曼窗（BlackmanWindow）（3-62）其頻域函數(shù)為

其幅度函數(shù)為（3-63）這樣其幅度函數(shù)由五部分組成，他們都是移位不同，且幅度也不同的函數(shù)，使旁瓣再進(jìn)一步抵消。阻帶衰減進(jìn)一步增加，過(guò)渡帶是矩形窗過(guò)渡帶的三倍。

6.凱塞-貝塞爾窗（Kaiser-BaselWindow）（3-64）式中，是零階第一類修正貝塞爾函數(shù)，可用下面級(jí)數(shù)計(jì)算：一般取15～25項(xiàng)，便可以滿足精度要求。參數(shù)可以控制窗的形狀。一般加大，主瓣加寬，旁瓣幅度減小，典型數(shù)據(jù)為。當(dāng)=5.44時(shí)，窗函數(shù)接近哈明窗。=7.865時(shí)，窗函數(shù)接近布萊克曼窗。凱塞窗的幅度函數(shù)如下式表示：

（3-65）

圖3-13示出常用窗函數(shù)的時(shí)域圖形（窗函數(shù)包絡(luò)），圖3-14示出了各種窗函數(shù)的幅頻特性。表3-2給出了常用窗函數(shù)的幾個(gè)參照數(shù)據(jù)。

圖3-13常用的窗函數(shù)

圖3-14五種窗函數(shù)的幅頻特性

窗類型表3-2常用窗函數(shù)的幾個(gè)參照數(shù)據(jù)旁瓣峰值（dB）最小阻帶衰減主瓣寬度矩形窗三角窗哈明窗漢寧窗布萊克曼窗-13-25-31-41-57

-21-25-44-53-74

下面介紹用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器的步驟：1.根據(jù)技術(shù)要求確定待求濾波器的單位取樣響應(yīng)。如果給出待求濾波器的頻響為，那么單位取樣響應(yīng)用下式求出：（3-66）如果較復(fù)雜，或者不能用封閉公式表示時(shí)，則不能用上式求出。我們可以對(duì)從采樣點(diǎn)，采樣值為，并用代替式（3-66）中的，式（3-66）近似寫(xiě)成（3-67）根據(jù)頻率采樣定理，與應(yīng)滿足如下關(guān)系：

因此如果選得很大，可以保證在窗口內(nèi)有效逼近。實(shí)際計(jì)算式（3-67），可以用的點(diǎn)采樣值，進(jìn)行點(diǎn)DFT（FFT）得到。如果給出通帶阻帶衰減和邊界頻率的要求，可選用理想濾波器作為逼近函數(shù)，從而用理想濾波器的特性作傅立葉逆變換，求出。例如：理想低通濾波器如式（3-67）所示，求出單位取樣響應(yīng)如式（3-68），重寫(xiě)如下：（3-68）為保證線性相位，取。2.根據(jù)對(duì)過(guò)渡帶及阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)的形式，并估計(jì)窗口長(zhǎng)度N。設(shè)待求濾波器的過(guò)渡帶用△，它近似等于窗函數(shù)主瓣寬度。因過(guò)渡帶△近似與窗口長(zhǎng)度N成反比，，A決定窗口形式，例如矩形窗哈明窗等，A參數(shù)選擇參考表3-2。按照過(guò)渡帶及阻帶衰減情況，參考表3-2，選擇窗函數(shù)形式。原則是在保證阻帶衰減滿足要求的情況下，盡量選擇主瓣窄的窗函數(shù)。

3.計(jì)算濾波器的單位取樣響應(yīng)式中是上面選擇好